逆関数定理

数学、特に微分積分学において、逆関数定理は、関数がその定義域内の点の近傍で逆関数となるための十分条件を与える。すなわち、その導関数が点 において連続かつ非ゼロであることである。この定理は、逆関数の導関数の式も与える。多変数微分積分学では、この定理は、定義域内の点においてヤコビ行列式が非ゼロである任意の連続微分可能でベクトル値を持つ関数に一般化でき、逆関数のヤコビ行列の式を与える。また、正則関数、多様体間の微分可能写像、バナッハ空間間の微分可能関数などに対する逆 関数定理のバージョンも存在する。

この定理は、ピカールとグルサットによって反復スキームを使用して最初に確立されました。基本的な考え方は、収縮マッピング定理を使用して不動点定理を証明することです。

一変数関数 について、定理は、が点 で非ゼロの導関数を持つ連続微分可能関数である場合、 はの近傍で単射（または像に全単射）であり、逆関数 は の近くで連続微分可能であり、逆関数 の における導関数はにおけるの導関数の逆数であることを述べています。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b=f(a)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle {\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(b)={\frac {1}{f'(a)}}={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}.}$$

関数がの近くで であるときに単射になることがあります。 はその一例です。実際、このような関数の場合、 が で微分可能であれば、連鎖律により となり、 となるため、逆関数は で微分可能ではありません。(正則関数の場合は状況が異なります。下記の「正則逆関数定理」を参照してください。) ${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f'(a)=0}$${\displaystyle f(x)=(x-a)^{3}}$${\displaystyle b=f(a)}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 1=(f^{-1}\circ f)'(a)=(f^{-1})'(b)f'(a)}$${\displaystyle f'(a)\neq 0}$

多変数関数について、定理は、が の開部分集合から への連続微分可能関数であり、導関数が点aで可逆である（つまり、aにおけるfのヤコビ行列の行列式がゼロでない）場合、 およびが全単射となるようなにおけるの近傍との近傍が存在することを述べています。^[1]と書くと、これは、 のとき、 n方程式系がに関しての唯一の解を持つことを意味します。定理は、 が可逆である像 に全単射であるとは言っておらず、 が可逆である 像 に局所的に全単射であるとは言っていることに注意してください。${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f'(a)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle b=f(a)}$${\displaystyle f(U)\subset V}$${\displaystyle f:U\to V}$${\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{n})}$${\displaystyle y_{i}=f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$${\displaystyle x\in U,y\in V}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f'}$

さらに、定理によれば、逆関数は連続的に微分可能であり、その における導関数はの逆写像である。すなわち、 ${\displaystyle f^{-1}:V\to U}$${\displaystyle b=f(a)}$${\displaystyle f'(a)}$

${\displaystyle (f^{-1})'(b)=f'(a)^{-1}.}$

言い換えれば、を表すヤコビ行列が である場合、これは次のことを意味します。 ${\displaystyle Jf^{-1}(b),Jf(a)}$${\displaystyle (f^{-1})'(b),f'(a)}$

${\displaystyle Jf^{-1}(b)=Jf(a)^{-1}.}$

定理の難しい部分は、 の存在と微分可能性です。これを前提とすると、に適用される連鎖律から逆微分公式が導かれます。(実際、) 逆をとることは無限に微分可能であるため、逆の微分公式は、が連続的に回微分可能であり、点aで可逆な微分である場合、逆も連続的に回微分可能であることを示しています。ここでは正の整数または です。 ${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f^{-1}\circ f=I}$${\displaystyle 1=I'(a)=(f^{-1}\circ f)'(a)=(f^{-1})'(b)\circ f'(a).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \infty }$

逆関数定理には2つのバリエーションがある。^[1]連続的に微分可能な写像が与えられたとき、最初のものは ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$

• 導関数が射影的である（つまり、それを表すヤコビ行列の階数が である）のは、そのような近傍の近傍に連続的に微分可能な関数が存在する場合のみである。${\displaystyle f'(a)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle g}$${\displaystyle V}$${\displaystyle b=f(a)}$${\displaystyle f\circ g=I}$${\displaystyle b}$

