行列の固有値分解

その​${\displaystyle 2\times 2}$実数行列

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}}$$

対角線で表すと次のようになる。${\displaystyle \mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {Q} }$⁠、そこで⁠${\displaystyle \mathbf {Q} }$は、決定すべき非特異行列である。

$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}.}$$

それから $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}},}$$

実際の数値については${\displaystyle x}$そして​${\displaystyle y}$⁠ .

左辺の等式の両辺に を掛ける${\displaystyle \mathbf {Q} }$⁠、

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}.}$$

上記の式は、2つの連立方程式に分解できます。

$${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ax\\cx\end{bmatrix}}\\[1.2ex]{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}by\\dy\end{bmatrix}}.\end{cases}}}$$

固有値を因数分解する${\displaystyle x}$そして​​${\displaystyle y}$⁠、

$${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\[1.2ex]{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=y{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}.\end{cases}}}$$

賃貸

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}}$$

これは2つのベクトル方程式のシステムを与える。

$${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {A} \mathbf {a} =x\mathbf {a} \\\mathbf {A} \mathbf {b} =y\mathbf {b} .\end{cases}}}$$

これは、2つの解を固有値として含む単一のベクトル方程式で表すことができる。

$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} ,}$$

どこで${\displaystyle \lambda }$は、いずれかの固有値を表します。${\displaystyle x}$または​​${\displaystyle y}$⁠、そして⁠${\displaystyle \mathbf {u} }$は対応する固有ベクトルを表します。${\displaystyle \mathbf {a} }$または​​${\displaystyle \mathbf {b} }$⁠ .

シフト​${\displaystyle \lambda \mathbf {u} }$左辺に持ってきて因数分解する${\displaystyle \mathbf {u} }$外へ、

$${\displaystyle \left(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} \right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .}$$

以来​${\displaystyle \mathbf {Q} }$は単数形ではないので、次のことが不可欠です。${\displaystyle \mathbf {u} }$はゼロではない。したがって、

$${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0.}$$

したがって

$${\displaystyle (1-\lambda )(3-\lambda )=0,}$$

行列の固有値の解を与える${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠として⁠${\displaystyle \lambda =1}$または​​${\displaystyle \lambda =3}$⁠。 の固有値分解から得られる対角行列は⁠${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠したがって⁠${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&3\end{smallmatrix}}\right]}$⁠ .

上記の連立方程式に解を代入すると、

$${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\[1.2ex]{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=3{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}.\end{cases}}}$$

方程式を解くと、次のようになります。

$${\displaystyle a=-2c\quad {\text{and}}\quad b=0,\qquad c,d\in \mathbb {R} \setminus \{0\}.}$$

したがって、行列は${\displaystyle \mathbf {Q} }$の固有値分解に必要${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠は

$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}},\quad {\text{where}}\quad c,d\in \mathbb {R} \setminus \{0\}.}$$

最後に、 の対角化${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠は：

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}},\quad {\text{where}}\quad c,d\in \mathbb {R} \setminus \{0\}.}$$

この例では、${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$そして​​${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$異なる固有値に関連付けられた固有ベクトルは、互いに直交することはできません。実際、次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle =0&\iff -2c\!\times \!0+cd=0\\&\iff c=0\quad {\text{or}}\quad d=0\\&\iff \mathbf {u} _{1}=0\quad {\text{or}}\quad \mathbf {u} _{2}=0,\end{aligned}}}$$

それは、${\displaystyle \mathbf {Q} }$単数形。

行列の場合⁠${\displaystyle \mathbf {A} }$は固有値分解が可能であり、その固有値のいずれもゼロでない場合、${\displaystyle \mathbf {A} }$は可逆であり、その逆は次のように与えられる。

