順序効用

経済学において、順序効用関数とは、行為者の選好を順序尺度で表す関数である。順序効用理論によれば、どちらの選択肢が優れているかを問うことだけが意味を持ち、どれだけ優れているか、あるいはどれだけ良いかを問うことは無意味である。確実な状況下における消費者の意思決定に関する理論はすべて、順序効用を用いて表現することができ、また実際によく用いられている。

例えば、ジョージが「私はAよりBが好きで、BよりCが好き」と言ったとします。ジョージの好みは、次のような関数uで表すことができます。

${\displaystyle u(A)=9,u(B)=8,u(C)=1}$

しかし、基数効用の批判者たちは、この関数の唯一の意味のあるメッセージは順序であると主張している。${\displaystyle u(A)>u(B)>u(C)}$実際の数値は意味をなさない。したがって、ジョージの好みは次の関数vで表すこともできる。

${\displaystyle v(A)=9,v(B)=2,v(C)=1}$

関数uとvは順序的に同等であり、ジョージの好みを同程度によく表している。

順序効用理論は基数効用理論とは対照的である。基数効用理論は、選好の差も重要であると仮定する。uにおいては、AとBの差はBとCの差よりもはるかに小さいが、 vにおいてはその逆である。したがって、uとvは基数的に等価ではない。

順序効用概念は、1906年にパレートによって初めて導入されました。 ^{[ 1 ]}

世界のすべての状態の集合を次のように仮定します。${\displaystyle X}$エージェントは選好関係を持ち、${\displaystyle X}$弱い選好関係は、${\displaystyle \preceq }$、 となることによって${\displaystyle A\preceq B}$「エージェントはAと同じくらいBを望んでいる」と書かれている。

シンボル${\displaystyle \sim }$無差別関係の略記として用いられる。${\displaystyle A\sim B\iff (A\preceq B\land B\preceq A)}$これは「エージェントはBとAのどちらにも無関心である」と書かれている。

シンボル${\displaystyle \prec }$これは、強い選好関係を簡潔に表すために用いられる。${\displaystyle A\prec B\iff (A\preceq B\land B\not \preceq A)}$もし：

${\displaystyle A\preceq B\iff u(A)\leq u(B)}$

いくつかの条件${\displaystyle \preceq }$表現関数の存在を保証するために必要となるもの：

• 推移性: もし${\displaystyle A\preceq B}$そして${\displaystyle B\preceq C}$それから${\displaystyle A\preceq C}$。
• 完全性：すべてのバンドルについて${\displaystyle A,B\in X}$： どちらか${\displaystyle A\preceq B}$または${\displaystyle B\preceq A}$あるいはその両方。
  • 完全性とは、反射性も意味する。${\displaystyle A\in X}$:${\displaystyle A\preceq A}$。

これらの条件が満たされ、セットされた${\displaystyle X}$有限であれば、関数を作成するのは簡単です${\displaystyle u}$これは、${\displaystyle \prec }$各要素に適切な番号を割り当てるだけで ${\displaystyle X}$冒頭の段落で例示したように、Xが可算無限の場合も同様である。さらに、値が次の範囲にある表現効用関数を帰納的に構成することが可能である。${\displaystyle (-1,1)}$[ ^{4 ]​}

いつ${\displaystyle X}$が無限である場合、これらの条件は不十分です。たとえば、辞書式選好は推移的で完全ですが、いかなる効用関数でも表現できません。^{[ 4 ]}必要な追加条件は連続性です。

選好関係は、BがAよりも好ましい場合、BまたはAからのわずかな逸脱によって両者の順序が逆転しない場合に連続であると呼ばれる。形式的には、集合X上の選好関係は、以下のいずれかの同値条件を満たす場合に連続であると呼ばれる。