そして2つ目は

• 導関数が単射となるのは、そのような近傍の近傍に連続的に微分可能な関数が存在する場合のみです。${\displaystyle f'(a)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle V}$${\displaystyle b=f(a)}$${\displaystyle g\circ f=I}$${\displaystyle a}$

最初のケース（が全射の場合）では、点は正規値と呼ばれます。 であるため、最初のケースは、が臨界点の像内にないと言うことと同等です（臨界点とは、の核がゼロでない点です）。最初のケースのステートメントは、沈み込み定理の特別なケースです。 ${\displaystyle f'(a)}$${\displaystyle b=f(a)}$${\displaystyle m=\dim \ker(f'(a))+\dim \operatorname {im} (f'(a))}$${\displaystyle b=f(a)}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f'(a)}$

これらの変形は逆関数定理の言い換えです。確かに、 が全射である最初のケースでは、となるような（単射な）線型写像を見つけることができます。 を定義すると、次のようになります。 ${\displaystyle f'(a)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f'(a)\circ T=I}$${\displaystyle h(x)=a+Tx}$

${\displaystyle (f\circ h)'(0)=f'(a)\circ T=I.}$

したがって、逆関数定理により、 はの近くで逆関数を持ちます。つまり、の近くです。2 番目のケース (は単射) も同様に考えられます。 ${\displaystyle f\circ h}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f\circ h\circ (f\circ h)^{-1}=I}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f'(a)}$

次のように定義されるベクトル値関数 を考えます。 ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\!}$

${\displaystyle F(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}.}$

ヤコビ行列は次のようになります。

${\displaystyle J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}}$

ヤコビ行列式:

${\displaystyle \det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}.\,\!}$

行列式はどこでもゼロではありません。したがって、定理は、内のすべての点pに対して、 p の周りの近傍が存在し、その上でFが逆であることを保証します。これは、 Fがそのドメイン全体で逆であることを意味するわけではありません。この場合、F は周期的であるため、単射でもありません。 ${\displaystyle e^{2x}\!}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\!}$${\displaystyle F(x,y)=F(x,y+2\pi )\!}$

導関数が連続であるという仮定を捨てれば、関数はもはや逆関数である必要はありません。たとえば、 と は不連続導関数 を持ち 、は の近くで任意に消えます。これらの臨界点は の局所的な最大/最小点であるため、を含む任意の区間で は 1 対 1 ではありません (逆関数ではありません) 。直感的に、傾きは近くの点には伝播せず、その点では傾きは弱いが急速な振動によって支配されます。 ${\displaystyle f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle f'\!(x)=1-2\cos({\tfrac {1}{x}})+4x\sin({\tfrac {1}{x}})}$${\displaystyle f'\!(0)=1}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f'\!(0)=1}$

重要な結果として、逆関数定理には数多くの証明が与えられている。教科書で最もよく見られる証明は、収縮写像原理、別名バナッハ不動点定理（常微分方程式の解の存在と一意性の証明の重要なステップとしても使用できる）に基づいている。[ ^{2] [3]}

不動点定理は無限次元（バナッハ空間）の設定に適用されるため、この証明は逆関数定理の無限次元版に直ちに一般化される^[4]（下記の一般化を参照）。

有限次元における別の証明は、コンパクト集合上の関数の極値定理に依存します。^[5]このアプローチの利点は、証明がコーシー完全性が存在しない状況に一般化されることです（§ 実閉体上を参照）。

さらに別の証明ではニュートン法が使われており、これは定理の効果的なバージョンを提供するという利点がある。関数の導関数の境界は、関数が逆関数となる近傍の大きさの推定値を意味する。^[6]

存在を証明するには、アフィン変換後に および であると仮定して、とすることができます。 ${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle f^{\prime }(0)=I}$${\displaystyle a=b=0}$

