効用最大化問題

選好の完全性とは、消費者が消費セット内のすべてのバンドルを比較できることを意味する。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$で${\displaystyle X}$、 どちらか${\displaystyle x\succeq y}$または${\displaystyle y\succeq x}$あるいはその両方。つまり、消費者は${\displaystyle x}$以上${\displaystyle y}$または彼は${\displaystyle y}$以上${\displaystyle x}$あるいは、彼はどちらにも無関心である。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$。

ご了承ください、

• もし${\displaystyle x\succeq y}$保持するが、${\displaystyle y\succeq x}$そうすれば私たちは学ぶことができる${\displaystyle x\succ y}$つまり、消費者は${\displaystyle x}$以上${\displaystyle y}$。

• もし${\displaystyle x\succeq y}$そして${\displaystyle y\succeq x}$保持すると、次のことが学べます${\displaystyle x\thicksim y}$つまり、消費者はどちらでも構わない。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$。

すべての人にとって${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$、${\displaystyle x\succeq x}$。

消費者は、ある消費財の組み合わせと、同じ消費財の組み合わせのどちらを選んでも構わない（これは非常に単純な仮定である）。

すべての人にとって${\displaystyle x,y,z\in X}$、 もし${\displaystyle x\succeq y}$そして${\displaystyle y\succeq z}$、 それから${\displaystyle x\succeq z}$。

すなわち、消費者が弱く好む場合${\displaystyle x}$以上${\displaystyle y}$そして${\displaystyle y}$以上${\displaystyle z}$そして彼は弱く好む${\displaystyle x}$以上${\displaystyle z}$。

仮に${\displaystyle x\succ y}$そして${\displaystyle x'\in B(x,\epsilon ),y'\in B(y,\epsilon )}$それから${\displaystyle x'\succ y'}$

だった${\displaystyle B}$半径が のボールです${\displaystyle \epsilon }$束の周り、${\displaystyle \epsilon >0}$そして${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$[ ^{13 ]​}

この仮定は、消費者が一方のバンドルを他方よりも好む場合、バンドルのごくわずかな変化では選好関係は変化しないことを意味する。つまり、選好は明確に確立されているということである。

これら4つの前提条件は、消費者の嗜好が明確かつ一貫していることを保証する。さらに、これら4つの前提条件が満たされる場合、消費者の嗜好は連続効用関数で表すことができる。

• 辞書式選好関係は連続性を示さないことを示す。消費者は消費バンドルを好む。${\displaystyle x=(8,10)}$消費バンドル全体にわたって${\displaystyle y=(8,5)}$しかし、消費者は${\displaystyle y'=(8+\epsilon ,5)}$以上${\displaystyle x'=(8,10+\epsilon )}$だった${\displaystyle \epsilon >0}$そして${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$したがって、辞書式選好関係を表す効用関数は存在しない。^{[ 14 ]}

単調性の仮定は、財が「良い」ものであって「悪い」ものではないことを強調する。つまり、財の量を増やしても消費者の満足度が悪化することはない。選好関係が単調であるためには、両方の財の量を増やすと消費者の満足度が厳密に向上し（効用が増加する）、一方の財の量を増やしても他方の財の量を一定に保ったまま消費者の満足度が悪化してはならない。^{[ 15 ]}

選好関係${\displaystyle \succcurlyeq }$単調であるのは、

1. ${\displaystyle x>y\Rightarrow x\succeq y}$
2. ${\displaystyle x\gg y\Rightarrow x\succ y}$

• ${\displaystyle x>y}$つまり${\displaystyle x_{i}\geqslant y_{i}}$すべての人々のために${\displaystyle i=1,..,k}$ 少なくとも1つのケースで${\displaystyle x_{i}>y_{i}}$。
• ${\displaystyle x\gg y}$つまり${\displaystyle x_{i}>y_{i}}$すべての人々のために${\displaystyle i=1,..,k}$。

選好関係は、財の増加が消費者の満足度を高める場合、厳密に単調である。

${\displaystyle x>y\Rightarrow x\succ y}$[ ^{15 ]​}

凸性の仮定は、消費者は極端なバンドルよりも「平均的な」バンドルを好むというものである。^{[ 16 ]}

より厳密に言うと、${\displaystyle x\thicksim y}$そして${\displaystyle z=\alpha x+(1-\alpha )y}$どこ${\displaystyle 0<\alpha <1}$。 それから、${\displaystyle z\succeq x,y}$。

簡単に言うと、消費者は${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$、 そして${\displaystyle z}$これは、${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$重み付き${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle (1-\alpha )}$それぞれ、そして${\displaystyle z}$より悪くない${\displaystyle x}$または${\displaystyle y}$。

