自己回帰条件付き異分散性

計量経済学 において、自己回帰条件付き異分散性( ARCH ) モデルは、時系列データの統計モデルであり、現在の誤差項またはイノベーションの分散を、前の期間の誤差項の実際のサイズの関数として表します。^[1]多くの場合、分散は以前のイノベーションの 2 乗に関連しています。ARCH モデルは、時系列の誤差分散が自己回帰(AR) モデルに従う場合に適しています。誤差分散に自己回帰移動平均(ARMA) モデルが想定される場合、モデルは一般化自己回帰条件付き異分散性( GARCH ) モデルです。^[2]

ARCHモデルは、時間とともに変化するボラティリティとボラティリティのクラスタリング、つまり変動期間と比較的穏やかな期間が交互に現れる金融 時系列のモデリングによく使用されます。ARCH型モデルは確率的ボラティリティモデルの一種であると考えられることもありますが、これは厳密には誤りです。なぜなら、 t時点でのボラティリティは、以前の値によって完全に事前に決定（決定論的）されているからです。 ^[3]

ARCHプロセスを使用して時系列をモデル化するには、誤差項（平均プロセスに対する残差を返す）、つまり系列項を表すものとします。これらは、確率的部分と、項の典型的なサイズを特徴付ける 時間依存の標準偏差に分割され、${\displaystyle ~\epsilon _{t}~}$${\displaystyle ~\epsilon _{t}~}$${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle \sigma_{t}}$

${\displaystyle ~\epsilon_{t}=\sigma_{t}z_{t}~}$

ランダム変数は強いホワイトノイズ過程である。この系列は次のようにモデル化される。 ${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle \sigma_{t}^{2}}$

${\displaystyle \sigma_{t}^{2}=\alpha_{0}+\alpha_{1}\epsilon_{t-1}^{2}+\cdots +\alpha_{q}\epsilon_{tq}^{2}=\alpha_{0}+\sum_{i=1}^{q}\alpha_{i}\epsilon_{ti}^{2}}$、

ここで、および。${\displaystyle ~\alpha _{0}>0~}$${\displaystyle \alpha _{i}\geq 0,~i>0}$

ARCH( q )モデルは、通常の最小二乗法を使用して推定できます。ラグランジュ乗数検定を使用して残差が時間とともに変化する異分散性を示すかどうかを検定する方法は、 Engle (1982)によって提案されました。この手順は次のとおりです。 ${\displaystyle \epsilon_{t}}$

1. 最も適合する自己回帰モデルAR( q )を推定します。${\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{tq}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{ti}+\epsilon _{t}}$
2. 誤差の二乗を取得し、定数とqラグ値に回帰します。 ${\displaystyle {\hat {\epsilon }}^{2}}$

   ${\displaystyle {\hat {\epsilon }}_{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}{\hat {\epsilon }}_{ti}^{2}}$

   ここで、q はARCH ラグの長さです。

3. 帰無仮説は、ARCH 成分がない場合、すべての に対してが成り立つというものです。対立仮説は、ARCH 成分がある場合、推定された係数の少なくとも 1 つは有意でなければならないというものです。ARCHエラーがないという帰無仮説の下でのT残差のサンプルでは、​​検定統計量T'R² は自由度qの分布に従います。ここで、 は残差とラグ (つまり)を適合するモデル内の方程式の数です。T'R²がカイ 2 乗表の値より大きい場合、帰無仮説を棄却し、 ARMA モデルに ARCH 効果があると結論付けます。T'R²がカイ 2 乗表の値より小さい場合、帰無仮説を棄却しません。${\displaystyle \alpha _{i}=0}$${\displaystyle i=1,\cdots ,q}$${\displaystyle \alpha_{i}}$${\displaystyle \chi^{2}}$${\displaystyle T'}$${\displaystyle T'=Tq}$

誤差分散に自己回帰移動平均（ARMA）モデルを仮定すると、モデルは一般化自己回帰条件付き異分散（GARCH）モデルとなる。^[2]