ベクトル値関数の平均値定理により、微分可能関数に対して、となる 。 とすると、${\displaystyle u:[0,1]\to \mathbb {R} ^{m}}$${\textstyle \|u(1)-u(0)\|\leq \sup _{0\leq t\leq 1}\|u^{\prime }(t)\|}$${\displaystyle u(t)=f(x+t(x^{\prime }-x))-x-t(x^{\prime }-x)}$

${\displaystyle \|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|\,\sup _{0\leq t\leq 1}\|f^{\prime }(x+t(x^{\prime }-x))-I\|.}$

ここで、に対してとなるようにを選ぶ。 およびを およびによって帰納的に定義すると仮定する。仮定から、の 場合、${\displaystyle \delta >0}$${\textstyle \|f'(x)-I\|<{1 \over 2}}$${\displaystyle \|x\|<\delta }$${\displaystyle \|y\|<\delta /2}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+y-f(x_{n})}$${\displaystyle \|x\|,\,\,\|x^{\prime }\|<\delta }$

${\displaystyle \|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|/2}$。

特に、は を意味します。帰納的スキームでは 、 と です。したがって、 はに向かうコーシー列です。要求どおりに構築すると。 ${\displaystyle f(x)=f(x^{\prime })}$${\displaystyle x=x^{\prime }}$${\displaystyle \|x_{n}\|<\delta }$${\displaystyle \|x_{n+1}-x_{n}\|<\delta /2^{n}}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=y}$

が C ¹であることを確認するには、となるように 書きます。上記の不等式により、となる。一方、 の場合はとなる。の等比級数を使用すると、 となる。しかし、 ${\displaystyle g=f^{-1}}$${\displaystyle g(y+k)=x+h}$${\displaystyle f(x+h)=f(x)+k}$${\displaystyle \|h-k\|<\|h\|/2}$${\displaystyle \|h\|/2<\|k\|<2\|h\|}$${\displaystyle A=f^{\prime }(x)}$${\displaystyle \|A-I\|<1/2}$${\displaystyle B=I-A}$${\displaystyle \|A^{-1}\|<2}$

${\displaystyle {\|g(y+k)-g(y)-f^{\prime }(g(y))^{-1}k\| \over \|k\|}={\|h-f^{\prime }(x)^{-1}[f(x+h)-f(x)]\| \over \|k\|}\leq 4{\|f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h\| \over \|h\|}}$

は 0 に近づくにつれて0に近づくため、 の場合C ¹であることが証明されます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle h}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g^{\prime }(y)=f^{\prime }(g(y))^{-1}}$

上記の証明は有限次元空間について示したものですが、バナッハ空間にも同様に当てはまります。 可逆関数が でC ^kならば、その逆関数も です。これは、任意の に対して演算子 上の写像が C ^kであるという事実を用いた帰納法でわかります(有限次元の場合、行列の逆は随伴行列をその行列式 で割ったものとして与えられるため、これは基本的な事実です)。 ^{[1] [7]ここでの証明方法は、} Henri Cartan、Jean Dieudonné、Serge Lang、Roger Godement、Lars Hörmanderの書籍に記載されています。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle k>1}$${\displaystyle F(A)=A^{-1}}$${\displaystyle k}$

ここでは収縮写像定理に基づく証明を示す。具体的には、T. Tao ^[8]に従って、収縮写像定理の次の帰結を使用する。

基本的に、この補題は、恒等写像を縮約写像で少し変化させると、単射となり、ある意味で球形が保存されるということを述べています。この補題を仮定して、まず定理を証明します。上記の証明と同様に、 および の特殊なケースを証明すれば十分です。とします。に適用される平均値不等式は、次のようになります。 ${\displaystyle a=0,b=f(a)=0}$${\displaystyle f'(0)=I}$${\displaystyle g=f-I}$${\displaystyle t\mapsto g(x+t(y-x))}$

${\displaystyle |g(y)-g(x)|\leq |y-x|\sup _{0<t<1}|g'(x+t(y-x))|.}$

と は連続なので、${\displaystyle g'(0)=I-I=0}$${\displaystyle g'}$${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle |g(y)-g(x)|\leq 2^{-1}|y-x|}$