選好関係が厳密な凸性を示す場合、${\displaystyle z\succ x,y}$つまり、消費者は平均的な組み合わせを厳密に好むということである。

と仮定する${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }x_{2}}$どこ${\displaystyle \alpha <1}$。 ご了承ください${\displaystyle MRS_{1,2}={\frac {\alpha x_{2}}{x_{1}}}}$MRSは、${\displaystyle x_{2}}$減少し、${\displaystyle x_{1}}$増加する。つまり、効用関数は凸関数である。したがって、効用関数と予算集合の接点が、消費者の最大化問題の解となる。

${\displaystyle \max _{x_{1},x_{2}}\;x_{1}^{\alpha }x_{2}}$

${\displaystyle s.t.p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq I}$

${\displaystyle x_{1},x_{2}\geqslant 0}$

一次条件：

${\displaystyle MRS_{1,2}={\frac {\alpha x_{2}}{x_{1}}}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}\Rightarrow \alpha x_{2}={p_{1}x_{1}}}$

予算制約に挿入する：

${\displaystyle \alpha p_{2}x_{2}+p_{2}x_{2}=I\Rightarrow p_{2}x_{2}(1+\alpha )=I\Rightarrow x_{2}^{*}={\frac {I}{p_{2}(1+\alpha )}}\Rightarrow x_{1}^{*}={\frac {\alpha I}{p_{1}(1+\alpha )}}}$

両財とも正常財であることは容易にわかる。すなわち、各財の需要量は所得とともに増加する。また、各財の需要量は価格とともに減少する。さらに、両財は代替財でも補完財でもない。つまり、一方の財の価格が変化しても、他方の財の需要は変化しない。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=min\{\alpha x_{1},x_{2}\}}$

完全補完財である最小関数については、微分不可能な関数であるため、効用最大化バンドルを見つけるために同じ手順を踏むことはできません。したがって、直感を用いる必要があります。消費者は、予算線と交差する最も高い無差別曲線の屈曲点で効用を最大化します。${\displaystyle x_{2}=\alpha x_{1}}$[ ^{26 ]}直感は単純明快です。消費者が効用を1単位増やすのは、消費を1単位増やす場合のみです^。${\displaystyle y}$そして${\displaystyle {\tfrac {1}{\alpha }}}$単位${\displaystyle x}$（それが等しいことを見る）${\displaystyle min\{\alpha x_{1},x_{2}\}}$1 に解いて${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$別々に）。図2は、${\displaystyle \alpha =1}$。

最適条件を予算制約に挿入することにより（${\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=I}$) 我々は次のことを得る${\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}\alpha x_{1}=I\Rightarrow x_{1}(p_{1}+\alpha p_{2})=I\Rightarrow x_{1}^{*}={\frac {I}{(p_{1}+\alpha p_{2})}}\Rightarrow x_{2}^{*}={\frac {\alpha I}{(p_{1}+\alpha p_{2})}}}$。

財の需要に注目してください${\displaystyle i\in \{1,2\}}$収入とともに増加する（${\displaystyle I}$つまり、その商品は正常財です。その価格は、その商品自体の価格とともに減少します。つまり、両方の商品は正常財です。最後に、商品の需要は${\displaystyle i}$商品の価格が下がると減少する${\displaystyle j}$良いので${\displaystyle i}$良いものを補完する${\displaystyle j}$。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\alpha x_{1}+x_{2}}$

つまり、${\displaystyle x_{2}}$に置き換えることができます ${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}}$単位${\displaystyle x_{1}}$。

限界代替率は次のとおりです。

${\displaystyle MRS_{1,2}=\alpha }$

価格比率は${\displaystyle {\frac {p_{1}}{p_{2}}}}$。

もし${\displaystyle MRS_{1,2}=\alpha >{\frac {p_{1}}{p_{2}}}}$すなわち、主観的価値${\displaystyle x_{1}}$（に関しては${\displaystyle x_{2}}$）は、その相対価格（の観点から）よりも高い。${\displaystyle x_{2}}$)、消費者は収入のすべてを${\displaystyle x_{1}}$逆の場合は、消費者は収入のすべてを${\displaystyle x_{2}}$そうでなければ、消費者は2つの商品のどの組み合わせに対しても無関心である。

まとめると：

${\displaystyle MRS_{1,2}=\alpha >{\frac {p_{1}}{p_{2}}}\Rightarrow x_{1}^{*}={\frac {I}{p_{1}}},x_{2}^{*}=0}$

${\displaystyle MRS_{1,2}=\alpha <{\frac {p_{1}}{p_{2}}}\Rightarrow x_{1}^{*}=0,x_{2}^{*}={\frac {I}{p_{2}}}}$

