パレート効率性

厚生経済学において、パレート改善とは、結果が「あらゆる点でより良い」という考え方を形式化したものである。ある変化がパレート改善であるとは、社会の中で少なくとも一人の幸福度を高め、かつ他の誰の幸福度も低下させない場合を指す。あらゆる可能なパレート改善が既に実施されている場合、すなわち、ある人の幸福度を高める方法がもはや残っておらず、他の誰かの幸福度が低下することがなくなった場合、その状況はパレート効率的またはパレート最適と呼ばれる。

社会選択理論では、同じ概念が「全会一致の原理」と呼ばれることもあり、これは、社会の全員が（厳密にはそうではないが）AをBよりも好む場合、社会全体も厳密にはそうではないがAをBよりも好むというものである。パレート最適解集合は、パレート効率的な状況すべてから構成される。

配分の効率性という文脈に加えて、パレート効率性の概念は、生産の効率性とx非効率性という文脈でも生じます。ある財の産出量がパレート効率的であるとは、ある財の産出量が増加する一方で、他のすべての財の産出量が増加するか、または変化しないような生産投入の再配分が実行可能でない場合を指します。^{[ 1 ]}

経済学以外にも、パレート効率性の概念は工学や生物学における選択肢の選定にも応用されている。まず、各選択肢を複数の基準で評価し、次に、他のどの選択肢も決定的にその選択肢を上回ることができないという特性を持つ選択肢のサブセットを特定する。これは、多目的最適化（パレート最適化とも呼ばれる）において、ある変数を改善すると他の変数に悪影響を及ぼすことは不可能であることを示すものである。

一部の経済学者^{[ 2 ]}は、パレート効率原理を「平和と繁栄への唯一の実現可能な道」と考えている。

この概念は、経済効率と所得分配の研究でこの概念を用いたイタリアの土木技師であり経済学者であるヴィルフレド・パレート（1848年～1923年）にちなんで名付けられた。

パレートは当初、この概念に「最適」という言葉を用いましたが、これはやや不適切な表現です。パレートの概念は、単一の「最良」（最適）の結果を特定するものではないため、「効率性」という考え方により近いものです。むしろ、少なくとも一人の人が最適と考える可能性のある結果の集合を特定するだけです。 ^{[ 3 ]}

厳密に言えば、ある状態がパレート最適であるとは、少なくとも一人の参加者の幸福度が高く、かつ他の参加者の幸福度が低いような代替状態が存在しない状態を指します。この条件を満たす状態変化が存在する場合、その新しい状態は「パレート改善」と呼ばれます。パレート改善が不可能な場合、その状態は「パレート最適」です。

言い換えれば、パレート効率とは、一方の当事者を不利にすることなく他方の当事者をより良くすることが不可能な状態を指します。^{[ 4 ]}この状態は、他方の当事者に損害を与えることなく一方の当事者をより良くするような方法で資源を配分することがもはや不可能であることを示しています。パレート効率の状態では、資源は可能な限り最も効率的な方法で配分されます。^{[ 4 ]}

ゲーム理論の観点から、戦略プロファイルsは、すべてのプレイヤー i に対して u i ( s ′ ) ≥ u i ( s ) であり、かつ、あるプレイヤーj_に対してu j ( s ′ ₎ > u j ( s )となるような他の戦略_{プロファイル}s ′が存在しない場合に_パレート効率的である。この式において、u は効用または利益を表し、j はプレイヤーを表す。^{[ 5 ]}

効率性は、ゲームにおける行動を評価する上で重要な基準である。ゼロサムゲームでは、すべての結果がパレート効率的である。

状態の特殊なケースは資源配分である。経済におけるこの概念の正式な表現は次のとおりである。${\displaystyle n}$エージェントと${\displaystyle k}$商品。次に割り当て${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$、 どこ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} ^{k}}$すべてのiについて、他の実行可能な割り当てがない場合、はパレート最適である。${\displaystyle \{x_{1}',\dots ,x_{n}'\}}$ここで、ユーティリティ関数の場合$u_i$各エージェントについて${\displaystyle i}$、${\displaystyle u_{i}(x_{i}')\geq u_{i}(x_{i})}$すべての人々のために${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$と${\displaystyle u_{i}(x_{i}')>u_{i}(x_{i})}$一部の人にとって${\displaystyle i}$[ ^{6 ]}ここで、この単純な経済では、「実現可能性」とは、配分される各財の総量が経済におけるその財の総量を超えない配分を指します。生産を伴うより複雑な経済では、配分は消費ベクトルと生産ベクトルの両方から構成され^、実現可能性は、消費される各財の総量が初期賦存量と生産量の合計を超えないことを要求します。

第一厚生定理の仮定の下では、競争市場はパレート効率的な結果をもたらす。この結果は、経済学者のケネス・アローとジェラール・ドブルーによって初めて数学的に証明された。^{[ 7 ]}しかし、この結果は、すべての可能な財の市場が存在し、外部性はなく、市場は完全競争であり、市場参加者は完全な情報を持っているという定理の仮定の下でのみ成り立つ。