$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}.}$$

もし${\displaystyle \mathbf {A} }$は対称行列です。${\displaystyle \mathbf {Q} }$は の固有ベクトルから形成されます。${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠、それから${\displaystyle \mathbf {Q} }$は直交行列であることが保証されています。したがって、${\displaystyle \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} ^{\mathsf {T}}}$さらに、​${\displaystyle \mathbf {\Lambda } }$は対角行列であり、その逆行列は簡単に計算できます。

$${\displaystyle \left[\mathbf {\Lambda } ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ^{2}&=\left(\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}\right)\left(\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}\right)=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \left(\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {Q} \right)\mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{2}\mathbf {Q} ^{-1}\\[1.2ex]\mathbf {A} ^{n}&=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{n}\mathbf {Q} ^{-1}\\[1.2ex]\exp \mathbf {A} &=\mathbf {Q} \exp(\mathbf {\Lambda } )\mathbf {Q} ^{-1}\end{aligned}}}$$ これらは関数の例です${\displaystyle f(x)=x^{2},\;f(x)=x^{n},\;f(x)=\exp {x}}$。 さらに、${\displaystyle \exp {\mathbf {A} }}$は行列指数関数です。

複素数値の正方行列${\displaystyle A}$正常です（つまり、${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{*}}$⁠、そこで${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$はの共役転置です${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ ) 分解できる場合に限り、${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}}$⁠、そこで${\displaystyle \mathbf {U} }$はユニタリ行列です（つまり、${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}=\mathbf {U} ^{-1}}$⁠ ) および${\displaystyle \mathbf {\Lambda } =\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$は対角行列です。^{[ 7 ]}列${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}}$の${\displaystyle \mathbf {U} }$は正規直交基底を形成し、の固有ベクトルである。${\displaystyle \mathbf {A} }$対応する固有値とともに${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$⁠ . ^{[ 8 ]}

例えば、${\displaystyle 2\times 2}$正規行列​${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}}$⁠ .

固有値は${\displaystyle \lambda _{1}=3}$そして​​${\displaystyle \lambda _{2}=-1}$⁠ .

これらの固有値に対応する可能性のある正規化固有ベクトルは次のとおりです。${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$そして​​${\displaystyle \mathbf {u} _{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}}$⁠ .

因数分解は⁠${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}}$⁠、そこで

⁠${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$⁠、 ⁠${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ={\begin{bmatrix}3&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$⁠、そして⁠${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}=\mathbf {U} ^{-1}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$⁠ .

検証は${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}=}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&0\\0&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$⁠${\displaystyle ={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}=\mathbf {A} }$⁠ .

この例は、正規行列を対角化するプロセスを示しています。${\displaystyle \mathbf {A} }$固有値と固有ベクトルを求め、ユニタリ行列を形成することによって${\displaystyle \mathbf {U} }$対角行列${\displaystyle \mathbf {\Lambda } }$⁠、そして分解を検証する。

特別なケースとして、すべての⁠${\displaystyle n\times n}$実対称行列では、固有値は実数であり、固有ベクトルは実数かつ正規直交行列として選択できます。したがって、実対称行列は${\displaystyle \mathbf {A} }$は次のように分解できます。${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{\mathsf {T}}}$⁠、そこで⁠${\displaystyle \mathbf {Q} }$は、列が の実数正規直交固有ベクトルである直交行列です。${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠、そして⁠${\displaystyle \mathbf {\Lambda } }$は、の固有値である対角行列です。${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ . ^{[ 9 ]}

対角化可能な行列は、線形独立な固有ベクトルの完全なセットを持つ場合、固有値分解を用いて分解できます。それらは次のように表すことができます。${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {P} \mathbf {D} \mathbf {P} ^{-1}}$⁠、そこで${\displaystyle \mathbf {P} }$は、列が の固有ベクトルである行列です。${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠、そして${\displaystyle \mathbf {D} }$は、 の対応する固有値からなる対角行列です。${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ . ^{[ 8 ]}

正定値行列とは、すべての固有値が正である行列のことです。これらは次のように分解できます。${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {L} \mathbf {L} ^{\mathsf {T}}}$コレスキー分解を用いると、${\displaystyle \mathbf {L} }$は下三角行列である。^{[ 10 ]}

