契約曲線

ミクロ経済学では、契約曲線またはパレート集合^{[ 1 ]}は、2人の人々が財を最初に割り当てた状態から、相互に利益のある取引を行った結果として生じる、2人の人々の最終的な2つの財の割り当てを表す点の集合です。この軌跡上のすべての点はパレート効率的な割り当てであり、これらの点のいずれかから、一方の人々の割り当てに対する満足度を高めることなく、もう一方の人々の満足度を低下させるような再割り当ては存在しません。契約曲線は、2人の人々が最初に保有した2つの財から取引を行うことで到達できるパレート効率的な点のサブセットです。これは、ここに示したエッジワースボックス図に描かれており、各人の割り当ては、その人の原点（両方の財の割り当てがゼロの点）から、1つの財については垂直方向に、もう一方の財については水平方向に測定されます。一方の人の原点はエッジワースボックスの左下隅であり、もう一方の人の原点はボックスの右上隅です。図中の一点は、人々の初期保有量（2つの財の初期配分量）を表しています。2人は、互いに利益のある取引ができなくなるまで、財の交換を続けます。概念的に取引を停止できる点の集合は、契約曲線上の点です。

しかし、ほとんどの著者^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]は}、契約曲線を一方の原点から他方の原点までのパレート効率的な軌跡全体として特定しています。

ワルラス均衡はすべて契約曲線上に存在する。パレート効率的な点と同様に、契約曲線上の各点は、一方の無差別曲線と他方の無差別曲線の接点となる。したがって、契約曲線上では両者の限界代替率は同じである。

上記のエッジワースボックス図に示すように、供給量が固定されている財XとYを消費する2人のエージェント、オクタビオとアビーが存在する経済を想定します。さらに、オクタビオとアビーの間で財の初期配分（賦存）を仮定し、それぞれが、それぞれの原点に向かって凸である無差別曲線で表される正規構造（凸）の選好を持つとします。初期配分がオクタビオの無差別曲線とアビーの無差別曲線の接点にない場合、初期配分はオクタビオの無差別曲線とアビーの無差別曲線が交差する点になければなりません。これら2つの無差別曲線はレンズ状になり、初期配分はレンズの2つの角のいずれかに位置します。オクタビオとアビーは相互に利益のある取引を選択します。つまり、両者にとってより良い（原点から遠い）無差別曲線上の点に取引を行います。そのような点はレンズの内側に位置し、一方の財が他方の財と交換される割合は、オクタビオの限界代替率とアビーの限界代替率の間にある。取引によって各人が一方の財をより多く、他方の財をより少なく得ることになるため、取引は図において上方かつ左方向、あるいは下方かつ右方向への移動をもたらす。

両者は、それぞれの限界代替率（その時点における無差別曲線の傾きの絶対値）が、現在の配分における相手の限界代替率と異なる限り、取引を続ける（この場合、異なる限界代替率の間で、一方の財と他方の財の相互に許容可能な交換比率が存在する）。オクタビオの限界代替率がアビーの限界代替率と等しくなる点では、もはや相互に利益のある交換は不可能となる。この点はパレート効率的均衡と呼ばれる。エッジワース・ボックスでは、オクタビオの無差別曲線がアビーの無差別曲線に接する点であり、両者の初期配分によって形成されるレンズの内側に位置する。

したがって、契約曲線、つまりオクタビオとアビーが最終的に到達する可能性のある点の集合は、初期配分によって形成されるレンズの内側にあるパレート最適軌跡の部分である。分析では、契約曲線上のどの特定の点に彼らが到達するかは断定できない。それは、二人の交渉力に依存するからである。

2つの商品と2人の個人の場合、契約曲線は次のように求められます。${\displaystyle x_{2}^{1}}$これは、1人などに割り当てられた商品2の最終量を指します。$u^1$そして$u²$それぞれ個人1と個人2が経験した最終的な効用レベルを参照します。$u_0^2$これは、取引を全く行わずに最初の配分から2番目の人物が得る効用レベルを指し、${\displaystyle \omega _{1}^{tot}}$そして${\displaystyle \omega _{2}^{tot}}$それぞれ商品1と商品2の固定された総数量を指します。

${\displaystyle \max _{x_{1}^{1},x_{2}^{1},x_{1}^{2},x_{2}^{2}}u^{1}(x_{1}^{1},x_{2}^{1})}$

対象:

$\displaystyle x_{1}^{1}+x_{1}^{2}\leq \omega _{1}^{tot}}$

$\displaystyle x_{2}^{1}+x_{2}^{2}\leq \omega _{2}^{tot}}$

$\displaystyle u^{2}(x_{1}^{2},x_{2}^{2})\geq u_{0}^{2}}$

この最適化問題は、2人の間で財を分配する際に、各財の利用可能な総量を2人の合計で超えないようにし、かつ、1人目の効用を可能な限り高くしつつ、2人目の効用を初期分配時よりも低くならないようにする（つまり、2人目が初期分配時から発見された点までの取引を拒否しないようにする）というものです。この問題の定式化は、レンズ上のパレート効率的な点を、1人目の原点から可能な限り遠い位置で見つけ出します。これは、1人目が交渉力を完全に握っている場合に達成される点です。（実際には、2人目が特定された点までの取引に同意するインセンティブを少なくともわずかに生み出すためには、その点はレンズの内側にわずかに位置している必要があります。）

契約曲線全体を描くために、上記の最適化問題は次のように修正できます。各財の配分がその供給量を超えないこと、および両者の効用が初期保有時の効用以上であるという制約の下で、重みbと1- bを持つ人物1と人物2の効用の加重平均を最大化します。

${\displaystyle \max _{x_{1}^{1},x_{2}^{1},x_{1}^{2},x_{2}^{2}}b\cdot u^{1}(x_{1}^{1},x_{2}^{1})+(1-b)\cdot u^{2}(x_{1}^{2},x_{2}^{2})}$

対象:

$\displaystyle x_{1}^{1}+x_{1}^{2}\leq \omega _{1}^{tot}}$

$\displaystyle x_{2}^{1}+x_{2}^{2}\leq \omega _{2}^{tot}}$

$\displaystyle u^{1}(x_{1}^{1},x_{2}^{1})\geq u_{0}^{1}}$

$\displaystyle u^{2}(x_{1}^{2},x_{2}^{2})\geq u_{0}^{2}}$

どこ$u^1$は、初期保有量から取引を行わない場合に個人 1 が経験する効用です。重み付けパラメータbを変化させることで、契約曲線全体をトレースできます。b = 1 の場合、問題は前の問題と同じで、初期保有量の無差別曲線によって形成されるレンズの一方の端にある効率的な点を特定します。b = 0 の場合、重みはすべて個人 1 の効用ではなく個人 2 の効用にかかるため、最適化によってレンズのもう一方の端にある効率的な点が特定されます。b がこれら 2 つの極値の間で滑らかに変化すると、契約曲線上のすべての中間点がトレースされます。

上記の最適化は、両者が実際に明示的にも暗黙的にも行うものではないことに注意してください。むしろ、これらの最適化は、経済学者が契約曲線上の点を特定するための単なる手段にすぎません。

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• マス＝コレル、アンドリュー；ウィンストン、マイケル・D；グリーン、ジェリー（1995）。ミクロ経済学理論。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-510268-1