汎関数の極値を求めることは、関数の最大値と最小値を求めることと似ています。関数の最大値と最小値は、その導関数がゼロになる点（つまり、導関数がゼロになる点）を見つけることで求められます。汎関数の極値は、汎関数の導関数 がゼロになる関数を見つけることで得られます。これは、関連するオイラー・ラグランジュ方程式 を解くことにつながります。[ g ]
関数を考える
J [ y ] = ∫ x 1 x 2 L （ x 、 y （ x ） 、 y ′ （ x ） ） d x 、 {\displaystyle J[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L\left(x,y(x),y'(x)\right)\,dx,}
どこ
x 1 、 x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} 定数 です。y （ x ） {\displaystyle y(x)} y ′ （ x ） = d y d x 、 {\displaystyle y'(x)={\frac {dy}{dx}},} L （ x 、 y （ x ） 、 y ′ （ x ） ） {\displaystyle L\left(x,y(x),y'(x)\right)} x 、 y 、 {\displaystyle x,y,} y ′ 。 {\displaystyle y'.} 機能的J [ y ] {\displaystyle J[y]} 局所最小値 に達するf 、 {\displaystyle f,} η （ x ） {\displaystyle \eta (x)} x 1 {\displaystyle x_{1}} x 2 、 {\displaystyle x_{2},} ε {\displaystyle \varepsilon }
J [ f ] ≤ J [ f + ε η ] 。 {\displaystyle J[f]\leq J[f+\varepsilon \eta ]\,.}
用語ε η {\displaystyle \varepsilon \eta } 変形 と呼ばれますf {\displaystyle f} δ f 。 {\displaystyle \delta f.} [ 1 ] [ h ]
代入f + ε η {\displaystyle f+\varepsilon \eta } y {\displaystyle y} J [ y ] 、 {\displaystyle J[y],} ε 、 {\displaystyle \varepsilon ,}
Φ （ ε ） = J [ f + ε η ] 。 {\displaystyle \Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]\,.}
機能的であるためJ [ y ] {\displaystyle J[y]} y = f {\displaystyle y=f} Φ （ ε ） {\displaystyle \Phi (\varepsilon )} ε = 0 {\displaystyle \varepsilon =0} [ i ]
Φ ′ （ 0 ） ≡ d Φ d ε | ε = 0 = ∫ x 1 x 2 d L d ε | ε = 0 d x = 0 。 {\displaystyle \Phi '(0)\equiv \left.{\frac {d\Phi }{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx=0\,.}
の全微分 をとるとL [ x 、 y 、 y ′ ] 、 {\displaystyle L\left[x,y,y'\right],} y = f + ε η {\displaystyle y=f+\varepsilon \eta } y ′ = f ′ + ε η ′ {\displaystyle y'=f'+\varepsilon \eta '} ε {\displaystyle \varepsilon } x 、 {\displaystyle x,}
d L d ε = ∂ L ∂ y d y d ε + ∂ L ∂ y ′ d y ′ d ε ${\displaystyle {\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}{\frac {dy}{d\varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {dy'}{d\varepsilon }}}$
そしてなぜならd y d ε = η {\displaystyle {\frac {dy}{d\varepsilon }}=\eta } d y ′ d ε = η ′ 、 {\displaystyle {\frac {dy'}{d\varepsilon }}=\eta ',}
d L d ε = ∂ L ∂ y η + ∂ L ∂ y ′ η ′ 。 \displaystyle {\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial y'}}\eta '.}
したがって、
∫ x 1 x 2 d L d ε | ε = 0 d x = ∫ x 1 x 2 （ ∂ L ∂ f η + ∂ L ∂ f ′ η ′ ） d x = ∫ x 1 x 2 ∂ L ∂ f η d x + ∂ L ∂ f ′ η | x 1 x 2 − ∫ x 1 x 2 η d d x ∂ L ∂ f ′ d x = ∫ x 1 x 2 （ ∂ L ∂ f η − η d d x ∂ L ∂ f ′ ） d x {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial f'}}\eta '\right)\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial L}{\partial f}}\eta \,dx+\left.{\frac {\partial L}{\partial f'}}\eta \right|_{x_{1}}^{x_{2}}-\int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta -\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx\\\end{aligned}}}
どこL [ x 、 y 、 y ′ ] → L [ x 、 f 、 f ′ ] {\displaystyle L\left[x,y,y'\right]\to L\left[x,f,f'\right]} ε = 0 {\displaystyle \varepsilon =0} そして、第２項には部分積分 を用いました。第２行の第２項は、η = 0 {\displaystyle \eta =0} x 1 {\displaystyle x_{1}} x 2 {\displaystyle x_{2}}
∫ x 1 x 2 η （ x ） （ ∂ L ∂ f − d d x ∂ L ∂ f ′ ） d x = 0 。 {\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta (x)\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx=0\,.}
変分法の基本補題 によれば、この方程式が任意の選択に対して成り立つという事実は、η {\displaystyle \eta }
∂ L ∂ f − d d x ∂ L ∂ f ′ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}
これはオイラー・ラグランジュ方程式 と呼ばれる。この方程式の左辺は、の関数微分と呼ばれる。 J [ f ] {\displaystyle J[f]} δ J {\displaystyle \delta J} δ f （ x ） 。 {\displaystyle \delta f(x).}
一般に、これは2階常微分方程式 を与え、これを解くことで極値関数を求めることができる。f （ x ） 。 {\displaystyle f(x).} 必要 条件ではあるが、十分条件ではない。 J [ f ] 。 {\displaystyle J[f].} 最小値の十分条件は、「最小値の変動と十分条件」の セクションで説明されています。