その場合、GARCH ( p , q ) モデル ( pは GARCH 項の順序、qは ARCH 項の順序) は、元の論文の表記に従って、次のように表されます。 ${\displaystyle ~\sigma ^{2}}$${\displaystyle ~\epsilon ^{2}}$

${\displaystyle y_{t}=x'_{t}b+\epsilon_{t}}$

${\displaystyle \epsilon _{t}|\psi _{t-1}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{t}^{2})}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\omega +\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{tq}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}+\cdots +\beta _{p}\sigma _{tp}^{2}=\omega +\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{ti}^{2}+\sum _{i=1}^{p}\beta _{i}\sigma _{ti}^{2}}$

一般に、計量経済モデルにおける異分散性をテストする場合、最適なテストはホワイト テストです。ただし、時系列データ を扱う場合、これは ARCH エラーと GARCH エラーをテストすることを意味します。

指数加重移動平均(EWMA) は、指数平滑化モデルの別のクラスにおける代替モデルです。GARCH モデリングの代替として、最近の観測値に重みを付けるなどの魅力的な特性がありますが、推定に主観性をもたらす任意の減衰係数などの欠点もあります。

GARCH( p , q )プロセスの遅延長pは、次の3つのステップで確立されます。

1. 最も適合するAR( q )モデルを 推定する

   ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{tq}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{ti}+\epsilon _{t}}$。

2. の自己 相関を計算しプロットする${\displaystyle \epsilon^{2}}$

   ${\displaystyle \rho ={{\sum _{t=i+1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})({\hat {\epsilon }}_{t-1}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t-1}^{2})} \over {\sum _{t=1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})^{2}}}}$

3. 漸近的、つまり大規模サンプルの標準偏差は です。個々の値がこれより大きい場合は、GARCH エラーを示します。ラグの総数を推定するには、これらの値が、たとえば 10% 未満になるまで、Ljung–Box 検定を使用します。Ljung–Box Q 統計量は、残差の二乗が相関していない場合、自由度nの分布に従います。nの値は最大 T/4 まで考慮することが推奨されます。帰無仮説は、ARCH エラーも GARCH エラーも存在しないというものです。したがって、帰無仮説を棄却することは、条件付き分散にそのようなエラーが存在することを意味します。${\displaystyle \rho (i)}$${\displaystyle 1/{\sqrt {T}}}$${\displaystyle \chi^{2}}$${\displaystyle \epsilon _{t}^{2}}$

非線形非対称GARCH(1,1) ( NAGARCH )は、以下の仕様を持つモデルである: ^{[6] [7]}

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}}$、

ここで、およびであり、分散過程の非負性と定常性を保証します。${\displaystyle ~\alpha \geq 0,~\beta \geq 0,~\omega >0}$${\displaystyle ~\alpha (1+~\theta ^{2})+~\beta <1}$

株式のリターンの場合、パラメータは通常は正と推定されます。この場合、これは一般に「レバレッジ効果」と呼ばれる現象を反映しており、マイナスのリターンは、同じ大きさのプラスのリターンよりも将来のボラティリティを大きく増加させることを意味します。^{[6] [7]}${\displaystyle ~\theta }$

このモデルは、1992年にヒギンズとベラによって導入されたNGARCH拡張を含むNARCHモデルと混同しないでください。^[8]

統合一般化自己回帰条件付き異分散性（IGARCH）は、GARCHモデルの制限バージョンであり、持続パラメータの合計が1になり、GARCHプロセスに単位根を導入します。 ^[9]この条件は

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1}$。

Nelson & Cao (1991) による指数一般化自己回帰条件付き異分散 (EGARCH) モデルは、GARCH モデルの別の形式です。正式には、EGARCH(p,q) は次のようになります。

${\displaystyle \log \sigma _{t}^{2}=\omega +\sum _{k=1}^{q}\beta _{k}g(Z_{t-k})+\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\log \sigma _{t-k}^{2}}$

ここで、、は条件付き分散、、、、、は係数です。は標準正規変数、または一般化誤差分布から来ている可能性があります。の定式化により、の符号と大きさがボラティリティに別々に影響を与えることができます。これは資産価格設定のコンテキストで特に役立ちます。^{[10] [11]}${\displaystyle g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda (|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))}$${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle Z_{t}}$${\displaystyle g(Z_{t})}$${\displaystyle Z_{t}}$

