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経済学において、エッジワース・ボックス（エッジワース・ボウリー・ボックスとも呼ばれる）は、商品XとYの2種類と消費者2人だけが存在する市場をグラフィカルに表現したものである。ボックスの寸法は、2種類の商品の合計数量ΩxとΩyを表す。
消費者をオクタビオとアビーとします。ボックスの右上隅はオクタビオがすべての商品を所有する配分を表し、左下隅はアビーがすべての商品を所有する配分を表します。ボックス内の点は、2人の消費者の間で商品を配分する方法を表しています。
市場の行動は、消費者の無差別曲線によって決定されます。図中の青い曲線はオクタビオの無差別曲線を表しており、彼の視点（左下から見た場合）では凸型になっています。オレンジ色の曲線はアビーの無差別曲線を表しており、右上から見た場合、凸型になっています。上方向と右方向へ移動すると、オクタビオの配分が増加し、より望ましい無差別曲線上に位置することになりますが、アビーはより望ましくない無差別曲線上に位置することになります。
凸型の無差別曲線は、一般的に見られるケースと考えられている。これは、各財が他の財に比べて収穫逓減していくことを示している。
市場における取引は、初期配分と呼ばれるものから始まる。
エッジワースボックスの主な用途は、一般均衡理論のトピックを、特性をグラフィカルに視覚化できる形で導入することです。また、二者独占が存在する場合に効率的な結果に移行することの難しさを示すこともできます。[ 1 ]後者の場合、それはゲーム理論の交渉問題の前段階として機能し、一意の数値解を可能にします。[ 2 ] [ 3 ]
エッジワース・ボックスは、1881年に著書『数学的心理学：道徳科学への数学の応用に関するエッセイ』で発表したフランシス・イシドロ・エッジワース[4]にちなんで名付けられました[ 5 ] 。エッジワースのオリジナルの2軸 図は、1906年にパレートが著書『政治経済学マニュアル』で現在よく知られているボックス図に発展させ、後にボウリーによる解説で普及しました。この図の現代版は、一般的にエッジワース・ボウリー・ボックスと呼ばれています[ 6 ]。
市場経済における均衡の概念的枠組みは、レオン・ワルラス[ 7 ]によって開発され、ヴィルフレド・パレート[ 8 ]によってさらに拡張されました。これは、アブラハム・ウォルド[ 9 ]、ポール・サミュエルソン[ 10 ] 、ケネス・アロー、ジェラール・ドブルー[ 11 ]を含む20世紀の数理経済学者によって、一般性と厳密性に細心の注意を払って検討されました。これは、ウォルドが意思決定理論にさらなる厳密性をもたらそうとし、多くの数学者が選択公理への依存を最小限に抑えることに集中した、より広範な運動の一部でした。
ワルラス市場理論は、特定の結論を導き出すための最も一般的な前提を見つけるために尽力してきた。前提を強化または弱化できる領域には、以下のようなものがある。
非可逆性、飽和など、より技術的な性質の仮定もなされる。
厳密さを追求することが必ずしも理解しやすさにつながるわけではない。本稿では、無差別曲線を基本的なものとして扱う。まず、無差別曲線を凸関数かつ微分可能なものとして扱い、内部均衡に焦点を当てるが、その後、これらの仮定を緩和していく。
商品は2種類しかないため、実質価格は両者の交換レートとなります。私たちの目的は、市場均衡が達成される価格、すなわち、与えられた初期保有量から出発して、それ以上の取引を望まない点を求めることです。これらの数量は、図 2に示すように、2人の消費者の無差別曲線によって決定されます。
オクタビオとアビーは毎日、図中の位置ωに対応する2つの財をそれぞれ(ω x ,ω y )と(Ω x – ω x , Ω y – ω y )保有して市場に出ると仮定します。2人の消費者は競争的な市場行動の下で互いに交換を行います。この仮定は、消費者の数が無限である完全競争の条件を満たしていないため、ある程度の不信感の保留を必要とします。