直交行列は以下を満たす${\displaystyle \mathbf {Q} \mathbf {Q} ^{\mathsf {T}}=\mathbf {I} }$（実数の場合）ユニタリ行列は以下を満たす${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {U} ^{\dagger }=\mathbf {I} }$（複雑なケース）${\displaystyle \mathbf {Q} ^{\mathsf {T}}}$の転置を表す${\displaystyle \mathbf {Q} }$そして${\displaystyle \mathbf {U} ^{\dagger }}$はの共役転置を表します${\displaystyle \mathbf {U} }$⁠ 。ユニタリ変換を用いて対角化する。 ^{[ 8 ]}

エルミート行列は以下を満たす${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} ^{\dagger }}$⁠、そこで${\displaystyle \mathbf {H} ^{\dagger }}$はの共役転置を表します${\displaystyle \mathbf {H} }$これらはユニタリ行列または直交行列を使用して対角化できます。 ^{[ 8 ]}

• 固有値の積は、行列Aの行列式に等しい。$${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} \right)=\prod _{i=1}^{N_{\lambda }}\lambda _{i}^{n_{i}}.}$$各固有値は、その代数的重複度であるn _i乗されることに注意してください。
• 固有値の合計は、行列Aのトレースに等しい。$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \right)=\sum _{i=1}^{N_{\lambda }}n_{i}\lambda _{i}.}$$各固有値は、その代数的重複度であるn _iを乗じることに注意してください。
• Aの固有値がλ _iであり、Aが可逆である場合、 A ⁻¹の固有値は単にλ ⁻¹ _iとなります。
• Aの固有値がλ _iである場合、任意の正則関数fおよびf ( A )が適切に定義される任意のAに対して、f ( A )の固有値は単にf ( λ _i )となります。

• Aがエルミート行列であり、かつフルランクである場合、固有ベクトルの基底は互いに直交するように選択できる。固有値は実数である。
• A ⁻¹の固有ベクトルはAの固有ベクトルと同じです。
• 固有ベクトルは、乗法定数を除いて定義されます。つまり、Av = λ vの場合、任意のスカラーc ≠ 0に対してc vも固有ベクトルとなります。特に、− vおよびe ^iθ v (任意のθに対して) も固有ベクトルです。
• 退化固有値（複数の固有ベクトルを持つ固有値）の場合、固有ベクトルは線形変換の自由度をさらに高めます。つまり、この固有値を共有する固有ベクトルの任意の線形（正規直交）結合（退化部分空間内）は、それ自体が固有ベクトル（この部分空間内）となります。

• A は、線形独立な固有ベクトルの数N _vが固有ベクトルの次元に等しい場合に限り、固有分解できます。N _v = N。
• スカラーの体が代数的に閉じていて、p ( λ )に重複根がない場合、つまり、${\displaystyle N_{\lambda }=N,}$すると、Aは固有値分解できる。
• 「 Aは固有値分解できる」という記述は、 Aが逆行列を持つことを意味するものではありません。なぜなら、固有値の中にはゼロになるものもあり、その場合、Aは逆行列を持たないからです。
• 「 A には逆行列が存在する」という記述は、 A が固有値分解可能であることを意味するものではない。反例は次のとおりである。${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right]}$これは可逆な欠陥行列である。

• 行列Aが反転できるのすべての固有値がゼロでない場合に限られる。$${\displaystyle \lambda _{i}\neq 0\quad \forall \,i.}$$
• λ _i ≠ 0かつN _v = Nの場合、逆関数は次のように与えられる。$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}.}$$

与えられた行列の固有値を計算したいとします。行列が小さい場合は、特性多項式を使用して記号的に計算できます。しかし、これは大きな行列では不可能な場合が多く、その場合は数値的な方法を使用する必要があります。

実際には、大きな行列の固有値は特性多項式を用いて計算されることはありません。多項式の計算自体がコストのかかるものになり、高次多項式の正確な（記号的な）根を計算して表現することは困難です。アーベル・ルフィニの定理によれば、高次（5次以上）多項式の根は一般にn乗根を用いて単純に表現することはできません。したがって、固有ベクトルと固有値を求める一般的なアルゴリズムは反復的です。