負の値になる可能性があるため、パラメータには符号制限はありません。 ${\displaystyle \log \sigma _{t}^{2}}$

GARCH-in-mean (GARCH-M) モデルは、平均方程式に異分散項を追加します。仕様は次のとおりです。

${\displaystyle y_{t}=~\beta x_{t}+~\lambda ~\sigma _{t}+~\epsilon _{t}}$

残差は次のように定義されます。 ${\displaystyle ~\epsilon _{t}}$

${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}~\times z_{t}}$

Sentana (1995) による Quadratic GARCH (QGARCH) モデルは、正のショックと負のショックの非対称な影響をモデル化するために使用されます。

GARCH(1,1)モデルの例では、残差プロセスは ${\displaystyle ~\sigma _{t}}$

${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$

iidは どこにあり、${\displaystyle z_{t}}$

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=K+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}}$

QGARCHと同様に、Glosten、Jagannathan、Runkle (1993)によるGlosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR-GARCH)モデルもARCHプロセスの非対称性をモデル化します。提案は、iidがモデル化され、 ${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$${\displaystyle z_{t}}$

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}^{2}I_{t-1}}$

ここで、 であり、 の場合です。 ${\displaystyle I_{t-1}=0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\geq 0}$${\displaystyle I_{t-1}=1}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}<0}$

Zakoian (1994) による閾値 GARCH (TGARCH) モデルは、GJR GARCH に似ています。仕様は、条件付き分散ではなく条件付き標準偏差に基づいています。

${\displaystyle ~\sigma _{t}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}+~\alpha _{1}^{+}~\epsilon _{t-1}^{+}+~\alpha _{1}^{-}~\epsilon _{t-1}^{-}}$

ここで、、 の場合です。同様に、、の場合です。 ${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{+}=~\epsilon _{t-1}}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}>0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{+}=0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\leq 0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{-}=~\epsilon _{t-1}}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\leq 0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{-}=0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}>0}$

ヘンチェルのfGARCHモデル^[12]は、ファミリーGARCHとしても知られ、APARCH、GJR、AVGARCH、NGARCHなど、他のさまざまな一般的な対称型および非対称型GARCHモデルをネストしたオムニバスモデルです。

2004年に、クラウディア・クリュッペルベルグ、アレクサンダー・リンドナー、ロス・マラーは、離散時間GARCH(1,1)過程の連続時間一般化を提案した。そのアイデアは、GARCH(1,1)モデル方程式から出発することである。

${\displaystyle \epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t},}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\sigma _{t-1}^{2}z_{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2},}$

そして、強い白色ノイズ過程をレヴィ過程の微小増分に置き換え、二乗ノイズ過程を増分に置き換える。ここで、 ${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle \mathrm {d} L_{t}}$ ${\displaystyle (L_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle z_{t}^{2}}$${\displaystyle \mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }}$

${\displaystyle [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }=\sum _{s\in [0,t]}(\Delta L_{t})^{2},\quad t\geq 0,}$

は、 の二次変化過程の純粋に不連続な部分です。結果は、次の確率微分方程式系になります。 ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \mathrm {d} G_{t}=\sigma _{t-}\,\mathrm {d} L_{t},}$

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma _{t}^{2}=(\beta -\eta \sigma _{t}^{2})\,\mathrm {d} t+\varphi \sigma _{t-}^{2}\,\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} },}$

ここで、正のパラメータ、およびは、およびによって決定されます。ここで、ある初期条件が与えられると、上記のシステムは、連続時間GARCH（COGARCH）モデルと呼ばれる経路ごとに一意の解を持ちます。^[13]${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \beta _{1}}$${\displaystyle (G_{0},\sigma _{0}^{2})}$${\displaystyle (G_{t},\sigma _{t}^{2})_{t\geq 0}}$

^{GARCHモデルとは異なり、Li、Zhang、Zhu、Ling (2018) [14]}によるゼロドリフトGARCH (ZD-GARCH)モデルでは、1次GARCHモデルのドリフト項を考慮に入れています。ZD-GARCHモデルは、 をモデル化します。ここで、はiidであり、 ${\displaystyle ~\omega =0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$${\displaystyle z_{t}}$