例 このプロセスを説明するために、極値関数を求める問題を考えてみましょう。y = f （ x ） 、 {\displaystyle y=f(x),} （ x 1 、 y 1 ） {\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)} （ x 2 、 y 2 ） 。 {\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right).} 。
A [ y ] = ∫ x 1 x 2 1 + [ y ′ （ x ） ] 2 d x 、 {\displaystyle A[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[y'(x)]^{2}}}\,dx\,,}
と
y ′ （ x ） = d y d x 、 y 1 = f （ x 1 ） 、 y 2 = f （ x 2 ） 。 {\displaystyle y'(x)={\frac {dy}{dx}}\,,\ \ y_{1}=f(x_{1})\,,\ \ y_{2}=f(x_{2})\,.}
yが x の関数であると仮定すると一般性が失われることに注意してください。理想的には、両方とも他の何らかのパラメータの関数であるべきです。このアプローチは、あくまでも教育的な目的にのみ適しています。
オイラー・ラグランジュ方程式を用いて極値関数を求める。f （ x ） {\displaystyle f(x)} A [ y ] 。 {\displaystyle A[y].}
∂ L ∂ f − d d x ∂ L ∂ f ′ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}
と
L = 1 + [ f ′ （ x ） ] 2 。 {\displaystyle L={\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,.}
以来f {\displaystyle f} L 、 {\displaystyle L,} f （ x ） {\displaystyle f(x)}
d d x ∂ L ∂ f ′ = 0 。 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0\,.}
代わりにL {\displaystyle L}
d d x f ′ （ x ） 1 + [ f ′ （ x ） ] 2 = 0 。 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}\ =0\,.}
したがって
f ′ （ x ） 1 + [ f ′ （ x ） ] 2 = c 、 {\displaystyle {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}=c\,,}
ある定数に対してc {\displaystyle c}
[ f ′ （ x ） ] 2 1 + [ f ′ （ x ） ] 2 = c 2 、 {\displaystyle {\frac {[f'(x)]^{2}}{1+[f'(x)]^{2}}}=c^{2}\,,}
どこ
0 ≤ c 2 < 1. {\displaystyle 0\leq c^{2}<1.}
解くと、
[ f ′ （ x ） ] 2 = c 2 1 − c 2 {\displaystyle [f'(x)]^{2}={\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}}
これはつまり
f ′ （ x ） = m {\displaystyle f'(x)=m}
は定数であり、したがって2点を結ぶ最短曲線は（ x 1 、 y 1 ） {\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)} （ x 2 、 y 2 ） {\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)}
f （ x ） = m x + b と m = y 2 − y 1 x 2 − x 1 そして b = x 2 y 1 − x 1 y 2 x 2 − x 1 {\displaystyle f(x)=mx+b\qquad {\text{with}}\ \ m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}
こうして極値関数が見つかった。f （ x ） {\displaystyle f(x)} A [ y ] {\displaystyle A[y]} A [ f ] {\displaystyle A[f]} y = m x + b 。 {\displaystyle y=mx+b.} [ j ]
もしS {\displaystyle S} y （ x ） {\displaystyle y(x)}
S = ∫ 1 b f （ x 、 y （ x ） 、 y ′ （ x ） 、 … 、 y （ n ） （ x ） ） d x 、 {\displaystyle S=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x),\dots ,y^{(n)}(x))dx,}
それからy {\displaystyle y} ポアソン 方程式を満たさなければならない。[ 22 ]
∂ f ∂ y − d d x （ ∂ f ∂ y ′ ） + ⋯ + （ − 1 ） n d n d x n [ ∂ f ∂ y （ n ） ] = 0. {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)+\dots +(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[{\frac {\partial f}{\partial y^{(n)}}}\right]=0.}
これまでの議論では、極値関数は2つの連続導関数を持つと仮定してきたが、積分の存在はJ {\displaystyle J} 弱形式 とみなすことができる。デュ・ボワ・レイモンの定理は、この弱形式が強形式を意味すると主張している。L {\displaystyle L}
∂ 2 L ∂ f ′ 2 ≠ 0 、 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}L}{\partial f'^{2}}}\neq 0,}
それからf {\displaystyle f}
ラヴレンティエフ現象 ヒルベルトは、オイラー・ラグランジュ方程式が定常解を与えるための良好な条件を初めて示した人物である。凸領域と正の3回微分可能なラグランジアンの範囲内では、解は境界に沿って進むか、内部でオイラー・ラグランジュ方程式を満たす、可算個の断面から構成される。
しかし、 1926年にラヴレンティエフは 、最適解が存在しない場合でも、セクションの数を増やすことで任意に近づけることができる状況があることを示しました。ラヴレンティエフ現象は、許容関数の異なるクラス間で最小化問題の下限に違いがあることを示しています。たとえば、1934年にマニアによって提示された次の問題: [ 23 ]
L [ x ] = ∫ 0 1 （ x 3 − t ） 2 x ′ 6 、 {\displaystyle L[x]=\int _{0}^{1}(x^{3}-t)^{2}x'^{6},}
A = { x ∈ W 1 、 1 （ 0 、 1 ） : x （ 0 ） = 0 、 x （ 1 ） = 1 } 。 {\displaystyle {A}=\{x\in W^{1,1}(0,1):x(0)=0,\ x(1)=1\}.}
明らかに、x （ t ） = t 1 3 {\displaystyle x(t)=t^{\frac {1}{3}}} x ∈ W 1 、 ∞ {\displaystyle x\in W^{1,\infty }}
（一次元での）例は、従来はW 1 、 1 {\displaystyle W^{1,1}} W 1 、 ∞ 、 {\displaystyle W^{1,\infty },} [ 24 ] W 1 、 p {\displaystyle W^{1,p}} W 1 、 q {\displaystyle W^{1,q}} 1 ≤ p < q < ∞ 。 {\displaystyle 1\leq p<q<\infty .}
ラヴレンティエフ現象と関連しているのは反発特性です。ラヴレンティエフ現象を示す関数はすべて弱い反発特性を示します。[ 25 ]
複数の変数の関数 例えば、φ （ x 、 y ） {\displaystyle \varphi (x,y)} D {\displaystyle D} x 、 y {\displaystyle x,y}