すべて に対して となる。すると、最初の補題はがおよび に単射であると言う。すると、 ${\displaystyle x,y}$${\displaystyle B(0,r)}$${\displaystyle f=g+I}$${\displaystyle B(0,r)}$${\displaystyle B(0,r/2)\subset f(B(0,r))}$

${\displaystyle f:U=B(0,r)\cap f^{-1}(B(0,r/2))\to V=B(0,r/2)}$

は単射なので逆関数が存在する。次に、逆関数が連続的に微分可能であることを示す（この部分の議論は前の証明と同じ）。今回は、との逆関数を表すものとする。 については、または と書く。さて、初期の推定により、 ${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle g=f^{-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A=f'(x)}$${\displaystyle x=g(y)}$${\displaystyle g(y+k)=x+h}$${\displaystyle y+k=f(x+h)}$

${\displaystyle |h-k|=|f(x+h)-f(x)-h|\leq |h|/2}$

そして、演算子ノルムについて 書くと、${\displaystyle |h|/2\leq |k|}$${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle |g(y+k)-g(y)-A^{-1}k|=|h-A^{-1}(f(x+h)-f(x))|\leq \|A^{-1}\||Ah-f(x+h)+f(x)|.}$

なので、 が成り立ち、は有界です。したがって、は導関数 でで微分可能です。また、は の合成 と同じなので、 は連続です。 ${\displaystyle k\to 0}$${\displaystyle h\to 0}$${\displaystyle |h|/|k|}$${\displaystyle g}$${\displaystyle y}$${\displaystyle g'(y)=f'(g(y))^{-1}}$${\displaystyle g'}$${\displaystyle \iota \circ f'\circ g}$${\displaystyle \iota :T\mapsto T^{-1}}$${\displaystyle g'}$

残っているのは補題を示すことです。まず、次のようになります。

${\displaystyle |x-y|-|f(x)-f(y)|\leq |g(x)-g(y)|\leq c|x-y|,}$

つまり

${\displaystyle (1-c)|x-y|\leq |f(x)-f(y)|.}$

これは最初の部分の証明です。次に、 を示します。これは、内の点が与えられたときに、マップの不動点を見つけるの と同じであることに注意してください。${\displaystyle f(B(0,r))\supset B(0,(1-c)r)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle B(0,(1-c)r)}$

${\displaystyle F:{\overline {B}}(0,r')\to {\overline {B}}(0,r'),\,x\mapsto y-g(x)}$

ここで、となり、バーは閉じた球を意味します。不動点を見つけるには、縮約写像定理を使用し、 が明確に定義された厳密縮約写像であることを確認するのは簡単です。最終的に、次式が得られます。 ${\displaystyle 0<r'<r}$${\displaystyle |y|\leq (1-c)r'}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f(B(0,r))\subset B(0,(1+c)r)}$

${\displaystyle |f(x)|=|x+g(x)-g(0)|\leq (1+c)|x|.\square }$

明らかなように、収縮写像定理の証明は逐次近似によるものであるため、この証明は前の証明と実質的に変わりません。

逆関数定理は連立方程式を解くのに使用できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}(x)=y_{1}\\&\quad \vdots \\&f_{n}(x)=y_{n},\end{aligned}}}$

つまり、ヤコビ行列が可逆であれば、の関数として表現されます。暗黙関数定理により、より一般的な方程式系を解くことができます。 ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}(x,y)=0\\&\quad \vdots \\&f_{n}(x,y)=0\end{aligned}}}$

についてである。より一般的ではあるが、この定理は実際には逆関数定理の結果である。まず、暗黙関数定理の正確な記述は以下の通りである: ^[9]${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