多項式の根を近似するための反復数値アルゴリズムは、ニュートン法など存在するが、一般に特性多項式を計算してからこれらの方法を適用するのは非現実的である。その理由の一つは、特性多項式の係数における小さな丸め誤差が、固有値と固有ベクトルに大きな誤差をもたらす可能性があることである。根は係数の極めて条件の悪い関数である。 ^{[ 11 ]}

単純かつ正確な反復法はべき乗法である。ランダムベクトルvを選択し、単位ベクトルのシーケンスを計算する。 $${\displaystyle {\frac {\mathbf {A} \mathbf {v} }{\left\|\mathbf {A} \mathbf {v} \right\|}},{\frac {\mathbf {A} ^{2}\mathbf {v} }{\left\|\mathbf {A} ^{2}\mathbf {v} \right\|}},{\frac {\mathbf {A} ^{3}\mathbf {v} }{\left\|\mathbf {A} ^{3}\mathbf {v} \right\|}},\ldots }$$

この数列は、 v が固有ベクトル基底にこの固有ベクトルの非ゼロ成分を持つ場合（また、最大絶対値の固有値が 1 つしかない場合）、ほぼ常に最大絶対値の固有値に対応する固有ベクトルに収束します。この単純なアルゴリズムは、いくつかの実用的なアプリケーションで役立ちます。たとえば、 Google は検索エンジンでドキュメントのページランクを計算するためにこれを使用しています。 ^{[ 12 ]} また、べき乗法は、より高度なアルゴリズムの出発点となっています。たとえば、数列の最後のベクトルだけでなく、数列のすべてのベクトルのスパンを調べることで、固有ベクトルのより良い（より速く収束する）近似値を得ることができ、このアイデアはアーノルディ反復法の基礎となっています。^{[ 11 ]} また、重要なQR アルゴリズムも、べき乗法の微妙な変換に基づいています。^{[ 11 ]}

固有値が計算されたら、次の式を解くことで固有ベクトルを計算できます。 $${\displaystyle \left(\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {I} \right)\mathbf {v} _{i,j}=\mathbf {0} }$$ガウス消去法または行列方程式を解くための他の方法 を使用する。

しかし、実際の大規模な固有値法では、固有ベクトルは通常、固有値計算の副産物として別の方法で計算されます。たとえば、べき乗反復では、固有ベクトルは実際には固有値の前に計算されます（これは通常、固有ベクトルのレイリー商によって計算されます）。 ^{[ 11 ]}エルミート行列（または任意の正規行列） の QR アルゴリズムでは、正規直交固有ベクトルは、アルゴリズムのステップからのQ行列の積として得られます。 ^{[ 11 ]} （より一般的な行列の場合、QR アルゴリズムは最初にSchur 分解を生成し、そこから逆代入手順によって固有ベクトルを得ることができます。^{[ 13 ]}）エルミート行列の場合、固有ベクトルと固有値の両方が必要な場合は、分割統治固有値アルゴリズムの方がQR アルゴリズムよりも効率的です。^{[ 11 ]}

固有値の幾何学的重複度は、関連する固有空間の次元、つまり零空間の次元として記述できることを思い出してください。${\displaystyle A-\lambda I}$代数的重複度は次元と考えることもできます。それは、関連する一般化固有空間（第一の意味で）の次元であり、行列の零空間です。${\displaystyle (A-\lambda I)^{k}}$十分大きな任意の${\displaystyle k}$つまり、それは（第一の意味で）一般化固有ベクトルの空間であり、一般化固有ベクトルとは最終的にになる任意のベクトルである。${\displaystyle 0}$もし​​${\displaystyle A-\lambda I}$⁠ が十分な回数連続して適用されます。任意の固有ベクトルは一般化固有ベクトルであり、したがって各固有空間は関連する一般化固有空間に含まれます。これにより、幾何学的重複度が常に代数的重複度以下であることが簡単に証明されます。

