基本的なユーティリティ

経済学では、基数効用は2つの結果のどちらが好ましいかだけでなく、選好の強さ、つまり1つの結果が他の結果と比べてどれだけ優れているか劣っているかを表します。^[1]

消費者選択理論において、経済学者はもともと、基数効用を、明らかにより弱い概念である順序効用で置き換えようと試みた。基数効用は、絶対的な満足度のレベルが存在するという仮定を課しているように見えるため、満足度の増加の大きさをさまざまな状況で比較できる。しかし、1940年代の経済学者は、穏やかな条件下では順序効用は基数効用を意味することを証明した。この結果は現在、フォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの効用定理として知られており、他のコンテキストでも同様の効用表現定理が多数存在する。

1738年、ダニエル・ベルヌーイは初めて貨幣の限界価値について理論化した。彼は、追加額の価値は人がすでに所有している金銭的所有物に反比例すると仮定した。ベルヌーイは、異なる人々の効用反応に対する個人間の尺度が発見できると暗黙のうちに仮定していたため、彼は無意識のうちに初期の概念である基数を使用していた。^[2]

ベルヌーイの虚対数効用関数とガブリエル・クラマーのU  =  W ^1/2関数は、需要理論のためではなく、サンクトペテルブルクのゲームを解くために考案された。ベルヌーイは「貧しい人は一般に、同じ利得から裕福な人よりも多くの効用を得る」^{[3]と仮定したが、これは}道徳的期待の法則を伴うため、単純な数学的貨幣期待よりも奥深いアプローチである。

初期の効用理論家たちは、効用には物理的に定量化できる特性があると考えていました。彼らは、効用は距離や時間の大きさのように振舞い、定規やストップウォッチを使うだけで区別できる測定結果になると考えていました。「Utils」は、効用尺度の単位に実際に付けられた名前です。

ビクトリア朝時代には、生活の多くの側面が定量化に屈していた。^[4]功利理論はすぐに道徳哲学の議論に応用され始めた。功利主義の基本的な考え方は、人々の決定をその効用の変化を見て判断し、彼らがよりよい状態にあるかどうかを測ることである。18世紀末以来の功利主義原理の主な先駆者はジェレミー・ベンサムであり、彼は効用は複雑な内省的検討によって測定でき、それが社会政策や法律の設計の指針となるべきだと信じていた。ベンサムにとって、快楽の尺度は「快楽であると区別できるものの中で最も微弱な快楽が持つ強さの度合い」を強さの単位としていた。^[5]彼はまた、これらの快楽の強さが増すにつれて、より大きな数字でそれを表せるようになると述べた。^[5] 18世紀と19世紀には、ヨーロッパの政治経済学派から、特に限界主義者（ウィリアム・スタンレー・ジェヴォンズ、^[6] レオン・ワルラス、アルフレッド・マーシャルなど）の著作を通じて、効用の測定可能性が大いに注目された。しかし、どちらも測定可能性の仮定を支持する確固とした議論を提示しなかった。ジェヴォンズの場合、彼は著書の後の版に、効用を正確に推定することの難しさに関する注釈を加えた。^[5]ワルラスもまた、測定可能性の仮定を形式化しようと試みるまでに何年も苦労した。^[7]マーシャルは、快楽主義の心理的快楽主義的性質に固執したため、快楽主義の測定可能性について曖昧であったが、そうすることは「非現実的」であると主張した。^[8]

19 世紀の基数効用理論の支持者は、市場価格が効用を反映すると示唆したが、両者の両立性 (つまり、価格は客観的であるのに対し、効用は主観的である) についてはあまり言及しなかった。当時の思想家たちが確実に気づいていたように、主観的な快楽(または苦痛) を正確に測定することは不自然だった。彼らは、効用を、主観的富、総合的幸福、道徳的価値、精神的満足、またはophélimitéなど想像力豊かに名前を変えた。19 世紀後半には、この架空の大きさ、つまり効用に関する多くの研究が行われたが、結論は常に同じであった。つまり、ある財が 1 人の人にとって、あるいは 2 人の人にとって 50、75、または 125 ユーティルの価値があるかどうかを明確に言うことは不可能であることが判明した。さらに、効用が快楽主義の概念に単に依存しているというだけで、学界はこの理論に懐疑的になった。^[9]

