支出最小化問題

ミクロ経済学では、支出最小化問題は効用最大化問題の双対問題である。「ある一定の幸福度に達するには、いくらのお金が必要か？」という問題である。この問題は2つの部分から成る。消費者の効用関数、価格、効用目標が与えられた場合、

• 消費者はどれくらいのお金を必要とするのか？これは支出関数によって答えられる。
• 消費者は支出を最小限に抑えつつ、この効用目標を満たすために何を購入すればよいだろうか？この問いに対する答えは、ヒックスの需要関数によって示される。

正式には、支出関数は次のように定義されます。消費者が効用関数を持っていると仮定します。${\displaystyle u}$定義済み${\displaystyle L}$商品。すると、消費者支出関数は、与えられた価格で商品のパッケージを購入するために必要な金額を示します。${\displaystyle p}$少なくとも$\displaystyle u^{*}}$、

${\displaystyle e(p,u^{*})=\min _{x\in \geq {u^{*}}}p\cdot x}$

どこ

${\displaystyle \geq {u^{*}}=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{L}:u(x)\geq u^{*}\}}$

は、少なくとも同等以上の効用を提供するすべてのパッケージの集合です。$\displaystyle u^{*}}$。

ヒックス需要は次のように定義される。

${\displaystyle h:\mathbb {R} _{+}^{L}\times \mathbb {R} _{+}\to P(\mathbb {R} _{+}^{L})}$

${\displaystyle h(p,u^{*})={\underset {x\in \geq u^{*}}{\operatorname {argmin} }}\ p\cdot x}$[ ^{1 ]​}

ヒックス需要関数は、望ましい効用を与える最も安価なパッケージを示します。これは、マーシャル需要関数と、支出関数と次の関係にあります。

${\displaystyle h(p,u^{*})=x(p,e(p,u^{*})).\,}$

効用最大化問題における効用関数とマーシャル需要の関係は、支出最小化問題における支出関数とヒックス需要の関係を反映している。また、ヒックス需要とマーシャル需要が一意でない場合もある（つまり、支出最小化問題を満たす財の組み合わせが複数存在する）。その場合、需要は関数ではなく対応関係となる。しかし、局所的非飽和を仮定すれば、このような事態は起こらず、需要は関数となる。

• 効用最大化問題

• マス＝コレル、アンドリュー；ウィンストン、マイケル＆グリーン、ジェリー（1995）。ミクロ経済学理論。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-507340-1。

• 3Dにおけるコブ・ダグラス型効用関数の構造