この用法は、後述する一般化固有値問題と混同してはならない。

共役固有ベクトルまたは共役固有ベクトルとは、変換後にその共役のスカラー倍に写像されるベクトルであり、そのスカラーは線形変換の共役固有値または共役固有値と呼ばれます。共役固有ベクトルと共役固有値は、本質的に通常の固有ベクトルと固有値と同じ情報と意味を表しますが、別の座標系が使用される場合に生じます。対応する方程式は次のとおりです。 $${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ^{*}.}$$ 例えば、コヒーレント電磁散乱理論では、線形変換Aは散乱物体が行う動作を表し、固有ベクトルは電磁波の偏光状態を表します。光学では、座標系は波の視点から定義され、前方散乱アライメント（FSA）として知られており、通常の固有値方程式が得られます。一方、レーダーでは、座標系はレーダーの視点から定義され、後方散乱アライメント（BSA）として知られており、コニー固有値方程式が得られます。

一般化固有値問題（第2の意味）とは、以下の式を満たす （ゼロでない）ベクトルvを見つける問題である。$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {B} \mathbf {v} }$$ ここで、AとBは行列である。vがλを用いてこの式を満たす場合、vをAとBの一般化固有ベクトル（第2の意味）と呼び、 λをAとBの一般化固有値（第2の意味）と呼び、これは一般化固有ベクトルvに対応する。λの取りうる値は、次の式を満たさなければならない 。$${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {B} )=0.}$$

n個の線形独立なベクトル{ v ₁ , …, v _n }が存在し、すべてのi ∈ {1, …, n }に対してAv _i = λ _i Bv _iとなる場合、行列PとDを次のように 定義します。$${\displaystyle P={\begin{bmatrix}|&&|\\\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}(\mathbf {v} _{1})_{1}&\cdots &(\mathbf {v} _{n})_{1}\\\vdots &&\vdots \\(\mathbf {v} _{1})_{n}&\cdots &(\mathbf {v} _{n})_{n}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle (D)_{ij}={\begin{cases}\lambda _{i},&{\text{if }}i=j\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ すると、次の等式が成り立つ。 $${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} \mathbf {P} \mathbf {D} \mathbf {P} ^{-1}}$$ そしてその証拠は $${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {P} =\mathbf {A} {\begin{bmatrix}|&&|\\\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}|&&|\\A\mathbf {v} _{1}&\cdots &A\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}|&&|\\\lambda _{1}B\mathbf {v} _{1}&\cdots &\lambda _{n}B\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}|&&|\\B\mathbf {v} _{1}&\cdots &B\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}\mathbf {D} =\mathbf {B} \mathbf {P} \mathbf {D} }$$

そしてPは可逆関数なので、右からその逆関数を掛ければ証明は完了する。

λが複素数であるA − λ Bの形の行列の集合はペンシルと呼ばれます。行列ペンシルという用語は、行列のペア( A , B )を指す場合もあります。^{[ 14 ]}

Bが可逆行列である場合、元の問題は次の形式で記述できます。 $${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$$ これは標準的な固有値問題です。しかし、ほとんどの場合、逆行列計算を行うのではなく、最初に述べた一般化固有値問題を解く方が望ましいです。これは、AとBがエルミート行列である場合に特に重要です。なぜなら、この場合、B ⁻¹ Aは一般にエルミート行列ではなく、解の重要な性質がもはや明らかにならないからです。

AとBが両方とも対称行列またはエルミート行列であり、Bが_正定値行列でもある場合、固有値λi_は実数であり、異なる固有値を持つ固有ベクトルv1とv2はB直交である（ v1 * _Bv2 = 0 ）^。[ 15 ]^{この場合、}上記の行列Pが以下の条件を満たす よう_{に固有ベクトルを選択できる。}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{*}\mathbf {B} \mathbf {P} =\mathbf {I} }$$ または $${\displaystyle \mathbf {P} \mathbf {P} ^{*}\mathbf {B} =\mathbf {I} ,}$$そして、一般化固有ベクトルの基底が 存在する（欠陥問題ではない）。^{[ 14 ]} このケースは、エルミート定値ペンシルまたは定値ペンシルと呼ばれることがある。^{[ 14 ]}