U [ φ ] = ∬ D 1 + ∇ φ ⋅ ∇ φ d x d y 。 {\displaystyle U[\varphi ]=\iint _{D}{\sqrt {1+\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi }}\,dx\,dy.}
プラトーの問題は、 境界上で所定の値を仮定しながら表面積を最小化する関数を見つけることである。D {\displaystyle D} 極小曲面 と呼ばれる。この問題に対するオイラー・ラグランジュ方程式は非線形である。
φ x x （ 1 + φ y 2 ） + φ y y （ 1 + φ x 2 ） − 2 φ x φ y φ x y = 0. {\displaystyle \varphi _{xx}(1+\varphi _{y}^{2})+\varphi _{yy}(1+\varphi _{x}^{2})-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.}
詳細はクーラント（1950）を参照のこと。
膜の小さな変位のみを考慮すれば十分な場合が多く、変位がない場合とのエネルギー差は次のように近似される。
V [ φ ] = 1 2 ∬ D ∇ φ ⋅ ∇ φ d x d y 。 {\displaystyle V[\varphi ]={\frac {1}{2}}\iint _{D}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \,dx\,dy.}
機能的V {\displaystyle V} φ {\displaystyle \varphi } D {\displaystyle D} u {\displaystyle u} v {\displaystyle v} D {\displaystyle D} V [ u + ε v ] {\displaystyle V[u+\varepsilon v]}
d d ε V [ u + ε v ] | ε = 0 = ∬ D ∇ u ⋅ ∇ v d x d y = 0. {\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}V[u+\varepsilon v]\right|_{\varepsilon =0}=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v\,dx\,dy=0.}
ただし、u {\displaystyle u}
∬ D ∇ ⋅ （ v ∇ u ） d x d y = ∬ D ∇ u ⋅ ∇ v + v ∇ ⋅ ∇ u d x d y = ∫ C v ∂ u ∂ n d s 、 {\displaystyle \iint _{D}\nabla \cdot (v\nabla u)\,dx\,dy=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v+v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=\int _{C}v{\frac {\partial u}{\partial n}}\,ds,}
どこC {\displaystyle C} D 、 {\displaystyle D,} s {\displaystyle s} C {\displaystyle C} ∂ u / ∂ n {\displaystyle \partial u/\partial n} u {\displaystyle u} C 。 {\displaystyle C.} v {\displaystyle v} C {\displaystyle C}
∬ D v ∇ ⋅ ∇ u d x d y = 0 {\displaystyle \iint _{D}v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=0}
すべての滑らかな関数についてv {\displaystyle v} D {\displaystyle D}
∇ ⋅ ∇ u = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \nabla u=0} D 。 {\displaystyle D.}
この推論の難点は、最小化関数がu {\displaystyle u} ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレにちなんで ディリクレ原理 と名付けた。しかし、ワイエルシュトラスは、解のない変分問題の例を挙げた。最小化
W [ φ ] = ∫ − 1 1 （ x φ ′ ） 2 d x {\displaystyle W[\varphi ]=\int _{-1}^{1}(x\varphi ')^{2}\,dx}
すべての機能の中でφ {\displaystyle \varphi } φ （ − 1 ） = − 1 {\displaystyle \varphi (-1)=-1} φ （ 1 ） = 1. {\displaystyle \varphi (1)=1.} W {\displaystyle W} W = 0. {\displaystyle W=0.} [ k ] 楕円型偏微分方程式 。Jost と Li–Jost (1998) を参照してください。
他の境界値問題への一般化 膜のポテンシャルエネルギーのより一般的な表現は次のとおりである。
V [ φ ] = ∬ D [ 1 2 ∇ φ ⋅ ∇ φ + f （ x 、 y ） φ ] d x d y + ∫ C [ 1 2 σ （ s ） φ 2 + g （ s ） φ ] d s 。 {\displaystyle V[\varphi ]=\iint _{D}\left[{\frac {1}{2}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +f(x,y)\varphi \right]\,dx\,dy\,+\int _{C}\left[{\frac {1}{2}}\sigma (s)\varphi ^{2}+g(s)\varphi \right]\,ds.}
これは外部力密度に相当するf （ x 、 y ） {\displaystyle f(x,y)} D 、 {\displaystyle D,} g （ s ） {\displaystyle g(s)} C 、 {\displaystyle C,} σ （ s ） {\displaystyle \sigma (s)} C {\displaystyle C} 境界値に制限を設けずに ポテンシャルエネルギーを最小化する関数は、次のように表される。u {\displaystyle u} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} u {\displaystyle u} v {\displaystyle v} V [ u + ε v ] {\displaystyle V[u+\varepsilon v]}
∬ D [ ∇ u ⋅ ∇ v + f v ] d x d y + ∫ C [ σ u v + g v ] d s = 0. {\displaystyle \iint _{D}\left[\nabla u\cdot \nabla v+fv\right]\,dx\,dy+\int _{C}\left[\sigma uv+gv\right]\,ds=0.}
発散定理を適用すると、結果は
∬ D [ − v ∇ ⋅ ∇ u + v f ] d x d y + ∫ C v [ ∂ u ∂ n + σ u + g ] d s = 0. {\displaystyle \iint _{D}\left[-v\nabla \cdot \nabla u+vf\right]\,dx\,dy+\int _{C}v\left[{\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g\right]\,ds=0.}
まず最初に設定するとv = 0 {\displaystyle v=0} C 、 {\displaystyle C,}
− ∇ ⋅ ∇ u + f = 0 {\displaystyle -\nabla \cdot \nabla u+f=0}
でD {\displaystyle D} v {\displaystyle v} u {\displaystyle u}
∂ u ∂ n + σ u + g = 0 、 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g=0,}
の上C {\displaystyle C} u {\displaystyle u} 自然境界条件 と呼ばれます。
