比較静学

経済学において、比較静学とは、何らかの基礎となる外生的パラメータの変化の前後の2つの異なる経済的結果を比較することである。^{[ 1 ]}

静的解析の一種として、調整過程（もしあれば）後の2つの異なる平衡状態を比較する。平衡状態への動きや、変化の過程そのものは研究対象としない。

比較静学は、単一市場を分析する際には供給と需要の変化を研究するために、また経済全体を分析する際には金融政策や財政政策の変化を研究するために一般的に使用されます。比較静学は、ミクロ経済学（一般均衡分析を含む）とマクロ経済学の分析ツールです。比較静学は、ジョン・R・ヒックス（1939年）とポール・A・サミュエルソン（1947年）によって形式化されました（Kehoe、1987年、p.517 ）が、少なくとも1870年代からグラフで提示されていました。^{[ 2 ]} 

新古典派成長モデルのような安定均衡変化率のモデルにおいては、比較動学は比較静学の対応物である（Eatwell、1987）。

比較静学の結果は通常、均衡が安定であるという仮定の下で、均衡を定義する方程式系の線形近似を計算するために陰関数定理を用いて導出されます。つまり、ある外生パラメータに十分小さな変化が生じた場合、均衡方程式に現れる項の1階微分のみを用いて、各内生変数がどのように変化するかを計算できるのです。

例えば、ある内生変数の均衡値を仮定してみましょう。${\displaystyle x}$以下の式によって決定されます。

${\displaystyle f(x,a)=0\,}$

どこ${\displaystyle a}$は外生パラメータである。すると、一次近似では、 の変化は${\displaystyle x}$小さな変化によって引き起こされる${\displaystyle a}$以下の条件を満たす必要があります：

$\displaystyle B{\text{d}}x+C{\text{d}}a=0.}$

ここ$\displaystyle {\text{d}}x}$そして${\displaystyle {\text{d}}a}$変化を表す${\displaystyle x}$そして${\displaystyle a}$それぞれ、一方${\displaystyle B}$そして${\displaystyle C}$は、${\displaystyle f}$に関して${\displaystyle x}$そして ${\displaystyle a}$（初期値で評価）${\displaystyle x}$そして${\displaystyle a}$それぞれ )。言い換えれば、 の変化は と書くことができる。${\displaystyle x}$として：

$\displaystyle dx=-B^{-1}C{\text{d}}a.}$

最後の式を d aで割ると、 xのaに関する比較静力学的微分、つまりxに対するaの乗数が得られます。

$\displaystyle {\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}a}}=-B^{-1}C.}$

仮定する${\displaystyle p(x;q)}$は滑らかで厳密に凹な目的関数であり、xはn個の内生変数のベクトル、 qはm 個の外生パラメータのベクトルである。制約なし最適化問題を考える。${\displaystyle x^{*}(q)=\arg \max p(x;q)}$。 させて${\displaystyle f(x;q)=D_{x}p(x;q)}$、n × n行列の1階偏導関数${\displaystyle p(x;q)}$最初のn 個の引数x ₁ ,..., x _nに関して。最大化関数${\displaystyle x^{*}(q)}$n × 1 の一次条件によって定義される${\displaystyle f(x^{*}(q);q)=0}$。

比較静学では、 mパラメータの変化に応じてこの最大化値がどのように変化するかを問う。目的は、${\displaystyle \partial x_{i}^{*}/\partial q_{j},i=1,...,n,j=1,...,m}$。

目的関数の厳密な凹性は、 fのヤコビ行列（これはまさに内生変数に関するpの 2 階偏導関数の行列である）が非特異（逆行列を持つ）であることを意味する。したがって、陰関数定理により、${\displaystyle x^{*}(q)}$は局所的に連続微分可能な関数と見なすことができ、局所的な応答は${\displaystyle x^{*}(q)}$qの小さな変化は次のように表される。

${\displaystyle D_{q}x^{*}(q)=-[D_{x}f(x^{*}(q);q)]^{-1}D_{q}f(x^{*}(q);q).}$

連鎖律と一階条件を適用すると、

${\displaystyle D_{q}p(x^{*}(q),q)=D_{q}p(x;q)|_{x=x^{*}(q)}.}$

（包絡線定理を参照）。

上記の方法を一般化すると、最適化問題に一連の制約条件を含めることができる。これにより、一般包絡線定理が得られる。応用例としては、価格や賃金の変化に応じたマーシャル需要の変化の決定などが挙げられる。

陰関数定理を用いた比較静学の限界の一つは、結果が最適値の（非常に小さな）近傍、つまり外生変数の非常に小さな変化に対してのみ有効であるという点である。もう一つの限界は、比較静学の手順を正当化するために従来用いられてきた仮定が、過度に制約的である可能性があることである。例えば、ジョン・ナッハバーは、あるケーススタディで、一般均衡分析における比較静学は、集計レベルではなく、非常に小さな個別レベルのデータを用いるのが最適であることを発見した。^{[ 6 ]}

ポール・ミルグロムとクリス・シャノン^{[ 7 ]}は1994年に、最適化問題に比較静学を適用することを正当化するために従来用いられてきた仮定、具体的には、優先集合または制約集合の凸性、境界の滑らかさ、1階および2階微分条件、予算集合または目的関数の線形性といった仮定は実際には必要ではないと指摘した。実際、これらの条件を満たす問題は、単調変換によって、比較静学は同一だがこれらの条件の一部または全部に違反する問題になる場合がある。したがって、これらの条件は比較静学を正当化するために必要ではない。ミルグロムとシャノンの論文、およびヴェイノット^{[ 8 ]}とトプキス^{[ 9 ]}によって得られた結果から、単調比較静学と呼ばれる重要なオペレーションズ・リサーチの分野が発展した。特に、この理論は、順序保存変換に依存しない条件のみを用いた比較静学分析に焦点を当てている。この方法は格子理論を用い、準超モジュラリティと単一交差条件の概念を導入する。単調比較静学の経済学への幅広い応用には、生産理論、消費者理論、完全情報および不完全情報ゲーム理論、オークション理論などが含まれる。^{[ 10 ]}

• モデル（経済学）
• 質的経済学

• ジョン・イートウェル他編（1987）「比較動学」『ニュー・パルグレイブ：経済学辞典』第1巻、517ページ 。
• ジョン・R・ヒックス（1939）。価値と資本。
• ティモシー・J・キーホー、1987年。「比較静学」、『ニュー・パルグレイブ：経済学辞典』、第1巻、517～520ページ 。
• Andreu Mas-Colell、Michael D. Whinston、Jerry R. Green、1995年。ミクロ経済学理論。
• ポール・A・サミュエルソン（1947）。経済分析の基礎。
• ユージン・シルベルバーグとウィング・スエン、2000年。『経済学の構造：数学的分析』第3版。

• サンノゼ州立大学経済学部 -比較静学分析
• AmosWeb用語集
• IFCIリスク研究所用語集（米国証券取引所用語集より）