2つのXが1つのYと交換される場合、オクタビオとアビーの取引は、予算線 と呼ばれる実線の灰色の線上のどこかの点に到達します。（より正確には、予算線は、特定の価格で交換によって得られる配分を表す初期保有点を通る直線として定義できます。）図2には、他のいくつかの価格に対する予算線も破線と点線で示されています。
与えられた賦存量ωに対応する均衡は、 ωを通る共通の接線を持つ一対の無差別曲線によって決定されます。2つの無差別曲線の共通接線を「価格線」と呼びます。したがって、均衡は予算線であり価格線でもあるものに対応し、均衡における価格はその線の傾きです。図 3では、 ωは賦存量、ω 'は均衡配分です。
その理由は以下のとおりです。
まず、ボックス内のどの点も、アビーの無差別曲線とオクタビオの無差別曲線のそれぞれ1つずつ上に位置しなければなりません。曲線が交差する場合（図 4参照）、その曲線は周辺地域を4つの領域に分割し、そのうちの1つ（薄緑色で示されている）は両方の消費者にとって好ましい領域となります。したがって、無差別曲線が交差する点は均衡点にはなり得ず、均衡点は接点でなければなりません。
第二に、接点において市場で成立しうる唯一の価格は、接点の傾きによって与えられる価格である。なぜなら、消費者が極めて小さな交換を受け入れる意思を持つのはこの価格においてのみだからである。
そして第三に（最も難しい点ですが）、消費者をωから均衡点へと導くすべての取引は、同じ価格で行われなければなりません。これが受け入れられるならば、その価格は接点において有効な価格でなければならず、結果として同じ結論が得られます。
2人経済では、すべての交換が同じ価格で行われるという保証はありません。しかし、エッジワースボックスの目的は、競争がない場合に起こりうる価格固定を説明することではなく、最小限のケースで競争経済を説明することです。したがって、1人のアビーと1人のオクタビオの代わりに、それぞれ無限の数のクローンがあり、それぞれが異なる時期に同じ初期資産を持って市場に参入し、徐々に均衡に向かって交渉していくと想像できます。新しく参入したオクタビオは、均衡に近いアビーと市場価格で交換することができ、新しく参入したアビーがほぼ満足しているオクタビオと交換する限り、数は均衡します。大規模な競争経済で交換が機能するためには、すべての人にとって同じ価格が支配していなければなりません。したがって、交換は、私たちが定義した価格線に沿って配分を移動させる必要があります。[ 12 ]
したがって、競争均衡を見つけるという課題は、与えられた点を通る2つの無差別曲線の接点を見つけるという課題に帰着する。オファー曲線（後述）を用いることで、このための体系的な手順が得られる。
ある財の配分が、一方の消費者にとってより好ましいものであり、他方の消費者にとってより劣っていない場合、その配分は他の配分を「パレート支配」すると言われます。他のどの配分もその配分をパレート支配しない場合、その配分は「パレート最適」（または「パレート効率的」）であると言われます。パレート最適配分の集合は、パレート集合（または「効率的軌跡」）として知られています。
図5に示すように、各消費者に対応する接線曲線のペアを考えます。 接点は紫色の点で示されています。凸性により、曲線は接点以外では交わらないことが保証され、ボックスはそれに応じて3つの領域に分割されます。薄い青色の領域はオクタビオにとっては接点よりも好ましいですが、アビーにとっては好ましくありません。薄いオレンジ色の領域はアビーにとっては好ましいですが、オクタビオにとっては好ましくありません。そして、白色の領域はどちらにとっても好ましくありません。境界についても同様の考察が適用されます。したがって、接点はパレート最適であることがわかります。
したがって、パレート集合は、曲線の接点の軌跡です。これは、オクタビオの原点（O）とアビーの原点（A）を結ぶ線です。図 6に例を示します。紫色の線は、2人の消費者の無差別曲線に対応するパレート集合です。