上記の推論は、以下の場合には妥当ではない。σ {\displaystyle \sigma } C 。 {\displaystyle C.} φ ≡ c {\displaystyle \varphi \equiv c} c {\displaystyle c}
V [ c ] = c [ ∬ D f d x d y + ∫ C g d s ] 。 {\displaystyle V[c]=c\left[\iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds\right].}
適切な選択によりc {\displaystyle c} V {\displaystyle V}
∬ D f d x d y + ∫ C g d s = 0. {\displaystyle \iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds=0.}
この条件は、系にかかる正味の外力が平衡状態にあることを意味します。これらの力が平衡状態にある場合、変分問題には解が存在しますが、任意の定数が加えられる可能性があるため、解は一意ではありません。詳細と例については、Courant and Hilbert (1953) を参照してください。
固有値問題 一次元および多次元の固有値問題は 、いずれも変分問題として定式化できる。
シュトゥルム・リウヴィル固有値問題は、 一般的な二次形式を含む。
Q [ y ] = ∫ x 1 x 2 [ p （ x ） y ′ （ x ） 2 + q （ x ） y （ x ） 2 ] d x 、 {\displaystyle Q[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx,}
どこy {\displaystyle y}
y （ x 1 ） = 0 、 y （ x 2 ） = 0. {\displaystyle y(x_{1})=0,\quad y(x_{2})=0.}
させてR {\displaystyle R}
R [ y ] = ∫ x 1 x 2 r （ x ） y （ x ） 2 d x 。 {\displaystyle R[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)y(x)^{2}\,dx.}
機能p （ x ） {\displaystyle p(x)} r （ x ） {\displaystyle r(x)} Q / R {\displaystyle Q/R} y {\displaystyle y} Q [ y ] {\displaystyle Q[y]} R [ y ] {\displaystyle R[y]} u {\displaystyle u}
− （ p u ′ ） ′ + q u − λ r u = 0 、 {\displaystyle -(pu')'+qu-\lambda ru=0,}
どこλ {\displaystyle \lambda }
λ = Q [ u ] R [ u ] 。 {\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.}
最小化は、(GelfandとFomin 1963を参照)示すことができる。u {\displaystyle u} λ {\displaystyle \lambda } λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} u 1 （ x ） {\displaystyle u_{1}(x)} レイリー・リッツ法 につながる。近似値を選択するu {\displaystyle u}
次に小さい固有値と固有関数は、最小化することによって得られます。Q {\displaystyle Q}
∫ x 1 x 2 r （ x ） u 1 （ x ） y （ x ） d x = 0. {\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)u_{1}(x)y(x)\,dx=0.}
この手順を拡張することで、問題の固有値と固有関数の完全なシーケンスを取得できます。
変分問題は、より一般的な境界条件にも適用されます。y {\displaystyle y}
Q [ y ] = ∫ x 1 x 2 [ p （ x ） y ′ （ x ） 2 + q （ x ） y （ x ） 2 ] d x + 1 1 y （ x 1 ） 2 + 1 2 y （ x 2 ） 2 、 {\displaystyle Q[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx+a_{1}y(x_{1})^{2}+a_{2}y(x_{2})^{2},}
どこ1 1 {\displaystyle a_{1}} 1 2 {\displaystyle a_{2}} y = u + ε v {\displaystyle y=u+\varepsilon v} Q / R {\displaystyle Q/R}
V 1 = 2 R [ u ] （ ∫ x 1 x 2 [ p （ x ） u ′ （ x ） v ′ （ x ） + q （ x ） u （ x ） v （ x ） − λ r （ x ） u （ x ） v （ x ） ] d x + 1 1 u （ x 1 ） v （ x 1 ） + 1 2 u （ x 2 ） v （ x 2 ） ） 、 {\displaystyle V_{1}={\frac {2}{R[u]}}\left(\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)u'(x)v'(x)+q(x)u(x)v(x)-\lambda r(x)u(x)v(x)\right]\,dx+a_{1}u(x_{1})v(x_{1})+a_{2}u(x_{2})v(x_{2})\right),}
どこλ {\displaystyle \lambda } Q [ u ] / R [ u ] {\displaystyle Q[u]/R[u]}
R [ u ] 2 V 1 = ∫ x 1 x 2 v （ x ） [ − （ p u ′ ） ′ + q u − λ r u ] d x + v （ x 1 ） [ − p （ x 1 ） u ′ （ x 1 ） + 1 1 u （ x 1 ） ] + v （ x 2 ） [ p （ x 2 ） u ′ （ x 2 ） + 1 2 u （ x 2 ） ] 。 {\displaystyle {\frac {R[u]}{2}}V_{1}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}v(x)\left[-(pu')'+qu-\lambda ru\right]\,dx+v(x_{1})[-p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})]+v(x_{2})[p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})].}
まず最初に要求するのはv {\displaystyle v} v {\displaystyle v}
− （ p u ′ ） ′ + q u − λ r u = 0 のために x 1 < x < x 2 。 {\displaystyle -(pu')'+qu-\lambda ru=0\quad {\hbox{for}}\quad x_{1}<x<x_{2}.}
もしu {\displaystyle u} v {\displaystyle v}
− p （ x 1 ） u ′ （ x 1 ） + 1 1 u （ x 1 ） = 0 、 そして p （ x 2 ） u ′ （ x 2 ） + 1 2 u （ x 2 ） = 0. {\displaystyle -p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})=0,\quad {\hbox{and}}\quad p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})=0.}
これらの条件は、この問題における自然な境界条件 である。なぜなら、それらは最小化のための試行関数に課されるものではなく、最小化の結果として生じるものだからである。
多次元における固有値問題 高次元における固有値問題は、一次元の場合と同様に定義される。例えば、領域が与えられた場合D {\displaystyle D} B {\displaystyle B}