• 写像 が与えられたとき、がの近傍で連続的に微分可能であり、におけるの導関数が可逆である場合、となる の近傍に対して微分可能な写像が存在する。さらに、 の場合、 となる。すなわち、 は一意の解である。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle f(a,b)=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle y\mapsto f(a,y)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle g:U\to V}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle f(x,g(x))=0}$${\displaystyle f(x,y)=0,x\in U,y\in V}$${\displaystyle y=g(x)}$${\displaystyle g(x)}$

これを確認するには、マップ を考えてみましょう。逆関数定理により、はいくつかの近傍 に対して逆関数を持ちます。すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle F(x,y)=(x,f(x,y))}$${\displaystyle F:U\times V\to W}$${\displaystyle G}$${\displaystyle U,V,W}$

${\displaystyle (x,y)=F(G_{1}(x,y),G_{2}(x,y))=(G_{1}(x,y),f(G_{1}(x,y),G_{2}(x,y)),}$

を意味し、したがって必要なプロパティを持ちます。${\displaystyle x=G_{1}(x,y)}$${\displaystyle y=f(x,G_{2}(x,y)).}$${\displaystyle g(x)=G_{2}(x,0)}$${\displaystyle \square }$

微分幾何学では、逆関数定理は、滑らかな写像の下での正則値の逆像が多様体であることを示すために使用されます。^[10]実際、を の開部分集合からのそのような滑らかな写像とします（結果は局所的であるため、そのような写像を考慮しても一般性は失われません）。内の点を固定し、 上の座標を並べ替えて、行列の階数が であると仮定します。すると、 は階数が であるような写像になります。したがって、逆関数定理により、の近傍で定義されるの滑らかな逆が見つかります。すると、 ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{r}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f^{-1}(b)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right]_{1\leq i,j\leq r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle F:U\to \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n-r}=\mathbb {R} ^{n},\,x\mapsto (f(x),x_{r+1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle F'(a)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V\times W}$${\displaystyle (b,a_{r+1},\dots ,a_{n})}$

${\displaystyle x=(F\circ G)(x)=(f(G(x)),G_{r+1}(x),\dots ,G_{n}(x)),}$

これは

${\displaystyle (f\circ G)(x_{1},\dots ,x_{n})=(x_{1},\dots ,x_{r}).}$

つまり、 による座標変換の後、は座標射影となる（この事実は沈み込み定理として知られている）。さらに、は全単射なので、写像 ${\displaystyle G}$${\displaystyle f}$${\displaystyle G:V\times W\to U'=G(V\times W)}$

${\displaystyle g=G(b,\cdot ):W\to f^{-1}(b)\cap U',\,(x_{r+1},\dots ,x_{n})\mapsto G(b,x_{r+1},\dots ,x_{n})}$

は滑らかな逆と一対一です。つまり、 はの周りの局所パラメータ化を与えます。したがって、は多様体です。(証明は暗黙関数定理の証明と非常に似ており、実際、暗黙関数定理を代わりに使用することもできます。) ${\displaystyle g}$${\displaystyle f^{-1}(b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f^{-1}(b)}$${\displaystyle \square }$

より一般的には、この定理は、滑らかな写像が部分多様体に横断的である場合、その原像は部分多様体であることを示しています。^[11]${\displaystyle f:P\to E}$${\displaystyle M\subset E}$${\displaystyle f^{-1}(M)\hookrightarrow P}$

逆関数定理は局所的な結果であり、各点に適用されます。したがって、この定理は、関数が局所的に全単射であること（または何らかのクラスの局所微分同相であること）を示しているだけです。次の位相的な補題は、局所的な単射性をある程度グローバルな単射性にアップグレードするために使用できます。 ${\displaystyle f}$

証明: ^[14]まず がコンパクトであると仮定します。定理の結論が偽であれば、と がそれぞれ内のいくつかの点に収束するような2 つのシーケンスを見つけることができます。は に単射なので、です。ここで、が十分に大きい場合、は が単射であるの近傍にあります。したがって、 には矛盾があります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{i}\neq y_{i}}$${\displaystyle f(x_{i})=f(y_{i})}$${\displaystyle x_{i},y_{i}}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x_{i},y_{i}}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{i}=y_{i}}$