エッジワースボックスに含まれるさまざまなオブジェクトを説明するために使用される語彙は異なっている。パレート集合全体は契約曲線と呼ばれることもあるが、Mas-Colell らは、契約曲線の定義を、アビーとオクタビオの両方が初期保有額と同等以上の利益を得られるパレート集合上の点のみに限定している。Martin Osborne や Ariel Rubinstein [ 13 ] など、よりゲーム理論的な傾向を持つ他の著者は、各消費者にとって初期保有額と同等以上の利益が得られるパレート集合のセクションをコアと呼んでいる。
パレート集合は消費者の無差別曲線が接する点の集合であるため、各消費者の限界代替率が他の消費者の限界代替率と等しくなる点の集合でもある。[ 14 ]
無差別曲線の接点がパレート最適点であることは既に述べたが、経済均衡は無差別曲線が共通の価格線に接する点であることも既に述べた。したがって、均衡点はまさにパレート最適点であると言える。
この議論は、曲線が微分不可能な場合や均衡が境界上にある場合でも、1つの制約付きで適用できます。均衡の条件は、それ以上の交換が行われないことであり、それ以上の交換が行われない条件は、一方の消費者に利益をもたらし、他方の消費者に害を及ぼさないような動きの方向が存在しないことです。これはパレート最適の定義と同等です。[ 15 ]
制約は、均衡が局所的な改善が不可能であることを意味する、つまり、その点が「局所的に」パレート最適であることを意味する。しかし、パレート最適性は今日では定義上、大域的であると考えられている。[ 16 ]したがって、無差別曲線の性質が非大域的最適の発生を許容する場合（凸曲線の場合は起こり得ない）、均衡がパレート最適でない可能性がある。
完全競争は定理の前提条件ではない。消費者が自由に交換でき、相互に受け入れ可能な交換がなくなるまで交換を続ける限り、均衡が達成され、（少なくとも「局所的に」）パレート最適となる。[ 17 ]
ここで、図7に示すように消費者が初期保有量ωを持つ経済を考えてみましょう。 自由市場がそのまま放置されると、消費者はω'に到達します。しかし、ボックス内の別の位置（例えばα'）が社会的に好ましいとみなされるとします。社会的に望ましい位置はパレート最適であると仮定できます。
図中の破線で示されている価格線は、実質所得の異なる分布に対応していると考えることができ、価格線に沿った動きは、所得が固定されたまま資源が再配分されることを意味する。
社会を望ましい点α'に再配置するために、政府がオクタビオが (α ' x ,α ' y ) を保有し、アビーが補完財を保有するように資源を再分配する必要はありません。経済をα'を通る価格線上の任意の点 (例えばα ) に移動させるように資源を再配分し、その後は市場に均衡点を見つけさせれば十分です。実際、政府が望ましい所得分配を認識している限り、最適な資源配分について考える必要はありません。
より一般的な経済状況における定理の解釈としては、α'は貨幣移転とその後の市場交換の自由な動きによって達成できる、ということである。しかし、エッジワースの定理には貨幣は含まれていない。
第二基本定理は、社会の弊害を正すための青写真を提供するものではない。政府は、オクタビオとアビーの間で資源を再配分し、その日の取引に先立ってそれらをωからαに移動させることを決定するかもしれない。その結果、損をした方は翌日の市場への持ち込み量を減らすことを決めるかもしれない。第二基本定理は、再配分によって生じる歪みを考慮に入れていない。[ 18 ]
オファー曲線は均衡点を見つける手段を提供するだけでなく、均衡点の存在と一意性を調査する上でも有用である。
それぞれの消費者に対応する、初期保有量に依存する2つの曲線を枠内に描くことができます。予算線をωを中心に回転させ、図8の色付き点で示されているように、2人の消費者が最も好む点を線に沿ってトレースします 。これらの点は、線がそれぞれの消費者の無差別曲線に接する点です。