Q [ φ ] = ∭ D p （ X ） ∇ φ ⋅ ∇ φ + q （ X ） φ 2 d x d y d z + ∬ B σ （ S ） φ 2 d S 、 {\displaystyle Q[\varphi ]=\iiint _{D}p(X)\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +q(X)\varphi ^{2}\,dx\,dy\,dz+\iint _{B}\sigma (S)\varphi ^{2}\,dS,}
そして
R [ φ ] = ∭ D r （ X ） φ （ X ） 2 d x d y d z 。 {\displaystyle R[\varphi ]=\iiint _{D}r(X)\varphi (X)^{2}\,dx\,dy\,dz.}
させてu {\displaystyle u} Q [ φ ] / R [ φ ] {\displaystyle Q[\varphi ]/R[\varphi ]} B 。 {\displaystyle B.} u {\displaystyle u}
− ∇ ⋅ （ p （ X ） ∇ u ） + q （ x ） u − λ r （ x ） u = 0 、 {\displaystyle -\nabla \cdot (p(X)\nabla u)+q(x)u-\lambda r(x)u=0,}
どこ
λ = Q [ u ] R [ u ] 。 {\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.}
最小化u {\displaystyle u}
p （ S ） ∂ u ∂ n + σ （ S ） u = 0 、 {\displaystyle p(S){\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma (S)u=0,}
境界線上B 。 {\displaystyle B.}
アプリケーション
光学 フェルマーの原理 によれば、光は（局所的に）その両端間の光路長を最小にする経路を通ります。x {\displaystyle x} y = f （ x ） {\displaystyle y=f(x)}
A [ f ] = ∫ x 0 x 1 n （ x 、 f （ x ） ） 1 + f ′ （ x ） 2 d x 、 {\displaystyle A[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx,}
屈折率n （ x 、 y ） {\displaystyle n(x,y)} f （ x ） = f 0 （ x ） + ε f 1 （ x ） {\displaystyle f(x)=f_{0}(x)+\varepsilon f_{1}(x)} のバリエーション A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} ε {\displaystyle \varepsilon }
δ A [ f 0 、 f 1 ] = ∫ x 0 x 1 [ n （ x 、 f 0 ） f 0 ′ （ x ） f 1 ′ （ x ） 1 + f 0 ′ （ x ） 2 + n y （ x 、 f 0 ） f 1 1 + f 0 ′ （ x ） 2 ] d x 。 {\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx.}
括弧内の第1項を部分積分すると、オイラー・ラグランジュ方程式が得られる。
− d d x [ n （ x 、 f 0 ） f 0 ′ 1 + f 0 ′ 2 ] + n y （ x 、 f 0 ） 1 + f 0 ′ （ x ） 2 = 0. {\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0.}
光線は、この方程式を積分することによって求めることができる。この形式は、ラグランジュ光学 およびハミルトン光学 の分野で用いられる。
ベクトル表記を用いるのが都合が良い。X = （ x 1 、 x 2 、 x 3 ） 、 {\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3}),} t {\displaystyle t} X （ t ） {\displaystyle X(t)} C 、 {\displaystyle C,} X ˙ （ t ） {\displaystyle {\dot {X}}(t)}
A [ C ] = ∫ t 0 t 1 n （ X ） X ˙ ⋅ X ˙ d t 。 {\displaystyle A[C]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}n(X){\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\,dt.}
この積分は、パラメトリック表現の変化に対して不変であることに注意してください。C 。 {\displaystyle C.}
d d t P = X ˙ ⋅ X ˙ ∇ n 、 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}P={\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\,\nabla n,}
どこ
P = n （ X ） X ˙ X ˙ ⋅ X ˙ 。 {\displaystyle P={\frac {n(X){\dot {X}}}{\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}}.}
定義から次のことが導かれる。P {\displaystyle P}
P ⋅ P = n （ X ） 2 。 {\displaystyle P\cdot P=n(X)^{2}.}
したがって、積分は次のように書くこともできます。
A [ C ] = ∫ t 0 t 1 P ⋅ X ˙ d t 。 {\displaystyle A[C]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}P\cdot {\dot {X}}\,dt.}
この形式は、関数を見つけることができればψ {\displaystyle \psi } P 、 {\displaystyle P,} A {\displaystyle A} ψ {\displaystyle \psi } ψ {\displaystyle \psi } ラグランジュ光学 とハミルトン光学の 文脈で使用されます。
波動方程式との関連性 不均質媒体の波動方程式は
u t t = c 2 ∇ ⋅ ∇ u 、 {\displaystyle u_{tt}=c^{2}\nabla \cdot \nabla u,}
どこc {\displaystyle c} X {\displaystyle X}
φ t 2 = c （ X ） 2 ∇ φ ⋅ ∇ φ 。 {\displaystyle \varphi _{t}^{2}=c(X)^{2}\,\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi .}
私たちは次のような形で解決策を探すかもしれません
φ （ t 、 X ） = t − ψ （ X ） 。 {\displaystyle \varphi (t,X)=t-\psi (X).}
その場合、ψ {\displaystyle \psi }
∇ ψ ⋅ ∇ ψ = n 2 、 {\displaystyle \nabla \psi \cdot \nabla \psi =n^{2},}
どこn = 1 / c {\displaystyle n=1/c} 1階偏微分方程式 の理論によれば、P = ∇ ψ 、 {\displaystyle P=\nabla \psi ,} P {\displaystyle P}
d P d s = n ∇ n 、 {\displaystyle {\frac {dP}{ds}}=n\,\nabla n,}
曲線系（光線 ）に沿って、
d X d s = P 。 {\displaystyle {\frac {dX}{ds}}=P.}
1階偏微分方程式の解を求めるこれらの式は、次のことを行えばオイラー・ラグランジュ方程式と同一になる。
d s d t = X ˙ ⋅ X ˙ n 。 {\displaystyle {\frac {ds}{dt}}={\frac {\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}{n}}.}
関数はψ {\displaystyle \psi } A {\displaystyle A} ハミルトン・ヤコビ理論 の本質的な内容であり、より一般的な変分問題にも適用できる。
力学 古典力学では、作用、S 、 {\displaystyle S,} L {\displaystyle L}