一般に、集合 を考える。 は、が単射である任意の部分集合に対して と素である。を、の内部に含まれる和集合および を含むコンパクト部分集合の増加列とする。次に、証明の最初の部分により、各 に対して、となるの近傍を見つけることができます。すると、 は必要な特性を持ちます。(別のアプローチについては ^{[15]も参照してください。)}${\displaystyle E=\{(x,y)\in X^{2}\mid x\neq y,f(x)=f(y)\}}$${\displaystyle S\times S}$${\displaystyle S\subset X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X_{1}\subset X_{2}\subset \cdots }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i+1}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle A\cap X_{i}}$${\displaystyle U_{i}^{2}\subset X^{2}-E}$${\displaystyle U=\bigcup _{i}U_{i}}$${\displaystyle \square }$

この補題は、逆関数定理の次のような（ある種の）グローバルバージョンを意味します。

が点である 場合、上記は通常の逆関数定理であることに注意してください。${\displaystyle A}$

正則写像に対する逆関数定理のバージョンが存在します。

この定理は、通常の逆関数定理から導かれます。実際、 を変数におけるのヤコビ行列、における のヤコビ行列とします。すると が成立し、仮定により は非ゼロとなります。したがって、通常の逆関数定理により、 はの近くで連続的に微分可能な逆 とともに単射となります。連鎖律により、 とともに、 ${\displaystyle J_{\mathbb {R} }(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{i},y_{i}}$${\displaystyle J(f)}$${\displaystyle z_{j},{\overline {z}}_{j}}$${\displaystyle \det J_{\mathbb {R} }(f)=|\det J(f)|^{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle w=f(z)}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}_{j}}}(f_{j}^{-1}\circ f)(z)=\sum _{k}{\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial w_{k}}}(w){\frac {\partial f_{k}}{\partial {\overline {z}}_{j}}}(z)+\sum _{k}{\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial {\overline {w}}_{k}}}(w){\frac {\partial {\overline {f}}_{k}}{\partial {\overline {z}}_{j}}}(z)}$

ここで、 と は正則なので、左辺と右辺の最初の項は消えます。したがって、各 に対して となります。${\displaystyle f_{j}^{-1}\circ f}$${\displaystyle f_{k}}$${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial {\overline {w}}_{k}}}(w)=0}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \square }$

同様に、正則関数に対する暗黙関数定理も存在する。^[19]

すでに述べたように、単射な滑らかな関数の逆関数が滑らかでない（例えば実変数）場合があります。これは正則関数の場合は当てはまりません。その理由は次のとおりです。 ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

逆関数定理は、微分可能多様体間の微分可能写像という観点から言い換えることができる。この文脈では、定理は、 （クラスの）微分可能写像に対して、の 微分が${\displaystyle F:M\to N}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N}$

が の点における線型同型であるとき、の開近傍が存在し、 ${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle F|_{U}:U\to F(U)}$

は微分同相写像です。これは、 pとF ( p )を含むMとNの連結成分が同じ次元を持つことを意味します。これは、 dF _pが同型であるという仮定から直接示唆されています。 Fの導関数がMのすべての点pで同型である場合、写像Fは局所微分同相写像です。

逆関数定理は、バナッハ空間 XとY の間の微分可能写像にも一般化できます。^[20] U をXにおける原点の開近傍と連続微分可能関数とし、 Fの0 におけるフレシェ微分がXのY上への有界線型同型であるとします。すると、 Yにおけるの開近傍Vと、 V内のすべてのyに対してとなる連続微分可能写像が存在します。さらに、は方程式 の唯一十分に小さい解xです。 ${\displaystyle F:U\to Y\!}$${\displaystyle dF_{0}:X\to Y\!}$${\displaystyle F(0)\!}$${\displaystyle G:V\to X\!}$${\displaystyle F(G(y))=y}$${\displaystyle G(y)\!}$${\displaystyle F(x)=y\!}$

バナッハ多様体には逆関数定理も存在する。^[21]