1. すべての${\displaystyle A\in X}$セット${\displaystyle \{(A,B)|A\preceq B\}}$位相的に閉じている${\displaystyle X\times X}$製品のトポロジー（この定義では${\displaystyle X}$位相空間であること）。
2. すべてのシーケンスについて${\displaystyle (A_{i},B_{i})}$、もしすべてのiについて${\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}$そして${\displaystyle A_{i}\to A}$そして${\displaystyle B_{i}\to B}$、 それから${\displaystyle A\preceq B}$。
3. すべての${\displaystyle A,B\in X}$そのため${\displaystyle A\prec B}$周囲に球体が存在する${\displaystyle A}$そしてボールが周りを囲む${\displaystyle B}$すべての${\displaystyle a}$ボールの周り${\displaystyle A}$そしてすべての${\displaystyle b}$ボールの周り${\displaystyle B}$、${\displaystyle a\prec b}$この定義には${\displaystyle X}$距離空間である。

選好関係が連続効用関数で表される場合、それは明らかに連続である。ドブルー（1954）の定理によれば、その逆もまた真である。

連続的で完全な選好関係はすべて、連続的な順序効用関数によって表現できる。

辞書順の選好は連続的ではないことに注意してください。たとえば、${\displaystyle (5,0)\prec (5,1)}$しかし、(5,1) の周りのすべてのボールには、${\displaystyle x<5}$そしてこれらの点は${\displaystyle (5,0)}$これは、上述のように、これらの選好を効用関数で表現することはできないという事実と一致する。

すべての効用関数vに対して、 vで表される一意の選好関係が存在します。しかし、その逆は真ではありません。選好関係は、多くの異なる効用関数で表される可能性があります。同じ選好は、 vの単調増加変換である任意の効用関数として表現できます。たとえば、

${\displaystyle v(A)\equiv f(v(A))}$

どこ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$が任意の単調増加関数である場合、関数vとvは同一の無差別曲線マッピングを生み出す。

この等価性は、以下のように簡潔に説明できます。

順序効用関数は、単調増加変換を除いて一意である。

対照的に、基数効用関数は、単調増加するアフィン変換を除いて一意です。すべてのアフィン変換は単調であるため、2つの関数が基数的に等価であれば、順序的にも等価ですが、その逆は成り立ちません。

今後は、集合が${\displaystyle X}$は、すべての非負の実数2次元ベクトルの集合です。したがって、 の要素は${\displaystyle X}$ペアです${\displaystyle (x,y)}$これは、例えばリンゴとバナナといった2つの製品から消費された量を表しています。

そして特定の状況下では選好関係が${\displaystyle \preceq }$効用関数によって表される${\displaystyle v(x,y)}$。

選好関係が単調増加であると仮定します。これは、「多いほど常に良い」ことを意味します。

${\displaystyle x<x'\implies (x,y)\prec (x',y)}$

${\displaystyle y<y'\implies (x,y)\prec (x,y')}$

すると、 vの偏導関数が存在する場合、両方とも正になります。つまり、次のようになります。

効用関数が単調増加する選好関係を表す場合、その効用関数は単調増加する。

ある人が束を持っていると仮定します${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$そして彼はこの束とこの束のどちらでも構わないと主張している${\displaystyle (x_{0}-\lambda \cdot \delta ,y_{0}+\delta )}$これは彼が喜んで与えるという意味です${\displaystyle \lambda \cdot \delta }$xの単位を取得${\displaystyle \delta }$y の単位。この比率を次のように維持すると${\displaystyle \delta \to 0}$私たちはこう言います${\displaystyle \lambda }$は、点におけるxとyの間の限界代替率(MRS)である。${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$[ ^{5 ]： 82​}

このMRSの定義は、順序選好関係のみに基づいており、数値効用関数には依存しません。選好関係が効用関数で表され、その関数が微分可能である場合、MRSはその関数の導関数から計算できます。

${\displaystyle MRS={\frac {v'_{x}}{v'_{y}}}.}$

例えば、選好関係が次のように表される場合${\displaystyle v(x,y)=x^{a}\cdot y^{b}}$それから${\displaystyle MRS={\frac {a\cdot x^{a-1}\cdot y^{b}}{b\cdot y^{b-1}\cdot x^{a}}}={\frac {ay}{bx}}}$関数のMRSは同じです${\displaystyle v(x,y)=a\cdot \log {x}+b\cdot \log {y}}$これは偶然ではなく、これら2つの関数は同じ選好関係を表しており、それぞれが他方の単調増加変換である。