${\displaystyle MRS_{1,2}=\alpha ={\frac {p_{1}}{p_{2}}}\Rightarrow x_{1}^{*}\in [0,{\frac {I}{p_{1}}}],x_{2}^{*}\in [{\frac {I}{p_{2}}},0]}$

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }+x_{2}^{\alpha }}$${\displaystyle 0<\alpha <1}$

${\displaystyle \max _{x_{1},x_{2}}\;x_{1}^{\alpha }+x_{2}^{\alpha }}$

${\displaystyle s.t.p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq I}$

${\displaystyle x_{1},x_{2}\geqslant 0}$

一次条件：

${\displaystyle MRS_{1,2}={\biggl (}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}{\biggr )}^{1-\alpha }={\frac {p_{1}}{p_{2}}}\Rightarrow \ x_{2}={\biggl (}{\frac {p_{1}}{p_{2}}}{\biggr )}^{\frac {1}{1-\alpha }}x_{1}=kx_{1}}$どこ${\displaystyle k={\biggl (}{\frac {p_{1}}{p_{2}}}{\biggr )}^{\frac {1}{1-\alpha }}}$。

予算制約に挿入する：

${\displaystyle x_{1}{\Biggl (}p_{1}+p_{2}k{\Biggr )}=I}$

${\displaystyle \Rightarrow x_{1}^{*}={\frac {I}{{\biggl (}p_{1}+p_{2}k{\biggr )}}}}$${\displaystyle \Rightarrow x_{2}^{*}={\frac {Ik}{{\biggl (}p_{1}+p_{2}k{\biggr )}}}}$

2つの商品の需要は、それぞれの価格とともに減少することが容易に確認できる。さらに、

${\displaystyle {\frac {\partial x_{1}^{*}}{\partial p_{2}}}={\frac {I\alpha }{1-\alpha }}\cdot {\frac {\left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}}{\left(p_{1}+p_{2}\left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}\right)^{2}}}>0}$、${\displaystyle {\frac {\partial x_{2}^{*}}{\partial p_{1}}}=-{\frac {I\alpha }{1-\alpha }}\cdot {\frac {\left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}}{p_{1}\left(p_{1}+p_{2}\left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}\right)^{2}}}>0}$。

つまり、それらの商品は代替品である。

最後に、これらの商品が正常商品であることは容易にわかる。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }+x_{2}}$ どこ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$。

${\displaystyle MRS_{1,2}={\alpha x_{1}^{\alpha -1}}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}\Rightarrow \ x_{1}^{*}={\biggl (}{\frac {\alpha p_{2}}{p_{1}}}{\biggr )}^{\frac {1}{1-\alpha }}\Rightarrow \ x_{2}^{*}={\frac {I-p_{1}x_{1}^{*}}{p_{2}}}}$

内部解では、すべての財の数量が正であるため、財1は中立財であり、財2は正常財であることに注意してください。

つまり、消費者の所得が増加すれば、その余剰所得はすべて財2に費やされることになる。

しかし、${\displaystyle x_{2}^{*}}$負の値になる可能性がある。この場合、${\displaystyle x_{1}^{*}={\frac {I}{p_{1}}}}$そして${\displaystyle x_{2}^{*}=0}$。

効用関数が凹関数である場合、効用関数と予算線の接点は、予算線上のすべての財の組み合わせの中で消費者に最も低い効用をもたらす点となります。この場合、コーナー解が得られます。

もし${\displaystyle u{\biggl (}{\frac {I}{p_{1}}},0{\biggr )}>u{\biggl (}0,{\frac {I}{p_{2}}}{\biggr )}}$それから${\displaystyle x_{1}^{*}={\frac {I}{p_{1}}},x_{2}^{*}=0}$反対の場合、${\displaystyle x_{1}^{*}=0,x_{2}^{*}={\frac {I}{p_{2}}}}$そうでなければ、消費者は財1に全財産を費やすことと財2に全財産を費やすことのどちらにも無関心である。

消費者の効用最大化バンドルも固定されておらず、時間とともに変化する可能性があります。たとえば、重複世代モデルでは、生産要素の価格（労働の価格 - 賃金と資本の価格 - 金利）が時間とともに変化するため、消費者の意思決定も変化します。^{[ 32 ]}消費者は、時間の経過に伴う選好の変化（たとえば、双曲割引の下での時間の経過に伴う最適な消費バンドルの選択）^{[ 33 ]}、または時間の経過に伴う状態の変化（状態依存効用関数の場合）^{[ 34 ]により、意思決定を変更することができます。}