フランシス・エッジワースもまた、効用理論を現実世界に根付かせる必要性を認識していた。彼は、心理学で快楽測定を研究するために開発された方法、すなわち心理物理学を借用して、人が自分自身の快楽や他人の快楽を定量的に推定できることを論じた。この心理学の分野はエルンスト・H・ウェーバーの研究に基づいて構築されたが、第一次世界大戦の頃、心理学者はそれを嫌うようになった。^{[10] [11]}

19世紀後半、カール・メンガーとオーストリア学派の経済学者たちは、測定可能な効用から初めて離脱することに成功し、巧妙な形で、使用順位の理論を提唱した。定量化可能な効用（つまり、心理的満足度を実数にマッピングしたもの）という考えを放棄したにもかかわらず、メンガーは、商品やサービスの可能な使用法に関する優先順位付けの公理のみに基づいて、意思決定に関する一連の仮説を確立することに成功した。彼の数値例は、「基数関係ではなく、順序関係を例示している」^{[12] 。}

しかし、カール・メンガーの著作には他の解釈もある。イヴァン・モスカティとJ・ヒューストン・マカロックは、メンガーは古典的な基数論者だったと主張している。なぜなら、彼の数値例は単なる説明ではなく、経済財の価値の算術的比率を明示的に表しているからだ。^{[13] [14]}算術的比率、合計、乗算は本質的に基数的であり、順序パラダイムには存在しない。メンガーはまた、次のようにも明言している。「我々にとって直接的かつ即時的な意味を持つのは、我々のニーズの充足だけである。それぞれの具体的な例において、この意味は、我々の生活と幸福に対するさまざまな満足の重要性によって測られる。次に、我々は、問題の満足に直接依存していると自覚している特定の財に、この重要性の正確な量的大きさを帰属させる」^[15]

19世紀に入ると、新古典派経済学者たちは測定可能性の問題に対処するための別の方法を取り入れ始めました。1900年までに、パレートは快楽や苦痛を正確に測定することに躊躇していました。なぜなら、自己申告による主観的な大きさは科学的妥当性に欠けると考えていたからです。彼は、感覚の不安定な知覚に頼らない効用を扱う別の方法を見つけたいと考えていました。^[16]パレートが序数効用に対して行った主な貢献は、無差別曲線が高いほど効用が大きいと仮定したことです。しかし、限界代替率の増加の結果を得るために、どれだけ大きいかを指定する必要はありませんでした。

ヴィルフレド・パレート、フランシス・エッジワース、アーヴィング・フィッシャー、ユージン・スラツキーらの著作やマニュアルは基数効用論から離れ、他の人々が順序性論の傾向を継続するための支点となった。ヴァイナーによれば、^[17]これらの経済思想家は需要曲線の負の傾斜を説明する理論を考案した。彼らの方法は、抽象的な無差別曲線マップを構築することで効用の測定可能性を回避した。

20 世紀の最初の 30 年間で、イタリアとロシアの経済学者は、効用は必ずしも基数的である必要はないというパレートの考えに親しむようになった。シュルツによると、^[18] 1931 年までに、順序効用という考えはアメリカの経済学者にはまだ受け入れられていなかった。画期的な進歩は、ジョン・ヒックスとロイ・アレンが1934 年に順序効用の理論をまとめたときに起こった。 ^[19]実際、この論文の 54 ～ 55 ページに、「基数効用」という用語が初めて使用されている。^[20]しかし、アフィン変換によって保存される効用関数のクラスを初めて扱ったのは、1934 年にオスカー・ランゲである。^[21]

1944年、フランク・ナイトは基数効用について広く議論した。1960年代には、パードゥッチが人間の大きさの判断を研究し、範囲頻度理論を提唱した。^{[22] 20世紀後半以降、経済学者は}幸福の測定問題に新たな関心を抱いている。^{[23] [24]}この分野では幸福を測定する方法、調査、指標が開発されてきている。