一般的に、MRSは時点によって異なる可能性がある。${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$例えば、${\displaystyle (9,1)}$MRSが低いのは、その人はxをたくさん持っていてyは1つしかないからですが、${\displaystyle (9,9)}$または${\displaystyle (1,1)}$MRSはより高い値を示す。以下にいくつかの特殊なケースを説明する。

ある選好関係のMRSがバンドルに依存しない場合、つまりMRSがすべてのバンドルで同じである場合${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$、無差別曲線は直線であり、その形式は次のようになる。

${\displaystyle x+\lambda y={\text{const}},}$

そして、選好関係は線形関数で表すことができる。

${\displaystyle v(x,y)=x+\lambda y.}$

（もちろん、同じ関係は、次のような他の多くの非線形関数によって表すこともできます。${\displaystyle {\sqrt {x+\lambda y}}}$または${\displaystyle (x+\lambda y)^{2}}$（ただし、線形関数が最も単純である。）^{[ 5 ]： 85}

MRSが依存する場合${\displaystyle y_{0}}$しかし、${\displaystyle x_{0}}$選好関係は、次の形式の準線形効用関数で表すことができる。

${\displaystyle v(x,y)=x+\gamma v_{Y}(y)}$

どこ${\displaystyle v_{Y}}$は単調増加関数です。MRSは関数であるため${\displaystyle \lambda (y)}$可能な関数${\displaystyle v_{Y}}$積分として計算できる${\displaystyle \lambda (y)}$: ^{[ 6 ] [ 5 ] : 87}

${\displaystyle v_{Y}(y)=\int _{0}^{y}{\lambda (y')dy'}}$

この場合、すべての無差別曲線は平行であり、互いに水平方向の移転を表している。

より一般的な効用関数としては、加法関数がある。

${\displaystyle v(x,y)=v_{X}(x)+v_{Y}(y)}$

与えられた選好が加法的な効用関数で表現できるかどうかを確認する方法はいくつかある。

財が3つ以上ある場合、効用関数の加法性の条件は、財が2つの場合よりも驚くほど単純である。これは、ドブルー（1960）の定理3の結果である。加法性に必要な条件は、選好的独立性である。^{[ 5 ]： 104}

財のサブセット A は、サブセット B の定数値が与えられた場合、サブセット A の選好関係がこれらの定数値に依存しない場合、サブセット B の選好関係に対して選好独立であると言われる。例えば、3 つの財x 、 y、zがあるとしよう。サブセット { x , y } は、すべての に対して が成り立つ場合、サブセット { z }に対して選好独立である。${\displaystyle x_{i},y_{i},z,z'}$:

${\displaystyle (x_{1},y_{1},z)\preceq (x_{2},y_{2},z)\iff (x_{1},y_{1},z')\preceq (x_{2},y_{2},z')}$。

この場合、単純に次のように言うことができます。

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\preceq (x_{2},y_{2})}$定数zの場合。

選好の独立性は、独立した財の場合に意味を成す。例えば、リンゴとバナナの束に対する選好は、おそらく、ある人が持っている靴と靴下の数とは無関係であり、その逆もまた然りである。

ドブルーの定理によれば、財のすべての部分集合がその補集合に対して選好的に独立である場合、選好関係は加法価値関数で表すことができる。ここでは、そのような加法価値関数がどのように構築できるかを示すことで、この結果を直感的に説明する。^{[ 5 ]}証明では、3つの財x、y、zを仮定する。3つの価値関数それぞれについて、3つの点を定義する方法を示す。${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}$0点、1点、2点。他の点も同様の方法で計算でき、連続性を用いて、関数がその値域全体で適切に定義されていると結論付けることができる。

0点：任意に選択${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$そして、それらを値関数のゼロとして割り当てます。つまり、

