自己回帰条件付き異分散性

GARCH( p , q )過程のラグ長pは、次の3つのステップで決定されます。

1. 最適なAR( q )モデル を推定する

   ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{tq}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{ti}+\epsilon _{t}}$。

2. 自己相関を計算してプロットする$\displaystyle \epsilon ^{2}}$による

   $\displaystyle \rho (i)={{\sum _{t=i+1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})({\hat {\epsilon }}_{ti}^{2}-{\hat {\sigma }}_{ti}^{2})} \over {\sum _{t=1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})^{2}}}}$

3. 漸近的、つまりサンプルサイズが大きい場合の標準偏差は${\displaystyle \rho (i)}$は${\displaystyle 1/{\sqrt {T}}}$これより大きい個々の値は、GARCHエラーを示します。ラグの総数を推定するには、これらの値が例えば10%未満になるまでLjung–Box検定を使用します。Ljung–Box Q統計量は次のようになります。$\displaystyle \chi ^{2}}$二乗残差がn自由度の分布である場合${\displaystyle \epsilon _{t}^{2}}$は無相関です。n の値は T/ 4まで考慮することをお勧めします。帰無仮説は、ARCH または GARCH エラーが存在しないことを示しています。したがって、帰無仮説を棄却すると、条件付き分散にそのようなエラーが存在することになります。

統合一般化自己回帰条件付き異分散性（IGARCH）は、GARCHモデルの制限付きバージョンであり、持続パラメータの合計が1になり、GARCHプロセスに単位根を導入します。 ^{[ 9 ]}この条件は

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1}$。

ネルソンとカオ（1991）による指数一般化自己回帰条件付き異分散性（EGARCH）モデルは、GARCHモデルの別の形式です。形式的には、EGARCH(p,q)は次のようになります。

${\displaystyle \log \sigma _{t}^{2}=\omega +\sum _{k=1}^{q}\beta _{k}g(Z_{t-k})+\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\log \sigma _{t-k}^{2}}$

どこ${\displaystyle g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda (|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))}$、${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$条件付き分散は、${\displaystyle \omega }$、${\displaystyle \beta }$、${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \theta }$そして${\displaystyle \lambda }$は係数です。${\displaystyle Z_{t}}$は標準正規変数である場合もあれば、一般化誤差分布から得られる場合もある。 の定式化は${\displaystyle g(Z_{t})}$符号と大きさ${\displaystyle Z_{t}}$変動性に個別の影響を与える。これは資産価格設定の文脈で特に有用である。^{[ 10 ] [ 11 ]}

以来${\displaystyle \log \sigma _{t}^{2}}$負の値をとる場合もありますが、パラメータに符号の制限はありません。

GARCH-in-mean（GARCH-M）モデルは、平均方程式に異分散性項を追加します。その仕様は以下のとおりです。

${\displaystyle y_{t}=~\beta x_{t}+~\lambda ~\sigma _{t}+~\epsilon _{t}}$

残余${\displaystyle ~\epsilon _{t}}$は次のように定義されます。

${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}~\times z_{t}}$

Sentana (1995) による二次 GARCH (QGARCH) モデルは、正のショックと負のショックの非対称的な影響をモデル化するために使用されます。

GARCH(1,1)モデルの例では、残差プロセス${\displaystyle ~\sigma _{t}}$は

${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$

どこ${\displaystyle z_{t}}$はiidであり、

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=K+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}}$

QGARCHと同様に、Glosten、Jagannathan、Runkle（1993）によるGlosten-Jagannathan-Runkle GARCH（GJR-GARCH）モデルもARCHプロセスの非対称性をモデル化しています。提案は、${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$どこ${\displaystyle z_{t}}$はiidであり、

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}^{2}I_{t-1}}$

どこ${\displaystyle I_{t-1}=0}$もし${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\geq 0}$、 そして${\displaystyle I_{t-1}=1}$もし${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}<0}$。