基数効用関数のいくつかの特性は、測度論と集合論のツールを使用して導くことができます。

ある商品やサービスに対する好みの強さや好意の度合いが、何らかの客観的な基準を用いて正確に決定される場合、効用関数は測定可能であるとみなされる。例えば、リンゴを食べるとオレンジを食べる場合のちょうど半分の喜びがもたらされるとしよう。これが測定可能な効用となるのは、直接測定に用いられるテストが、外部の観察者が結果を正確に再現できる客観的な基準に基づいている場合のみである。^{[25]これを達成するための仮説的な方法の 1 つは、}ヘドノメーターを使用することである。これは、人々が経験する喜びの高さを記録でき、誤差の法則に従って分散する機器としてエッジワースが提案した。^[10]

1930年代以前、経済学者は効用関数の測定可能性を誤って濃度と呼んでいた。濃度の別の意味は、ヒックス・アレンの定式化に従った経済学者によって使用されており、ヒックス・アレンの定式化では、2つの濃度効用関数は、正のアフィン変換まで一意に選好順序を保存する場合、同じであるとみなされる。^{[26] [27]} 1940年代の終わり頃、一部の経済学者は、フォン・ノイマン-モルゲンシュテルンの期待効用公理化によって測定可能性が復活したと急いで主張した。^[16]

基数と測定可能性の混乱は、アルメン・アルチアン^[28]、ウィリアム・ボーモル^[29]、ジョン・チップマン^[30]の研究によって初めて解決されました。ボーモルの論文のタイトル「順序的である基数の効用」は、当時の文献の意味の混乱をよく表しています。

自然科学における測定尺度の構築に現れるのと同じ問題を検討することは有益である。 ^[31]温度の場合、測定には単位の選択とゼロという2 つの自由度がある。異なる温度尺度は、その強度を異なる方法でマッピングする。摂氏尺度では、ゼロは水が凍る点として選択されるが、同様に、基数効用理論では、ゼロの選択はちょうど 0 の効用をもたらす商品またはサービスに対応すると考えたくなる。しかし、これは必ずしも真実ではない。数学的指標は、ゼロが任意に別の点に移動された場合でも、尺度の選択が変更された場合でも、または尺度とゼロの両方が変更された場合でも、基数のままである。すべての測定可能なエンティティは基数関数にマッピングされるが、すべての基数関数が測定可能なエンティティのマッピングの結果であるとは限らない。この例のポイントは、たとえ効用関数がまったく異なる数値に変換されたとしても、線形変換である限り、(温度の場合と同様に) 何らかの効用関数の 2 つの値の組み合わせについて何かを予測できることを証明するために使用されました。

フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンは、物理量の測定可能性の問題は動的であると述べた。たとえば、温度はもともと単調な変換までしか数値ではなかったが、理想気体温度測定法の発達により、絶対零度と絶対単位が欠落した変換が行われた。その後の熱力学の発達により、絶対零度が固定され、熱力学の変換システムは定数の乗算のみで構成されるようになった。フォン・ノイマンとモルゲンシュテルン (1944、p. 23) によると、「実用性に関して、状況は [温度と] 同様の性質であるように思われる」。

アルチアンの次の引用は、効用関数の本当の性質 を決定的に明らかにするのに役立ちました^{[引用が必要] 。}

さまざまなエンティティに一連の数値 (尺度) を割り当て、割り当てられた数値 (尺度) が最も大きいエンティティが選択されるだろうと予測することはできるでしょうか。もしできるなら、この尺度を「効用」と名付け、効用を最大化するように選択が行われると断言できます。「効用を最大化している」という主張は、割り当てられた数値の大きさに応じて選択が予測可能であるということに過ぎません。分析の便宜上、個人は何らかの制約の下で何かを最大化しようとしていると仮定するのが通例です。個人が最大化しようとしているもの、または「もの」の数値尺度は「効用」と呼ばれます。効用が輝きや暖かさ、幸福感などであるかどうかはここでは重要ではありません。重要なのは、人が実現しようと努力できるエンティティまたは状態に数値を割り当てることができるということです。そして、個人はそれらの数値の何らかの機能を最大化しようとしていると言います。残念ながら、「実用性」という言葉は今では非常に多くの意味合いを持つようになったため、現在の目的においては実用性にはこれ以上の意味はないということを理解するのは難しい。

— アルメン・アルチアン、効用測定の意味^[28]