完全な情報や完全な市場が存在しない場合、グリーンウォルド・スティグリッツの定理によれば、結果は一般的にパレート非効率となる。^{[ 8 ]}

第二の福祉定理は、本質的に第一の福祉定理の逆である。それは、同様の理想的な仮定の下では、パレート最適は、何らかの競争均衡または自由市場システムによって達成できるが、富の一括移転も必要となる場合があると述べている。^{[ 6 ]}

複数のサブゴールがある場合${\displaystyle f_{i}}$（と${\displaystyle i\geq 1}$) が存在し、ベクトル値目的関数に統合される${\displaystyle {\vec {f}}=(f_{1},\dots f_{n})^{T}}$一般的に、唯一の最適解を見つける${\displaystyle {\vec {x}}^{*}}$困難になる。これは、全順序関係が存在しないためです。${\displaystyle n>1}$これは、常に一方の目標を他方の目標よりも優先するとは限りません（辞書式順序のように）。多目的最適化の設定では、比較を容易にする全順序関係がないため、さまざまな解を比較できない可能性があります^{[ 9 ]。}${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}}^{*})\geq {\vec {f}}({\vec {x}})}$パレート順序のみが適用可能です。

ベクトル値最小化問題を考えてみましょう。$\displaystyle {\vec {y}}^{(1)}\in \mathbb {R} ^{m}}$パレートが支配的$\displaystyle {\vec {y}}^{(2)}\in \mathbb {R} ^{m}}$以下の場合に限り：^{[ 10 ]}$\displaystyle \forall i\in \{1,\dots m\}:{\vec {y}}_{i}^{(1)}\leq {\vec {y}}_{i}^{(2)}}$そして$\displaystyle \exists j\in \{1,\dots m\}:{\vec {y}}_{j}^{(1)}<{\vec {y}}_{j}^{(2)}.}$次に私たちは書きます${\displaystyle {\vec {y}}^{(1)}\prec {\vec {y}}^{(2)}}$、 どこ${\displaystyle \prec }$これはパレート順序です。つまり、${\displaystyle {\vec {y}}^{(1)}}$より悪くない${\displaystyle {\vec {y}}^{(2)}}$どのゴールでも、少なくとも1つのゴールでは（小さいので）優れている。${\displaystyle j}$パレート順序は厳密な部分順序ですが、積順序ではありません（厳密でも非厳密でもありません）。

^{[ 10 ]}の場合${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}}_{1})\prec {\vec {f}}({\vec {x}}_{2})}$すると、これは探索空間における先行順序を定義し、次のように言う。${\displaystyle {\vec {x}}_{1}}$パレートは代替案を凌駕する${\displaystyle {\vec {x}}_{2}}$そして私たちは書く${\displaystyle {\vec {x}}_{1}\prec _{\vec {f}}{\vec {x}}_{2}}$。

結果がパレート改善であっても、それが結果が公平であることを意味するわけではありません。パレート改善後も不平等が残る可能性があります。「効率」という用語はパレート最適性の概念とよく一緒に使われますが、社会の生産性を高めるプロセスを指します。^{[ 17 ]}社会がパレート効率性を持ちながら、同時に高いレベルの不平等を抱えていることもあり得ます。次のシナリオを考えてみましょう。パイが1つと3人の人がいるとします。最も公平な方法は、パイを3等分することです。しかし、パイを半分に分け、2人で分け合うと、パレート効率的であると考えられます。つまり、3人目は損をしないということです（パイの一部を受け取らないにもかかわらず）。判断を下す際には、社会効率性、全体的な福祉、限界価値逓減などの問題を含むさまざまな側面を考慮することが重要です。 

市場の失敗を完全に理解するためには、まず市場の成功を理解する必要があります。市場の成功とは、理想化された競争市場の集合が、資源配分に関してパレート最適となる均衡資源配分を達成する能力として定義されます。市場の失敗の定義によれば、それは福祉の第一基本定理の結論が誤っている状況、つまり市場を通じて行われる配分が効率的でない状況です。^{[ 18 ]}自由市場では、市場の失敗は非効率的な資源配分として定義されます。改善が可能であるという事実から、市場の失敗はパレート非効率性を意味します。たとえば、価値が下がる商品（医薬品/タバコ）の過剰消費は、非喫煙者への外部コストと、禁煙しない喫煙者の早死につながります。タバコの価格を上げると、人々が禁煙する動機付けになると同時に、喫煙関連疾患の治療のための資金も集めることができます。

各エージェントiには正の重みa _iが割り当てられているとします。すべての割り当てxについて、xの福祉を、 xに含まれるすべてのエージェントの効用の加重和として定義します。

$${\displaystyle W_{a}(x):=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}(x).}$$

x _{a を}、すべての配分の中で福祉を最大化する配分とする。

$${\displaystyle x_{a}\in \arg \max _{x}W_{a}(x).}$$

割り当てx _aがパレート効率的であることを示すのは簡単です。すべての重みが正であるため、パレート改善は合計を増加させ、x _aの定義に矛盾します。

日本の新ワルラス派経済学者、根岸隆氏は^{[ 19 ]}、ある仮定の下では、その逆もまた真であることを証明した。すなわち、すべてのパレート効率的な配分xに対して、 xがW _aを最大化するような正のベクトルaが存在する。より簡潔な証明はハル・ヴァリアンによって提供されている^{[ 20 ]}。