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=~\alpha _{1}~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta _{1}~\sigma _{t-1}^{2}.}$

ZD-GARCH モデルは を必要としないため、指数加重移動平均(EWMA) モデルを「RiskMetrics」にネストします。ドリフト項 のため、ZD-GARCH モデルは常に非定常であり、その統計的推論方法は従来の GARCH モデルのものとはまったく異なります。履歴データに基づいて、パラメータとを一般化QMLE法で推定できます。 ${\displaystyle ~\alpha _{1}+~\beta _{1}=1}$${\displaystyle ~\omega =0}$${\displaystyle ~\alpha _{1}}$${\displaystyle ~\beta _{1}}$

オットー、シュミット、ガートフ（2018）^[15]による空間GARCHプロセスは、時間一般化自己回帰条件付き異分散性（GARCH）モデルの空間的等価物と見なされている。時間ARCHモデルでは、過去の期間の完全な情報セットが与えられれば分布が既知であるが、空間的および時空間的な設定では、隣接する空間位置間の相互依存性のため、分布は単純ではない。空間モデルは次 のように表され、${\displaystyle ~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})}$

${\displaystyle ~\sigma (s_{i})^{2}=~\alpha _{i}+\sum _{v=1}^{n}\rho w_{iv}\epsilon (s_{v})^{2},}$

ここで、 は- 番目の空間位置を表し、 は空間重み行列の - 番目のエントリを参照し、については を参照します。空間重み行列は、どの位置が隣接しているとみなされるかを定義します。 ${\displaystyle ~s_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle ~w_{iv}}$${\displaystyle iv}$${\displaystyle w_{ii}=0}$${\displaystyle ~i=1,...,n}$

機械学習コミュニティは、別の観点から、ガウス過程回帰モデルを使用してGARCHスキームを取得することを提案しました。^[16]これにより、非パラメトリックモデリングスキームが実現され、次のことが可能になります。(i)ベイズ推論の理論に基づいて、モデルがパラメータを周辺化して推論を実行するため、過剰適合に対する高度な堅牢性。(ii)モデルの複雑さを増やさずに、高度に非線形な依存関係を捉える。^[要出典]

• Bollerslev, Tim; Russell, Jeffrey; Watson, Mark (2010 年 5 月)。「第 8 章: ARCH (GARCH) の用語集」(PDF)。ボラティリティと時系列計量経済学: Robert Engle を讃えたエッセイ(第 1 版)。オックスフォード: Oxford University Press。137 ～ 163 ページ。ISBN 9780199549498。
• Enders, W. (2004) 「ボラティリティのモデリング」応用計量経済学時系列(第 2 版) John-Wiley & Sons。pp. 108–155。ISBN 978-0-471-45173-0。
• エングル、ロバート F. (1982)。「英国インフレの分散推定値による自己回帰条件付き異分散性」。エコノメトリカ。50 (  4 ): 987–1008。doi :10.2307/1912773。JSTOR 1912773。S2CID 18673159  。 (ARCH モデルへの一般的な関心を呼び起こした論文)
• エングル、ロバート F. (1995)。ARCH : 選集。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-877432-7。
• Engle , Robert F. (2001). 「GARCH 101:応用計量経済学における ARCH/GARCH モデルの使用」。Journal of Economic Perspectives。15 (4): 157–168。doi :10.1257/jep.15.4.157。JSTOR 2696523  。 （短くて読みやすい紹介文）
• グジャラーティ、DN（2003）。基礎計量経済学。pp.856-862。
• Hacker, RS; Hatemi-J, A. (2005). 「多変量ARCH効果のテスト」.応用経済学レター. 12 (7): 411–417. doi :10.1080/13504850500092129. S2CID  218639533.
• ネルソン、 DB (1991)。「資産収益における条件付き不均一分散性：新しいアプローチ」。エコノメトリカ。59 ( 2 ): 347–370。doi :10.2307/2938260。JSTOR  2938260。