1955年にパトリック・サップスとミュリエル・ウィネットは、基数効用関数による選好の表現可能性の問題を解決し、この効用指標が機能するために必要な公理と基本特性の集合を導き出しました。^[32]

あるエージェントが、 AのBに対する好みと、 BのCに対する好みを順位付けするように求められたとします。たとえば、AのBに対する好みの度合いが、 BのCに対する好みの度合いを超えていると述べることができる場合、この情報を、 U _A > U _B > U _CおよびU _A − U _B > U _B − U _Cという 2 つの不等式を満たす任意の 3 つの数値で要約できます。

AとB が金額である場合、エージェントはBで表される金額を変更して、修正された金額B ′に対するAの好みの度合いがCに対するB ′の好みの度合いに等しいとわかるまで変更することができます。エージェントがそのようなB ′ を見つけた場合、この最後の操作の結果は、関係U _A > U _{B ′} > U _CおよびU _A − U _{B ′} = U _{B ′} − U _Cを満たす任意の 3 つの数値で表現されます。これらの関係に従う任意の 2 つの 3 つ組は、線形変換によって関連付けられている必要があります。これらは、規模と起源のみが異なる効用指標を表します。この場合、「基数」は、これらの特定の質問に対して一貫した回答を提供できること以上の意味はありません。この実験では、効用の測定可能性は必要ありません。イツァーク・ギルボアは、測定可能性が内省だけでは達成できない理由について、適切な説明をしています。

書類や衣服を山ほど運んでいて、いくつか落としたことに気づかなかったという経験があるかもしれません。運んでいた総重量の減少は、おそらく気付くほど大きくなかったのでしょう。2 つの物体の重量が近すぎて、その違いに気付かないこともあります。この問題は、私たちのすべての感覚の知覚に共通しています。2 本の棒の長さが同じかどうかを尋ねた場合、気付かないほど小さな違いがあります。同じことが、音 (音量、ピッチ)、光、温度などの知覚にも当てはまります...

— イツァーク・ギルボア『不確実性下における意思決定の理論』^[33]

この見解によれば、人がAとBの違いを区別できない状況では、好みの一貫性ではなく感覚の誤認により無関心となる。さらに、人間の感覚は与えられた刺激レベルに適応し、その基準からの変化を認識する。^[34]

あるエージェントがランダムな結果（宝くじ）に対して優先順位を持っているとします。エージェントの好みについて質問できれば、これらの好みを表す基数効用関数を構築することができます。これがフォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの効用定理の核心です。

功利主義派の福祉経済学者の間では、満足（場合によっては快楽）を福祉の単位とするのが一般的傾向であった。福祉経済学の機能が社会哲学者や政治家が福祉の判断を下すのに役立つデータを提供することであるならば、この傾向はおそらく快楽主義的な倫理につながるだろう。^[35]

この枠組みでは、行為（商品の生産やサービスの提供を含む）は、人々の主観的豊かさへの貢献度によって判断されます。言い換えれば、この枠組みは「最大多数の人々にとって最大の善」を判断する方法を提供します。1 人の効用を 75 ユーティル減らし、他の 2 人の効用をそれぞれ 50 ユーティル増やす行為は、全体の効用を 25 ユーティル増やすことになり、したがってプラスの貢献となります。一方、最初の人に 125 ユーティルのコストがかかり、他の 2 人にそれぞれ 50 ユーティルを与える行為は、純損失が 25 ユーティルになります。

効用関数のクラスが基数的である場合、効用差の個人内比較は許可されます。さらに、効用の比較が個人間で意味を持つ場合、効用関数のクラスを生成するために使用される線形変換は、人々間で制限される必要があります。例として、基数単位の比較があります。その情報環境では、許容される変換は増加するアフィン関数であり、さらに、スケーリング係数はすべての人にとって同じでなければなりません。この情報仮定により、効用差の個人間比較が可能になりますが、アフィン変換の切片は人々間で異なる可能性があるため、効用レベルを個人間で比較することはできません。^[36]