ザコイアン（1994）による閾値GARCH（TGARCH）モデルは、GJR GARCHに類似している。仕様は、条件付き分散ではなく条件付き標準偏差に基づいている。

${\displaystyle ~\sigma _{t}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}+~\alpha _{1}^{+}~\epsilon _{t-1}^{+}+~\alpha _{1}^{-}~\epsilon _{t-1}^{-}}$

どこ${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{+}=~\epsilon _{t-1}}$もし${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}>0}$、 そして${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{+}=0}$もし${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\leq 0}$。 同じく、${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{-}=~\epsilon _{t-1}}$もし${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\leq 0}$、 そして${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{-}=0}$もし${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}>0}$。

ヘンチェルのfGARCHモデル^{[ 12 ]} （ファミリーGARCHとも呼ばれる）は、APARCH、GJR、AVGARCH、NGARCHなど、他のさまざまな一般的な対称および非対称GARCHモデルを包含する包括的なモデルです。

2004年、Claudia Klüppelberg、Alexander Lindner、Ross Mallerは、離散時間GARCH(1,1)プロセスの連続時間一般化を提案した。そのアイデアは、GARCH(1,1)モデル方程式から始めることである。

${\displaystyle \epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t},}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\sigma _{t-1}^{2}z_{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2},}$

そして、強力なホワイトノイズ処理を置き換える${\displaystyle z_{t}}$無限小の増分によって${\displaystyle \mathrm {d} L_{t}}$レヴィ過程の${\displaystyle (L_{t})_{t\geq 0}}$、そして二乗ノイズプロセス${\displaystyle z_{t}^{2}}$増分によって${\displaystyle \mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }}$、 どこ

${\displaystyle [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }=\sum _{s\in [0,t]}(\Delta L_{t})^{2},\quad t\geq 0,}$

は、二次変動過程の純粋に不連続な部分である。${\displaystyle L}$その結果、以下の確率微分方程式系が得られる。

${\displaystyle \mathrm {d} G_{t}=\sigma _{t-}\,\mathrm {d} L_{t},}$

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma _{t}^{2}=(\beta -\eta \sigma _{t}^{2})\,\mathrm {d} t+\varphi \sigma _{t-}^{2}\,\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} },}$

正のパラメータ${\displaystyle \beta }$、${\displaystyle \eta }$そして${\displaystyle \varphi }$決定する${\displaystyle \alpha _{0}}$、${\displaystyle \alpha _{1}}$そして${\displaystyle \beta _{1}}$初期条件が与えられた場合${\displaystyle (G_{0},\sigma _{0}^{2})}$上記のシステムには、経路ごとに一意の解が存在する。${\displaystyle (G_{t},\sigma _{t}^{2})_{t\geq 0}}$これは連続時間GARCH（COGARCH）モデルと呼ばれます。^{[ 13 ]}

乗法因子多周波GARCH（MF2-GARCH）はConradとEngle（2025）^{[ 14 ]}によって提案され、定常リターンを特徴とし、再帰的な長期ボラティリティ予測を可能にします。彼らは、1成分GARCHモデルの日次標準化ボラティリティ予測誤差は、過去の日次標準化予測誤差に基づいて本質的に予測不可能であるが、過去の日次標準化予測誤差の移動平均は予測力を持つという事実を利用します。MF2-GARCHは、${\displaystyle \epsilon _{t}={\sqrt {\sigma _{t}^{2}\tau _{t}}}z_{t}}$、 どこ ${\displaystyle z_{t}}$標準ガウス分布であり、短期的なGJR-GARCH成分を組み合わせたものである。

${\displaystyle h_{t}=(1-\phi )+\left(\alpha +\gamma \mathbf {1} _{\{\eta _{d,t-1}<0\}}\right){\frac {\eta _{d,t-1}^{2}}{\tau _{t-1}}}+\beta h_{t-1}}$