L = T − U 、 {\displaystyle L=T-U,}
どこT {\displaystyle T} 運動エネルギー であり、U {\displaystyle U} 位置エネルギー 。ハミルトンの原理 （または作用原理）は、保存的なホロノミック（積分可能な拘束）力学系の運動は、作用積分が
S = ∫ t 0 t 1 L （ x 、 x ˙ 、 t ） d t {\displaystyle S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(x,{\dot {x}},t)\,dt}
経路の変化に対して静止しているx （ t ） {\displaystyle x(t)}
d d t ∂ L ∂ x ˙ = ∂ L ∂ x 、 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}},}
そしてそれらは（そのような系における）ニュートンの運動方程式と等価である。
共役運動量P {\displaystyle P}
p = ∂ L ∂ x ˙ 。 {\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}.}
例えば、
T = 1 2 m x ˙ 2 、 {\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2},}
それからp = m x ˙ 。 {\displaystyle p=m{\dot {x}}.}
ハミルトン力学の 結果は、共役運動量が代わりに導入された場合にx ˙ {\displaystyle {\dot {x}}} L {\displaystyle L} H {\displaystyle H}
H （ x 、 p 、 t ） = p x ˙ − L （ x 、 x ˙ 、 t ） 。 {\displaystyle H(x,p,t)=p\,{\dot {x}}-L(x,{\dot {x}},t).}
ハミルトニアンは系の全エネルギーを表す。H = T + U {\displaystyle H=T+U} X {\displaystyle X} この関数はハミルトン・ヤコビ方程式 の解です。
∂ ψ ∂ t + H （ x 、 ∂ ψ ∂ x 、 t ） = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+H\left(x,{\frac {\partial \psi }{\partial x}},t\right)=0.}
さらなる応用 変分法のその他の応用例としては、以下のようなものがある。
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さらに読む Benesova, B. および Kruzik, M.: 「積分汎関数の弱い下半連続性と応用」 SIAM Review 59(4) (2017), 703–766. ボルツァ、O .：変分法の講義。チェルシー出版、1904年、デジタル数学ライブラリで入手可能。第2版は1961年に再版、ペーパーバックは2005年に出版、ISBN 978-1-4181-8201-4 。Cassel, Kevin W.: Variational Methods with Applications in Science and Engineering、ケンブリッジ大学出版局、2013年。 Clegg, JC:変分法、Interscience Publishers Inc.、1968年。 クーラント、R .：ディリクレの原理、等角写像、極小曲面。インターサイエンス、1950年。ダコローニャ、ベルナール ：「序論」変分法入門 、第3版、2014年、ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング、ISBN 978-1-78326-551-0 。Elsgolc, LE:変分法、Pergamon Press Ltd.、1962年。 Forsyth, AR:変分法、ドーバー出版、1960年。 Fox, Charles: 『変分法入門』、ドーバー出版、1987年。 ジャキンタ、マリアーノ。ステファン、ヒルデブラント: 変分計算 I および II、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-3-662-03278-7 ISBN 978-3-662-06201-2 Jost, J. および X. Li-Jost:変分法. Cambridge University Press, 1998.ランチョス、コルネリウス：力学の変分原理（アルバート・アインシュタインに捧ぐ）、トロント大学出版局、ISBN 0-8020-1743-6 1962年、1966年、1970年版がそれに続いた。ISBN 0-486-65067-7 Lebedev, LP および Cloud, MJ:変分法と最適制御および力学への応用を伴う関数解析、World Scientific、2003 年、1-98 ページ。 ローガン、J.デイビッド：応用数学、第3版。ワイリー・インターサイエンス、2006年 パイク、ラルフ W. 「第 8 章：変分法」。『エンジニアリング システムのための最適化 』 。ルイジアナ州立大学 。2007年 7 月 5 日のオリジナルからアーカイブ済み。 Roubicek, T.: 「変分法」。 『物理学者のための数学ツール』 第17章。（M. Grinfeld編）J. Wiley、Weinheim、2014年、ISBN 978-3-527-41188-7 、551～588ページ 。 ハンス・サガン著『変分法入門』、ドーバー出版、1992年。 ワインストック、ロバート：物理学と工学への応用を伴う変分法、ドーバー出版、1974年（1952年版の復刻版）。
外部リンク 変分法。数学百科事典 変分法。PlanetMath 。 変分法 変分法。例題。 数学 - 変分法と積分方程式。YouTube での講義 。 測地線場に関する選集。パートI、パートII。
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![{\displaystyle \Delta J=J[y]-J[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908a610680f68b49d2d74f7909915ae0a941badf)
![{\displaystyle J[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de95b8fa7148a0649ae7783e6d6d0fb67ab5e18f)
![{\displaystyle J[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L\left(x,y(x),y'(x)\right)\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4bfc562818d1f07622a6762c50dfc4265f68745)
![{\displaystyle J[f]\leq J[f+\varepsilon \eta ]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a347d280eb874315dbd5b4a68c4c2b44d9f15da)
![{\displaystyle J[y],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cac1cd1270f2a43c735d3f35b3621ea2f4f26c8)
![{\displaystyle \Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/926367ddcef96ecc3dad5b9f9ec349374fa917f1)
![{\displaystyle L\left[x,y,y'\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632b0b651d39b619a68acff33e2568bcbb28e65a)
![{\displaystyle L\left[x,y,y'\right]\to L\left[x,f,f'\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d68869d8c1d4bf7c1296a04f5f22a091ffce8f)