• 基数効用理論によれば、商品の限界効用の符号は、特定の選好構造のすべての数値表現に対して同じです。
• 限界効用の大きさは、同じ特定の選好構造を表すすべての基数効用指標で同じではありません。
• 基数である微分可能な効用関数の2 次導関数の符号は、特定の選好構造のすべての数値表現で同じです。これは通常負の符号であるため、基数効用理論では限界効用逓減の法則が適用される余地があります。
• 微分可能な効用関数の 2 次導関数の大きさは、同じ特定の選好構造を表すすべての基数効用指標に対して同じではありません。

このタイプの指標には、リスク下での選択が含まれる。この場合、A、B、およびC は、結果に関連する宝くじである。選好から定量化された効用への移行の可能性がほとんど自明であった確実性下での基数効用理論とは異なり、ここでは、数学的期待値の演算を実行できるように、選好を実数の集合にマッピングできることが最も重要である。マッピングが完了すると、追加の仮定を導入することで、公正な賭けに関する人々の一貫した行動が得られる。しかし、公正な賭けは、定義上、期待値がゼロのギャンブルを他のギャンブルと比較した結果である。効用を定量化しなければリスクに対する態度をモデル化することは不可能であるが、この理論は確実性下での選好の強さを測定するものとして解釈されるべきではない。^[37]

特定の結果が 3 つの自然状態に関連付けられていて、x _{3 が}x ₂よりも好まれ、 x 2 がx ₁よりも好まれるとします。この結果の集合X は、制御された偶然のゲームにおける計算可能な賞金であり、通貨単位に応じて 1 つの正の比例係数まで一意であると想定できます。

L ₁とL _{2 を}、それぞれ x ₁、x ₂、x ₃の確率p ₁、p ₂、p _{3 を}持つ2つの宝くじとします。

${\displaystyle L_{1}=(0.6,0,0.4),}$

${\displaystyle L_{2}=(0,1,0)\ .}$

誰かがリスク下で次のような選好構造を持っていると仮定します。

${\displaystyle L_{1}\succ L_{2},}$

これはL _{1 が}L ₂よりも好まれることを意味します。 L ₁のp ₁とp ₃の値を変更することで、最終的には L 1 とL _{2 の}間で無差別であると判断される適切な値 ( L _1' ) がいくつか存在することになります。たとえば、

${\displaystyle L_{1}'=(0.5,0,0.5).}$

期待効用理論によれば

${\displaystyle EU(L_{1}')=EU(L_{2})}$

など

${\displaystyle (0.5)\times u(x_{1})+(0.5)\times u(x_{3})=1\times u(x_{2}).}$

^{マジュムダール[38]}の例では、効用指数のゼロ値をx _{1の効用が0になるように固定し、} x ₂の効用が1になるようにスケールを選択すると、

${\displaystyle (0.5)\times u(x_{3})=1.}$

${\displaystyle u(x_{3})=2.}$

人々が将来の効用価値を割り引く、複数の期間を持つ効用モデルでは、効用関数を適切に動作させるために濃度を採用する必要がある。ポール・サミュエルソンによれば、将来の効用を割り引いた合計を最大化することは、人が効用の違いを順位付けできることを意味している。^[39]

経済用語として使われる「基数効用」と「順序効用」という用語が誤解を招く性質を持っていると指摘する著者もいる。

これらの用語は、ヒックスとアレン (1934) によって導入されたと思われるが、数学者の序数と基数の概念とはほとんど関係がなく、むしろ実数に対する順序準同型性と実数に対する群準同型性の概念の婉曲表現である。

— ジョン・チップマン『効用の基礎』^[30]

効用は測定できないとしても、少なくともある程度近似して何らかの測定方法を提供できると考える経済学者もいる。これは、実際の価格水準を示す統一単位を持たない価格を、指数化して「インフレ率」（実際には加重指数化製品の価格変動レベル）を提供できるのと同様である。これらの指標は完璧ではないが、効用の代理として機能する。ランカスター^[40]の消費者需要に対する特性アプローチはこの点を例証している。

次の表は、経済学でよく使われる 2 種類の効用関数を比較したものです。

• 期待効用理論
• 測定レベル
• 限界効用
• マルチ属性ユーティリティ
• ユーティリティ
• アローの不可能性定理
• 多数決
• 保存可能な投票

• 消費者の嗜好の強度測定
• 「効用と厚生経済学の再構築に向けて」