と${\displaystyle ~\alpha >0,\alpha +\gamma >0,\beta >0}$そして${\displaystyle ~\phi =\alpha +\gamma /2+\beta <1}$、そして、短期成分の平均標準化予測誤差の予測可能性を活用し、GARCH成分の過去の予測誤差に対する乗法誤差モデル（MEM）として指定された長期成分。

${\displaystyle \tau _{t}=\lambda _{0}+\lambda _{1}{\frac {1}{m}}\sum _{j=1}^{m}{\frac {\eta _{d,t-j}^{2}}{h_{t-j}}}+\lambda _{2}\tau _{t-1}}$

と${\displaystyle ~\lambda _{0}>0,\lambda _{1}>0,\lambda _{2}>0}$そして ${\displaystyle ~\lambda _{1}+\lambda _{2}<1}$。 ${\displaystyle m}$ベイズ情報量規準（BIC、SIC）を最小化することによって選択される。

経験的に、長期的な変動性はマクロ経済や金融政策に関するニュースと密接に関連している。米国のマクロ経済発表（例えば、新規失業保険申請件数や受注件数）に対する株式市場指数の即時反応は、長期的な株式市場の変動性のレベルに依存する。^{[ 15 ]}

切片のない ARCH モデルは Hafner と Preminger (2015) によって提案され、^{[ 16 ]}切片項をゼロに設定しました (${\displaystyle ~\omega =0}$）一次ARCHモデル${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$、 どこ${\displaystyle z_{t}}$は独立同分布であり、条件付き分散は次のようになります。

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=~\alpha _{1}~\epsilon _{t-1}^{2}.}$

^{このモデルは、Li、Zhang、Zhu、Ling（2018） [ 17 ]}によって拡張され、以下の仕様のゼロドリフトGARCH（ZD-GARCH）が検討されました。

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=~\alpha _{1}~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta _{1}~\sigma _{t-1}^{2}.}$

ZD-GARCHモデルは${\displaystyle ~\alpha _{1}+~\beta _{1}=1}$そのため、指数加重移動平均（EWMA）モデルを「RiskMetrics」にネストします。${\displaystyle ~\omega =0}$ZD-GARCHモデルは常に非定常であり、その統計的推論方法は古典的なGARCHモデルとは大きく異なります。過去のデータに基づくと、パラメータは${\displaystyle ~\alpha _{1}}$そして${\displaystyle ~\beta _{1}}$一般化QMLE法によって推定することができる。

Otto、Schmid、Garthoff (2018) ^{[ 18 ]}による空間 GARCH プロセスは、時間的一般化自己回帰条件付き異分散性 (GARCH) モデルの空間的等価物とみなされています。^{[ 19 ]}過去の期間に関する完全な情報セットが与えられれば分布が既知である時間的 ARCH モデルとは対照的に、空間的および時空間的設定では、隣接する空間的位置間の同時依存性のため、分布は単純ではありません。空間モデルは次のように与えられます。${\displaystyle ~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})}$そして

${\displaystyle ~\sigma (s_{i})^{2}=~\alpha _{i}+\sum _{v=1}^{n}\rho w_{iv}\epsilon (s_{v})^{2},}$

どこ${\displaystyle ~s_{i}}$は${\displaystyle i}$- 番目の空間位置と${\displaystyle ~w_{iv}}$は${\displaystyle iv}$空間重み行列の 番目の要素と${\displaystyle w_{ii}=0}$のために${\displaystyle ~i=1,...,n}$空間重み行列は、どの場所が隣接しているとみなされるかを定義します。

時空間拡張では、条件付き分散は空間的に遅延した過去の二乗観測値と時間的に遅延した変動性の結合関数としてモデル化され、横断的依存性と系列依存性の両方を考慮できます。これらのモデルは、ショックが空間と時間を超えて伝播する可能性のある環境統計、地域経済学、金融計量経済学などの分野で適用されています。最近のレビューでは、方法論の発展、推定手法、および分野横断的な応用がまとめられています。^{[ 19 ]}