逆関数定理（および暗黙関数定理）は、点の近くで定数階数を持つ滑らかな写像は、その点の近くで特定の正規形に置けるという定階定理の特殊なケースと見なすことができます。 ^[22]具体的には、点 の近くで が定数階数を持つ場合、pの開近傍Uと のVが存在し、となる微分同相写像とが存在し、その導関数が に等しい。つまり、F はp の近くでその導関数に「似ている」ということです。の近傍で階数が一定である点の集合は、 Mの開稠密な部分集合です。これは、階数関数の半連続性の結果です。したがって、定階定理は、領域の一般的な点に適用されます。 ${\displaystyle F:M\to N}$${\displaystyle p\in M\!}$${\displaystyle F(p)\!}$${\displaystyle u:T_{p}M\to U\!}$${\displaystyle v:T_{F(p)}N\to V\!}$${\displaystyle F(U)\subseteq V\!}$${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N\!}$${\displaystyle v^{-1}\circ F\circ u\!}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle p}$

Fの導関数が点pで単射（または射影）である場合、それはpの近傍でも単射（または射影）であり、したがってFの階数はその近傍で一定であり、定階定理が適用されます。

もしそれが正しいとすれば、ヤコビアン予想は多項式の逆関数定理の変形である。これは、ベクトル値多項式関数のヤコビ行列式が可逆多項式（つまり非ゼロの定数）である場合、その逆関数も多項式関数である、というものである。2 つの変数の場合でも、これが正しいか間違っているかは不明である。これは多項式理論における大きな未解決問題である。

のとき、は倍連続的に微分可能であり、ある点におけるヤコビアンが階数であるとき、 の逆関数は一意ではない可能性がある。しかし、の近傍内のすべての に対して、はこの近傍で 倍連続的に微分可能であり、（は のムーア・ペンローズ擬似逆関数である）となるような局所選択関数が存在する。^[23]${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle m\leq n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A=\nabla f({\overline {x}})}$${\displaystyle {\overline {x}}}$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$${\displaystyle f(s(y))=y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\overline {y}}=f({\overline {x}})}$${\displaystyle s({\overline {y}})={\overline {x}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \nabla s({\overline {y}})=A^{T}(AA^{T})^{-1}}$${\displaystyle \nabla s({\overline {y}})}$${\displaystyle A}$

逆関数定理は実閉体 k（またはO極小構造）上でも成立する。^[24]正確には、定理は連続的に微分可能なの開集合間の半代数的（または定義可能）写像に対して成立する。 ${\displaystyle k^{n}}$

IFT の通常の証明では、コーシー完全性に依存するバナッハの不動点定理を使用します。議論のその部分は、完全性を必要としない極値定理の使用に置き換えられます。明示的に、§ 収縮写像原理を使用した証明では、コーシー完全性は の包含 を確立するためにのみ使用されます。ここでは、代わりに を直接示します(これで十分です)。内の点が与えられたときに、の近傍で定義された関数を考えます。 の場合、 となり、は可逆であるため となります。ここで、極値定理により、 は閉球 上のある点で極小値を許容し、 を使用して内にあることが示されます。であるため となり、これは主張されている包含​​を証明します。${\displaystyle B(0,r/2)\subset f(B(0,r))}$${\displaystyle B(0,r/4)\subset f(B(0,r))}$${\displaystyle y}$${\displaystyle B(0,r/4)}$${\displaystyle P(x)=|f(x)-y|^{2}}$${\displaystyle {\overline {B}}(0,r)}$${\displaystyle P'(x)=0}$${\displaystyle 0=P'(x)=2[f_{1}(x)-y_{1}\cdots f_{n}(x)-y_{n}]f'(x)}$${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle {\overline {B}}(0,r)}$${\displaystyle B(0,r)}$${\displaystyle 2^{-1}|x|\leq |f(x)|}$${\displaystyle P'(x_{0})=0}$${\displaystyle f(x_{0})=y}$${\displaystyle \square }$

• ナッシュ・モーザー定理

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