![{\displaystyle J[f].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2517459c1df64d3a82d3a1b714da8221301b6c50)
![{\displaystyle A[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[y'(x)]^{2}}}\,dx\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da37ace47aa96fb9f7bb2ab64875c1ae197c94d)
![{\displaystyle A[y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d858813afcc6f4029d56337077a6d650441872)
![{\displaystyle L={\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555fff5b0cf6f1cb67b2e1b468e573407f7ccee4)
![\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}\ =0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961442e0205b6c46b41042f0b94d5812ead998a0)
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![{\displaystyle {\frac {[f'(x)]^{2}}{1+[f'(x)]^{2}}}=c^{2}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd2d2eae2eaaf356479dba411285ef14b1e9b1f)
![{\displaystyle [f'(x)]^{2}={\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d9a961412e57cb7f303bce0dfe37831f3c4b32)
![{\displaystyle A[y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779a5f3cb6b8c8ce9d9abc7ce2ca677224bfb3a6)
![{\displaystyle A[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fdbd2a323402ac4a1dc1bee1b38203475042eaa)
![\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)+\dots +(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[{\frac {\partial f}{\partial y^{(n)}}}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30bb2dcd2b6ebe61b4739ce29a4fb4555b02e21f)
![{\displaystyle L[x]=\int _{0}^{1}(x^{3}-t)^{2}x'^{6},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436e8347174d5ea98ba31ce691689cf70d598e69)
![{\displaystyle U[\varphi ]=\iint _{D}{\sqrt {1+\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi }}\,dx\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65891d53af98d0dee996f5bd6909f7db8f08fa41)
![{\displaystyle V[\varphi ]={\frac {1}{2}}\iint _{D}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \,dx\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f5fa37982d6e486bf05d19685bd103001f1bcc9)
![{\displaystyle V[u+\varepsilon v]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84151c1a8a53e0ebb31d489ea0909cadbbc517f)
![{\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}V[u+\varepsilon v]\right|_{\varepsilon =0}=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v\,dx\,dy=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c22f0a495e5a395467a558806543e37c2f2ed61)
![{\displaystyle W[\varphi ]=\int _{-1}^{1}(x\varphi ')^{2}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff5f49e35c822e07d4da970db4729dab8263eff)
![{\displaystyle V[\varphi ]=\iint _{D}\left[{\frac {1}{2}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +f(x,y)\varphi \right]\,dx\,dy\,+\int _{C}\left[{\frac {1}{2}}\sigma (s)\varphi ^{2}+g(s)\varphi \右]\,ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9452efb494c89bc53a6a2194317e4c54978f5bf)
![{\displaystyle \iint _{D}\left[\nabla u\cdot \nabla v+fv\right]\,dx\,dy+\int _{C}\left[\sigma uv+gv\right]\,ds=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bce97093108a6deab4d3d9514731569e3b91333)
![{\displaystyle \iint _{D}\left[-v\nabla \cdot \nabla u+vf\right]\,dx\,dy+\int _{C}v\left[{\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g\right]\,ds=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/392b9243ae240cb851b6a7cb0dca90a225d620c3)
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![{\displaystyle V_{1}={\frac {2}{R[u]}}\left(\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)u'(x)v'(x)+q(x)u(x)v(x)-\lambda r(x)u(x)v(x)\right]\,dx+a_{1}u(x_{1})v(x_{1})+a_{2}u(x_{2})v(x_{2})\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85cdfcac3ee48dad6023c55e7297a743c5ef9889)
![{\displaystyle Q[u]/R[u]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/522bcf8ebf03ee79b72a6b806aa2b444cfe7873f)