パレート効率の概念は工学分野で用いられてきた。^{[ 21 ]}選択肢の集合とそれらを評価する方法が与えられた場合、パレートフロンティア（またはパレート集合）はパレート効率的な選択肢の集合である。設計者は、パレート効率的な選択肢の集合に注意を限定することで、すべてのパラメータの全範囲を考慮するのではなく、この集合内でトレードオフを行うことができる。 ^{[ 22 ]}

現代のミクロ経済学理論は、パレート効率性の概念から大きなインスピレーションを得ている。パレートとその後継者たちは、この最適な資源配分の技術的な定義を、市場競争の抽象的なモデルの中で理論的に達成可能な均衡として説明する傾向があった。そのため、アダム・スミスの「見えざる手」の概念を裏付けるものとして扱われることが非常に多かった。より具体的には、 1930年代の「市場社会主義」をめぐる議論を促した。 ^{[ 3 ]}

しかし、非対称情報、シグナリング、逆選択、モラルハザードなどの問題が現実世界で発生すると、パレート効率的な結果を評価することが困難になるため、ほとんどの人は厚生経済学の定理を現実世界の正確な記述とは考えていません。したがって、経済学の2つの厚生定理の重要性は、公共政策に関する新古典派の思考を支配してきた枠組みを生み出す能力にあります。その枠組みとは、厚生経済学の定理によって、政治経済学を「市場の失敗」と「再分配の問題」という2つの状況で研究できるというものです。^{[ 23 ]}

「市場の失敗」の分析は、外部性に関する文献から理解できる。「実体」経済を完全な偶発的市場経済（効率的であると考えられている）と比較すると、非効率性が明らかになる。これらの非効率性、つまり外部性は、財産権や是正税などのメカニズムによって対処することができる。^{[ 23 ]}

「再分配の問題」の分析は、所得税や物品税をどのように利用すべきかという、観察されている政治的問題を扱っています。この定理は、いかなる課税もパレート効率的ではなく、再分配を伴う課税はパレート非効率的であることを示しています。このため、文献のほとんどは、税制構造が存在する場合、利用可能な税の変更によって誰もより良い状態にならないような状況を税制構造でどのように規定できるかという解決策を見つけることに焦点を当てています。^{[ 23 ]}

パレート最適化は生物学的プロセスでも研究されている。^{[ 24 ]}細菌では、遺伝子は作成コストが低い（資源効率が良い）か、読み取りやすい（翻訳効率が良い）かのいずれかであることが示された。自然選択は、高発現遺伝子を資源利用と翻訳効率のパレートフロンティアに押し上げるように作用する。^{[ 25 ]}パレートフロンティアに近い遺伝子は進化速度が遅いことも示されている（選択的有利性を提供していることを示唆している）。^{[ 26 ]}

パレート効率を社会最適化と同等に扱うのは誤りである^{[ 27 ]。}後者は規範的な概念であり、通常は分配の不平等の程度による結果を考慮する解釈の問題だからである^{[ 28 ]} 。例えば、固定資産税収入が低い学区と、収入がはるかに高い別の学区を比較して、政府による再分配によってより平等な分配が行われていることを示すものとして解釈する^{[ 29 ] 。}

一部の評論家は、パレート効率性がイデオロギー的な道具として利用される可能性があると主張している。資本主義が自己規制されていることを示唆するパレート効率性は、失業などの構造的な問題が均衡や規範から逸脱していると見なされ、無視されたり軽視されたりする可能性がある。^{[ 3 ]}

パレート効率性は富の完全な公平な分配を必要としないが、これは批判の的となっているもう一つの側面である。^{[ 30 ]}少数の富裕層が資源の大部分を保有する経済でも、パレート効率性は実現可能である。簡単な例として、パイを3人で分配する場合が挙げられる。最も公平な分配は、各人に3分の1ずつ割り当てることである。しかし、例えば2人に半分ずつ割り当て、3人目には割り当てないという分配も、公平ではないにもかかわらずパレート最適である。なぜなら、誰かの取り分を減らさずに、受け取った人の誰一人としてより良い状態にすることはできないからである。このような分配の例は他にもたくさんある。パイのパレート非効率的な分配の例としては、3人にパイの4分の1ずつを割り当て、残りを捨てるという方法が挙げられる。^{[ 31 ]}

アマルティア・センが詳述したリベラルのパラドックスは、人々が他人の行動について好みを持っている場合、パレート効率の目標が個人の自由の目標と衝突する可能性があることを示している。^{[ 32 ]}

最後に、パレート効率性が、他の効率性の基準についての議論をある程度阻害したという指摘がある。ウォートン・スクールのベン・ロックウッド教授が主張するように、その理由の一つとして、新古典派の領域で確立された他の効率性の基準は、最終的にはパレート効率性に帰着してしまうことが挙げられる。^{[ 3 ]}

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