数値解法

数値解析において、数値解法とは、数値問題を解くために設計された数学的手法である。適切な収束判定機能を備えた数値解法をプログラミング言語で実装したものを、数値アルゴリズムと呼ぶ。

させて${\displaystyle F(x,y)=0}$適切に定式化された問題であること、すなわち${\displaystyle F:X\times Y\rightarrow \mathbb {R} }$これは、入力データセットのデカルト積に基づいて定義される、実数または複素数の関数関係です。${\displaystyle X}$出力データセット${\displaystyle Y}$局所的にリプシッツ関数が存在する${\displaystyle g:X\rightarrow Y}$レゾルベントと呼ばれるもので、すべてのルートに対して次の性質を持つ。${\displaystyle (x,y)}$の${\displaystyle F}$、${\displaystyle y=g(x)}$我々は、近似のための数値的方法を定義する。${\displaystyle F(x,y)=0}$問題の順序

${\displaystyle \left\{M_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }=\left\{F_{n}(x_{n},y_{n})=0\right\}_{n\in \mathbb {N} },}$

と${\displaystyle F_{n}:X_{n}\times Y_{n}\rightarrow \mathbb {R} }$、${\displaystyle x_{n}\in X_{n}}$そして${\displaystyle y_{n}\in Y_{n}}$すべての${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$方法を構成する問題は、必ずしも適切に定式化されている必要はない。もしそうであれば、その方法は安定している、または適切に定式化されていると言われる。^{[ 1 ]}

数値的手法が効果的に近似を行うための必要条件${\displaystyle F(x,y)=0}$それは${\displaystyle x_{n}\rightarrow x}$そしてそれは${\displaystyle F_{n}}$のように振る舞う${\displaystyle F}$いつ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$したがって、数値計算法は、関数のシーケンスが${\displaystyle \left\{F_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$点ごとに収束して${\displaystyle F}$撮影現場で${\displaystyle S}$その解決策の一つ：

${\displaystyle \lim F_{n}(x,y+t)=F(x,y,t)=0,\quad \quad \forall (x,y,t)\in S.}$

いつ${\displaystyle F_{n}=F,\forall n\in \mathbb {N} }$の上${\displaystyle S}$この方法は厳密に一貫していると言われている。^{[ 1 ]}

で表す$\displaystyle \ell _{n}}$許容される摂動のシーケンス${\displaystyle x\in X}$数値計算法${\displaystyle M}$（つまり）${\displaystyle x+\ell _{n}\in X_{n}\forall n\in \mathbb {N} }$）そして$\displaystyle y_{n}(x+\ell _{n})\in Y_{n}}$値${\displaystyle F_{n}(x+\ell _{n},y_{n}(x+\ell _{n}))=0}$問題を解決するための有意義なツールとなるために、その方法が満たさなければならない条件。${\displaystyle F(x,y)=0}$収束とは：

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}(\varepsilon )>0,\exists \delta _{\varepsilon ,n_{0}}{\text{ such that}}\\&\forall n>n_{0},\forall \ell _{n}:\|\ell _{n}\|<\delta _{\varepsilon ,n_{0}}\Rightarrow \|y_{n}(x+\ell _{n})-y\|\leq \varepsilon .\end{aligned}}}$

点ごとの収束は容易に証明できる。${\displaystyle \{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$に${\displaystyle y}$これは、関連する手法の収束を意味する。^{[ 1 ]}

• 常微分方程式の数値解法
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