![{\displaystyle {\frac {R[u]}{2}}V_{1}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}v(x)\left[-(pu')'+qu-\lambda ru\right]\,dx+v(x_{1})[-p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})]+v(x_{2})[p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f28758653cb2dfbf06daa0b8de1e63b5477d4f)
![{\displaystyle Q[\varphi ]=\iiint _{D}p(X)\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +q(X)\varphi ^{2}\,dx\,dy\,dz+\iint _{B}\sigma (S)\varphi ^{2}\,dS,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499f948dd2593a74a7ecc60cd9ce197afa98ab44)
![{\displaystyle R[\varphi ]=\iiint _{D}r(X)\varphi (X)^{2}\,dx\,dy\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea0f8d5580e4c0b432d70e62d6807446fdc1eb02)
![{\displaystyle Q[\varphi ]/R[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9019f6a2c799e12a49b1d064e4f257f64796b38)
![{\displaystyle A[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d747b4c15a59e00009e473abfc66b3b9936acd15)
![{\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead6cba217489cda24fd7b6a11af8b653686dfea)
![{\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ae4e401d54a2b83f9d9a6d90a7f47a74e8401a)
![{\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{(-)}{\frac {f_{0}'(0^{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{-})^{2}}}}-n_{(+)}{\frac {f_{0}'(0^{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{+})^{2}}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb9bf1e6e1e14088ced2d5a07f57a274109f568d)
![{\displaystyle A[C]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}n(X){\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/017c3bde85ca5d2c7ce32a822fee7887be7196d5)
![{\displaystyle A[C]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}P\cdot {\dot {X}}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62daf8e3e637b6c870e8f6040c1647107d0cb70a)
![{\displaystyle \Delta J[h]=J[y+h]-J[y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1afca9e7eaace00269d8f53da567545cbfe304e8)
![{\displaystyle \Delta J[h]=\varphi [h]+\varepsilon \|h\|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca90945311853118be3d7908806af2abecd675ad)
![{\displaystyle \varphi [h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5d3706d584b07b7e31c73dc7e551b61cbd070c)
![{\displaystyle \delta J[h]=\varphi [h].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e086282bfcb12974fcd315bdfa87aef8883a47a8)
![{\displaystyle \Delta J[h]=\varphi _{1}[h]+\varphi _{2}[h]+\varepsilon \|h\|^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b492256036f0df42630bec1d5a87765d7004234)
![{\displaystyle \varphi _{1}[h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9cc37b1e38b48748a01c440f843fec42f935159)
![{\displaystyle \varphi _{2}[h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27db3575a09ef705e046bae263abc9698a74b00d)
![{\displaystyle \delta ^{2}J[h]=\varphi _{2}[h].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc7c33b0f48efb77cc27310386597b14bfcb27e)
![{\displaystyle \delta ^{2}J[h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/944d61992df7a4fed5984ed17aed68924d996211)
![{\displaystyle \delta ^{2}J[h]\geq k\|h\|^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7e46338000a73f596fb5d2cfd8fe11c98e597b)
![{\displaystyle \delta J[h]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8535a8a97e179e6bf50a8ba4be1361de7ae56380)
![{\displaystyle \Delta J[h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8562696b5d6e0194f03dcd0494b55953256bfeb)
![{\displaystyle \Delta J[y;h].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d235b3497aa764aaf24118331bb67e2b7880a7ce)
![{\displaystyle \varphi [\alpha h]=\alpha \varphi [h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b7de3686c0d7ccfe0eb9e784d7595fd74c991b)
![{\displaystyle \varphi \left[h+h_{2}\right]=\varphi [h]+\varphi \left[h_{2}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6ab8062990bbd6277a402b28ee2fd48668041e)