${\displaystyle v_{x}(x_{0})=v_{y}(y_{0})=v_{z}(z_{0})=0}$

1ポイント：任意に選択${\displaystyle x_{1}>x_{0}}$そのため${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\succ (x_{0},y_{0},z_{0})}$. それを値の単位として設定します。例:

${\displaystyle v_{x}(x_{1})=1}$

選ぶ${\displaystyle y_{1}}$そして${\displaystyle z_{1}}$以下の無差別関係が成り立つ。

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{1},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{1})}$。

この無関心は、 yとzの単位をxの単位に合わせるのに役立ちます。これら3つの点の値は1であるべきなので、次のように割り当てます。

${\displaystyle v_{y}(y_{1})=v_{z}(z_{1})=1}$

2点目：ここでは、優先的独立性の仮定を用います。${\displaystyle (x_{1},y_{0})}$そして${\displaystyle (x_{0},y_{1})}$はzとは無関係であり、同様に と の関係も${\displaystyle (y_{1},z_{0})}$そして${\displaystyle (y_{0},z_{1})}$xとは無関係であり、${\displaystyle (z_{1},x_{0})}$そして${\displaystyle (z_{0},x_{1})}$はyに依存しない。したがって

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{1})\sim (x_{0},y_{1},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{0}).}$

これは、関数vがこれら3つの点で同じ値（2）を持つことができることを意味するため便利です。${\displaystyle x_{2},y_{2},z_{2}}$そのため

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{2},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{2})\sim (x_{1},y_{1},z_{0})}$

そして割り当てる

${\displaystyle v_{x}(x_{2})=v_{y}(y_{2})=v_{z}(z_{2})=2.}$

3 ポイント: これまでの割り当てが一貫していることを示すには、合計値が 3 になるすべての点が無差別点であることを示す必要があります。ここでも、選好独立性の仮定が使用されています。なぜなら、${\displaystyle (x_{2},y_{0})}$そして${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$zとは無関係である（他のペアについても同様である）。したがって

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{1})}$

他のペアについても同様である。したがって、3点目は一貫して定義されている。

帰納法を用いてこのように進め、すべての整数点における商品ごとの関数を定義し、次に連続性を用いてすべての実数点における関数を定義することができる。

上記の証明のポイント 1 における暗黙の仮定は、3 つの財すべてが必須または選好関連であるということです。^{[ 7 ] : 7}これは、ある財の量を増やすと新しいバンドルが厳密に良くなるようなバンドルが存在することを意味します。

3つ以上の商品の場合の証明も同様です。実際、点のすべての部分集合が優先的に独立していることを確認する必要はなく、線形数の商品のペアを確認すれば十分です。たとえば、${\displaystyle m}$さまざまな商品、${\displaystyle j=1,...,m}$ならば、すべての に対して であることを確認するだけで十分である。${\displaystyle j=1,...,m-1}$2つの商品${\displaystyle \{x_{j},x_{j+1}\}}$互いに優先的に独立している${\displaystyle m-2}$商品。^{[ 5 ]： 115}

ジェラール・ドブルー^{[ 9 ] [ 10 ]}によって確立された最も一般的なタイプの効用関数（二次関数と加法関数）の数学的基礎により、アンドラニク・タンジアンは、純粋な順序データからこれらの関数を構築する方法を開発すること ができた。特に、加法関数と二次関数は、${\displaystyle n}$変数は意思決定者へのインタビューから構築することができ、質問は完全に追跡することを目的としている${\displaystyle n}$2D無差別曲線${\displaystyle n-1}$基数効用推定値を参照せずに平面を座標化する。^{[ 11 ] [ 12 ]}

以下の表は、経済学で一般的に用いられる2種類の効用関数を比較したものである。

• 辞書式選好関係は効用関数では表現できない。Economics.SE
• R2 に埋め込み可能な線形順序を辞書式順序で認識する。Math.SE 内。
• マレー・N・ロスバード著『効用経済学と厚生経済学の再構築に向けて』