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リチャード・アーネスト・ベルマン[ 2 ]（1920年8月26日 - 1984年3月19日）は、アメリカの応用数学者で、1953年に動的計画法を導入し、生物数学などの他の数学分野にも重要な貢献をした。彼は、主要な生物数学ジャーナルであるMathematical BiosciencesとJournal of Mathematical Analysis and Applicationsを創刊した。
ベルマンは1920年にニューヨーク市で、ポーランド系とロシア系のユダヤ人で、信仰を実践していない両親、パール（旧姓サフィアン）とジョン・ジェームズ・ベルマンの間に生まれた。両親はブルックリンのプロスペクト・パーク近くのバーゲン・ストリートで小さな食料品店を経営していた。[ 3 ] [ 4 ]彼は無神論者だった。[ 5 ] [6] 1937年にブルックリンのアブラハム・リンカーン高校に入学し、 [ 4 ]ブルックリン大学で数学を学び、1941年に学士号を取得した。その後、ウィスコンシン大学で修士号を取得した。第二次世界大戦中は、ロスアラモスの理論物理学部門のグループで働いた。1946年にプリンストン大学でソロモン・レフシェッツの指導の下、博士号を取得した。[ 7 ] 1949年からベルマンは長年にわたりランド研究所で働き、その間に動的計画法を開発した。[ 8 ]
晩年、リチャード・ベルマンは生物学と医学に強い関心を寄せるようになり、これらを「現代科学の最前線」と位置づけた。1967年、彼は学術誌『Mathematical Biosciences 』の創刊編集者となり、同誌は急速に数理生物学分野で最も重要な学術誌の一つへと成長し、現在もその地位を維持している。1985年には、彼の功績を称え、同誌の最優秀研究論文に隔年で授与されるベルマン賞（数理生物学分野）が創設された。
ベルマンは1973年に脳腫瘍と診断され、摘出手術を受けたものの、合併症により重度の障害を負った。彼は南カリフォルニア大学の教授であり、アメリカ芸術科学アカデミーのフェロー（1975年）[ 9 ] 、全米工学アカデミーの会員（1977年）[ 10 ]、全米科学アカデミーの会員（1983年）であった。
彼は1979年にIEEE名誉勲章を授与された。「意思決定プロセスと制御システム理論への貢献、特に動的計画法の作成と応用」に対してである。[ 11 ]彼の主要な業績はベルマン方程式である。
ベルマン方程式（動的計画方程式とも呼ばれる）は、動的計画法として知られる数学的最適化手法に関連する最適性の必要条件である。最適制御理論を用いて解決できるほぼすべての問題は、適切なベルマン方程式を分析することによっても解決できる。ベルマン方程式は、最初に工学制御理論や応用数学の他の分野に適用され、その後、経済理論における重要なツールとなった。[ 12 ]
ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式（HJB）は、最適制御理論の中心となる偏微分方程式です。HJB方程式の解は「価値関数」であり、これは、関連するコスト関数を持つ与えられた動的システムに対する最適なコストを与えます。古典的な変分問題、例えば最速降下曲線問題も、この方法を使用して解くことができます。この方程式は、1950年代にリチャード・ベルマンとその同僚によって開拓された動的計画法の理論の結果です。対応する離散時間方程式は通常、ベルマン方程式と呼ばれます。連続時間では、この結果は、ウィリアム・ローワン・ハミルトンとカール・グスタフ・ヤコビ・ヤコビによるハミルトン・ヤコビ方程式に関する古典物理学の初期の作業の拡張と見なすことができます。[ 13 ]
次元の呪いは、ベルマンが考案した表現で、 (数学的)空間に次元を追加すると体積が指数関数的に増加するという問題を表しています。次元の呪いの1つの意味は、値関数に状態変数が多い場合、ベルマン方程式の数値解法では計算時間が大幅に増加するということです。例えば、100個の等間隔のサンプル点があれば、点間の距離が0.01以下の単位区間をサンプリングできます。一方、隣接する点間の間隔が0.01の格子を持つ10次元単位超立方体の同等のサンプリングには、 10²⁰個のサンプル点が必要になります。つまり、ある意味では、10次元超立方体は単位区間よりも10¹⁸倍「大きい」と言えます。(REベルマンの例を参考にしました。下記参照) [ 14 ]
フォードの後にこのアルゴリズムを発見したにもかかわらず、彼はベルマン・フォード・アルゴリズム（ラベル修正アルゴリズムとも呼ばれる）の中で言及されている。このアルゴリズムは、一部のエッジの重みが負になる可能性のある重み付き有向グラフにおいて、単一始点の最短経路を計算する。ダイクストラのアルゴリズムは、より短い実行時間で同じ問題を解決するが、エッジの重みが非負である必要がある。
彼は生涯を通じて619本の論文と39冊の本を出版した。人生最後の11年間は、脳外科手術の深刻な合併症に苦しみながらも100本以上の論文を発表した（Dreyfus、2003）。抜粋：[ 4 ]
毎週違う教会に連れて行かれ、様々な儀式を見学した。彼は、様々な宗教の理想と、神の名のもとに行われてきた残酷さや偽善の歴史との対比に衝撃を受けた。神を信じる知的巨匠たちのことはよく知っていたが、もし尋ねられたら、各自が自分で選択しなければならないと答えただろう。「ニューヨーク州と神にかけて…」といった表現は、彼には滑稽に思えた。幼い頃、両親が彼を店に送り出す直前に、特に不快な場面があったことを彼は覚えている。彼は通りを走りながら、「神様がいたらいいのに、神様がいたらいいのに」と何度も繰り返した。
当然のことながら、私は無神論者として育ちました。家族の中で宗教を信仰していたのは祖母だけで、彼女はドイツ系だったので、これはごく自然なことでした。彼女は神を信じ、祝祭日にはシナゴーグに行きましたが、儀式についてくだらないことは何もありませんでした。私が軍隊に行くとき、彼女が「神があなたを守ってくれるわ」と言ったのをよく覚えています。私は丁寧に微笑みました。彼女は付け加えました。「あなたが神を信じていないことは知っているけれど、それでも神はあなたを守ってくれるわ」。カトリック、プロテスタント、ユダヤ教、モルモン教、ヒンドゥー教、仏教などを実践している、洗練された非常に知的な人々が、宗教の有無は非常に個人的な問題だと強く感じていることを私は知っています。私自身の態度はラグランジュのようなものです。ある日、ナポレオンが彼に神を信じるかと尋ねました。「陛下」と彼は言いました。「私にはその仮説は必要ありません」。