消費者が最も好む点の軌跡は、その消費者のオファー曲線です。図 9では、オクタビオのオファー曲線を濃い青色で、アビーのオファー曲線を茶色で示しています。両者は点ω 'で交わり、均衡予算線（灰色で描かれている）はこの点を通るものです。2人の消費者のω 'を通る無差別曲線は、薄い色で示されています。
オファー曲線は必ず初期保有点ωを通ります。アビーを例にとると、彼女の無差別曲線の1つは必ずωを通り、予算線は無差別曲線と同じ傾きを持つように選択できるため、ωはこの予算線にとって最も好ましい点となります。
その結果、2人の消費者のオファー曲線は必然的にωで交差する。しかし、この現象を引き起こすのは、ωが異なる勾配の予算線と矛盾しない唯一の交点であるため、必ずしも均衡点を構成するとは限らないという性質による。
ω以外の点でオファー曲線が交差する点はすべて安定均衡を決定します。2つのオファー曲線が賦存点で接している場合、その点は確かに均衡であり、それらの共通接線は対応する予算線です。[ 19 ]
オファー曲線は、ヴィルフレド・パレートによって初めて使用されました。彼の著書『マニュアル』第3章97節を参照してください。彼はそれを「交換曲線」（linee dei baratti / lignes des échanges）と呼び、オクタビオが予算線に沿って好む配分を「均衡点」と名付けました。
この優先配分は、今日ではオクタビオの「需要」と呼ばれることもあるが、これは対称的な事実を非対称的に表現したものである。配分はアビーの保有量をオクタビオの保有量と同様に決定づけるため、需要であると同時に供給でもある。
Offreはフランス語で「供給」を意味するので、オファー曲線を需要の軌跡と呼ぶことは、供給曲線を需要の軌跡と呼ぶことと同じである。
経済学的な観点からすると、与えられた資源量に対して共通の接点が存在し、かつ無差別曲線の形状が異常でない場合、接点は一意に定まるように思われるかもしれない。しかし、これは必ずしも真実ではない。均衡の一意性の条件については、広範な研究が行われてきた（一般均衡理論を参照） 。
図9と図10は、Mas-Colellらによる例を示しており、3つの異なる均衡が賦存点ωに対応している。無差別曲線は以下のとおりである。
（オクタビオ）
（アビー）
無差別曲線は枠内に収まるが、代表的な予算線に接している場合にのみ表示される。図11に描かれたオファー曲線は、大きな灰色の点で示された3つの点で交差しており、それぞれ為替レートが1 / 2、1、2に対応する。
平衡の性質に関する初期の調査は、暗黙のうちに接線として定義されており、凸性は暗黙のうちに仮定されていたようです。[ 20 ]平衡に達することは疑いの余地がなく、勾配上昇によって平衡に至ることは明らかでした。しかし、結果には一般性が欠けていました。
ケネス・アローとジェラール・ドブルーは1951年にそれぞれ独立して論文を発表し、均衡定理の微積分による証明の限界に注目した。[ 21 ]アローは特に境界上の均衡によって引き起こされる困難について言及し、ドブルーは微分不可能な無差別曲線の問題について言及した。
網羅的な説明を目的とすることなく、これらのケースに我々の手法をどのように拡張できるかを直感的に理解することは容易である。我々は、曲線に接するあらゆる線を含むように接線の概念を拡張する必要がある。ここでいう接線とは、微分積分学における接線ではなく、語源的な意味での接線である。図 12の例では、接点を通る法定価格線の弧があり、それぞれが無差別曲線に接しているが、ボックス内では無差別曲線を切断していない。したがって、与えられた賦存量に対して可能な均衡の範囲が存在する。
図 12の平衡点は、曲線同士が真の接線となる点ではありません。しかし、これらの平衡点は、接線に関する定義を一般化する性質、すなわち、2つの曲線が局所的に直線で分離できるという性質を持っています。
