一定の代替弾力性

代替の一定弾力性( CES ) は、新古典派経済学の多くの生産関数と効用関数の共通の仕様です。 CES では、同じ生産レベルを維持するために 1 つの入力要素を別の入力要素 (たとえば、労働を資本) で置き換える能力は、生産レベルが異なっても一定のままであるとされています。 効用関数の場合、 CES は、消費者が、効用レベルに関係なく、同じレベルの効用を維持しながら、さまざまな商品 (たとえば、労働を消費) をどのように置き換えたいかについて一定の選好を持っていることを意味します。 これは、生産者と消費者の両方が、出力または効用レベルに関係なく、同様の入力構造と選好を持っていることを意味します。

この尺度の重要な経済的要素は、生産者に、例えばより多くの労働力を必要とする生産モード間など、異なる生産モードや生産タイプ間を移行する方法を明確に示したことである。数人の経済学者がこのテーマに登場し、定数の最終的な発見に貢献した。その中には、トム・マッケンジー、ジョン・ヒックス、ジョーン・ロビンソンなどが含まれる。

具体的には、2 種類以上の消費財、または 2 種類以上の生産投入物を集約量に組み合わせる特定の種類の集約関数で発生します。この集約関数は、一定の代替弾力性を示します。

代替可能な生産要素はいくつかあるが、最も一般的なのは代替の弾力性の形式である。直接的な経験的評価を制限するのとは対照的に、一定の代替の弾力性は使いやすく、そのため広く使用されている。^[1] マクファデンは次のように述べている。

一定ES仮定は生産可能性の形式に対する制約であり、この特性を持つ生産関数のクラスを特徴付けることができる。これは、2要素生産の場合にアロー-チェネリー-ミンハス-ソローによって行われた。^[1]

CES生産関数は、一定の代替弾力性を示す新古典派生産関数である。言い換えれば、生産技術は、技術的代替の限界率のパーセンテージ変化により、要素（労働と資本など）の割合のパーセンテージ変化が一定である。ソロー^[2]によって導入され、後にアロー、チェネリー、ミンハス、ソローによって普及した2要素（資本、労働）CES生産関数は次の通りである：^{[3] [4] [5] [6]}

${\displaystyle Q=F\cdot \left(a\cdot K^{\rho }+(1-a)\cdot L^{\rho }\right)^{\frac {\upsilon }{\rho }}}$

どこ

• ${\displaystyle Q}$= 出力量
• ${\displaystyle F}$=全要素生産性
• ${\displaystyle a}$= パラメータを共有
• ${\displaystyle K}$、= 一次生産要素（資本と労働）の量${\displaystyle L}$
• ${\displaystyle \rho}$= = 置換パラメータ${\displaystyle {\frac {\sigma -1}{\sigma }}}$
• ${\displaystyle \sigma}$= =代替の弾力性${\displaystyle {\frac {1}{1-\rho }}}$
• ${\displaystyle \upsilon}$= 生産関数の同質性の度合い。ここで= 1 (規模の経済性一定)、< 1 (規模の経済性逓減)、> 1 (規模の経済性逓増)です。${\displaystyle \upsilon}$${\displaystyle \upsilon}$${\displaystyle \upsilon}$

その名前が示すように、CES生産関数は資本と労働の間の代替の弾力性が一定であることを示している。レオンチェフ関数、線形関数、コブ・ダグラス関数はCES生産関数の特殊なケースである。つまり、

• 1 に近づくと、線形または完全な代替関数になります。${\displaystyle \rho}$
• が極限でゼロに近づくと、コブ・ダグラス生産関数が得られます。${\displaystyle \rho}$
• 負の無限大に近づくと、レオンチェフまたは完全補完生産関数が得られます。${\displaystyle \rho}$

n入力のCES生産関数の一般的な形は次の通りである: ^[7]

${\displaystyle Q=F\cdot \left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}^{r}\ \right]^{\​​frac {1}{r}}}$

どこ

• ${\displaystyle Q}$= 出力量
• ${\displaystyle F}$= 全要素生産性
• ${\displaystyle a_{i}}$= 入力iのパラメータを共有する、${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=1}$
• ${\displaystyle X_{i}}$= 生産要素の量 (i = 1,2...n)
• ${\displaystyle s={\frac {1}{1-r}}}$= 代替の弾力性。

CES（ソロー）関数形式を拡張して複数の生産要素を収容すると、いくつかの問題が生じます。ただし、これを行う完全に一般的な方法はありません。宇沢は、一定の部分代替弾力性を持つ唯一の可能なn要素生産関数（n>2）は、要素のペア間のすべての弾力性が同一であるか、要素のペアが異なる場合はすべてが互いに等しく、残りのすべての弾力性が1でなければならないことが必要であることを示しました。^[8] これは、どの生産関数にも当てはまります。つまり、2つ以上の要素にCES関数形式を使用すると、通常、すべての要素間の代替弾力性が一定ではないことを意味します。

ネストされた CES 関数は、部分均衡モデル と一般均衡モデルでよく見られます。異なるネスト (レベル) により、適切な代替の弾力性を導入できます。

同じ CES 関数形式は、消費者理論における効用関数としても現れます。たとえば、消費財の種類が存在する場合、総消費はCES アグリゲータを使用して定義できます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X=\left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{\frac {1}{s}}x_{i}^{\frac {s-1}{s}}\ \right]^{\​​frac {s}{s-1}}.}$

ここでも、係数はシェアパラメータであり、は代替の弾力性です。したがって、消費財は、が無限大に近づくと完全代替財となり、がゼロに近づくと完全補完財となります。が1に近づく場合も、ロピタルの法則が適用される極限ケースとなります。CESアグリゲータは、Armington (1969) によって議論されたArmingtonアグリゲータと呼ばれることもあります。 ^[9]${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$

CES 効用関数は相同的選好の特殊なケースです。

以下は、2つの財、および、均等分配のCES効用関数の例である。^{[10] : 112}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle u(x,y)=(x^{r}+y^{r})^{1/r}.}$

この場合の 支出関数は次のようになります。

${\displaystyle e(p_{x},p_{y},u)=(p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)})^{(r-1)/r}\cdot u.}$

間接効用関数はその逆関数です。

${\displaystyle v(p_{x},p_{y},I)=(p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)})^{(1-r)/r}\cdot I.}$

需要関数は次のとおりです。

${\displaystyle x(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{x}^{1/(r-1)}}{p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)}}}\cdot I,}$

${\displaystyle y(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{y}^{1/(r-1)}}{p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)}}}\cdot I.}$

CES効用関数は、独占的競争の文脈における最適な製品多様性の研究においてディクシットとスティグリッツ（1977）が検討した事例の1つである。^[11]

CES 効用と等弾性効用の違いに注意してください。CES 効用関数は、確実な消費財バンドルに対する選好を表す順序効用関数ですが、等弾性効用関数は、宝くじに対する選好を表す基数効用関数です。CES 間接 (双対) 効用関数は、カテゴリ需要がマルチカテゴリの CES 間接 (双対) 効用関数によって内生的に決定される効用整合ブランド需要システムを導出するために使用されています。また、CES 選好は自己双対であり、主 CES 選好と双対 CES 選好の両方が、任意の程度の凸性を示す可能性のある無差別曲線システムを生み出すことも示されています。^[12]

• 3D における CES 型生産関数の解剖
• N次元CES技術を持つ企業のための閉形式ソリューション
• 独占企業の収益機能