アローとドブルーは、1951年の（独立した）論文で、定義の根拠や論理的根拠を示すことなく、互いに同じ方法で均衡を定義した。彼らは1954年の共同論文（均衡の存在について）でもその定義を維持した。[ 22 ]新しい定義では、数学的手法を微分積分から凸集合論に変更する必要があった。
彼らの定義は実質的に次の通りである。初期資産ωから達成可能な均衡とは、配分xと、 xとωを通る予算線から成り、その予算線上のどの点においても、どちらの消費者も（厳密に） xよりも好む点が存在しない状態を指す。この性質を満たす配分と予算線からなるペアは、「ワルラス均衡」または「競争均衡」として知られている。
この定義における予算線は、2人の消費者の無差別曲線を分離する線ですが、局所的ではなく全体的に 分離します。アローとドブルーは、なぜ全体的な分離が必要なのかを説明していません。これは彼らの証明を容易にしたかもしれませんが、予期せぬ結果をもたらす可能性があります。図13では、点xは接点であり、破線の価格線によって無差別曲線が局所的に分離される点でもあります。しかし、それらは全体的に分離されていないため、この点はアローとドブルーの定義によれば均衡点ではありません。
図 14において、点xはパレート最適点であるが、競争均衡の定義を満たしていない。経済がそのような点で安定するかどうかは、それが与えられた均衡の定義を満たすかどうかとは全く別の問題である。明らかに、この場合、経済は実際にその点で安定するだろう。
アローとドブルーは、無差別曲線の凸性を常に彼らの「仮定」の中に含めていた。「仮定」という用語は曖昧で、定義や定理の根底にある前提を指す場合もあれば、後者にのみ必要な前提を指す場合もある。彼らの定義には、曲線が非凸である場合に存在する可能性のあるすべての均衡が含まれていないことを考えると、彼らは前者の意味で凸性の仮定を意図していた可能性がある。そうであるかどうかはともかく、この定義は適用範囲に制限なく広く採用されている。
証明において凸性を仮定しなくても、定義の下で結果を導き出せる場合があることが分かっている（厚生経済学の第一基本定理はその一例である）。
経済によっては、一定の資源量から均一な価格での交換によって到達できる安定点が存在しない場合がある。したがって、競争均衡の定義を満たす安定点は存在しない。図 14のような曲線群は、その一例である。
均衡を「競争均衡」と定義すれば、無差別曲線が凸である必要はなくとも、第一基本定理は証明できる。すなわち、あらゆる競争均衡は（大域的に）パレート最適である。ただし、証明はもはや自明ではないため、読者は厚生経済学の基本定理に関する記事を参照されたい。
非凸無差別曲線の場合、接線による均衡の定義では、同じ結果は成り立たないとみなされるだろう。図13の点xは、黄色のパレート領域が支配しているため、（全体的に）最適ではない 均衡点とみなされるだろう。
均衡の達成可能性が疑わしくなったからといって、結果が強化されたとは限らない。図 13では、点xは「競争均衡」ではないかもしれないが、経済はそこで停滞し、黄色の領域にある「真の」（そしてパレート最適）均衡に到達できなくなる可能性がある。
第一厚生定理においては、均衡が実際に達成されることが常に不可欠であると考えられてきた。ラーナーはこの定理を「幸いにも、財の最適配分は自動的に達成される」と解釈した。[ 23 ]しかし、局所最適が存在する場合、全体最適が達成されることを保証するものは何もない。均衡の概念にxのような局所最適が含まれる場合、均衡は達成可能だが最適ではない可能性がある。そのような点が除外される場合、均衡は最適かもしれないが達成不可能である可能性がある。
非凸性によって生じる差異は、第二基本定理を検討するとより根深いものとなる。すべてのパレート最適解が競争均衡であるとは限らない（ただし、経済にとっての安住の地となり得る）。したがって、この定理は、選好の凸性を前提とするか、あるいは「均衡」が上述の定義における「競争均衡」と解釈されないように記述する必要がある。
