ウォルドの分解

数学、特に作用素論において、ヴォルド分解またはヴォルド・フォン・ノイマン分解は、ヘルマン・ヴォルドとジョン・フォン・ノイマンにちなんで名付けられた、与えられたヒルベルト空間上の等長線型作用素の分類定理である。これは、すべての等長変換は、一方向シフトとユニタリ作用素のコピーの直和であると述べている。

時系列解析において、定理は、すべての定常離散時間確率過程が、一方が決定論的過程、他方が移動平均過程である、相関のない過程のペアに分解できることを意味しています。

Hをヒルベルト空間、L ( H ) をH上の有界作用素、V ∈ L ( H ) を等長変換とする。ウォルド分解によれば、任意の等長変換V は次の形式をとる。

${\displaystyle V=\left(\bigoplus _{\alpha \in A}S\right)\oplus U}$

ある添字集合Aに対して、Sはヒルベルト空間H _α上の片側シフト、Uはユニタリ演算子（空でもよい）である。族 { H _α } は同型ヒルベルト空間から構成される。

証明は次のように概略できます。V を連続的に適用すると、それ自身に同型に埋め込まれた Hのコピーの降順シーケンスが得られます。

${\displaystyle H=H\supset V(H)\supset V^{2}(H)\supset \cdots =H_{0}\supset H_{1}\supset H_{2}\supset \cdots ,}$

ここで、V ( H ) はVの範囲を表す。上で定義されたH _i  =  V ⁱ ( H ) 。定義すると

${\displaystyle M_{i}=H_{i}\ominus H_{i+1}=V^{i}(H\ominus V(H))\quad {\text{for}}\quad i\geq 0\;,}$

それから

${\displaystyle H=\left(\bigoplus _{i\geq 0}M_{i}\right)\oplus \left(\bigcap _{i\geq 0}H_{i}\right)=K_{1}\oplus K_{2}.}$

K ₁とK _2がVの不変部分空間であることは明らかです。

したがって、 V ( K ₂ ) = K ₂です。言い換えると、K ₂に制限されたVは全射等長変換、つまりユニタリ演算子Uです。

さらに、各M _{i は}他のM _iと同型であり、V はM i とM _{i +1}の同型です。つまり、 VはM _iをM _{i +1}に「シフト」します。各M _iの次元が何らかの基数αであると仮定します。K _{1 は}ヒルベルト空間の直和として表すことができます 。

${\displaystyle K_{1}=\oplus H_{\alpha}}$

ここで各H _αはVの不変部分空間であり、各H _αに制限されたVは片側シフトSである。したがって

${\displaystyle V=V\vert _{K_{1}}\oplus V\vert _{K_{2}}=\left(\bigoplus _{\alpha \in A}S\right)\oplus U,}$

これはVの Wold 分解です。

ウォルド分解から、任意の適切な、つまり非ユニタリな等長変換のスペクトルは複素平面内の単位円であることがすぐに分かります。

等長変換Vが純粋であるとは、上記の証明の表記において、純粋等長変換Vの重複度がV*の核の次元、すなわちVのウォルド分解におけるインデックス集合Aの濃度である場合を言う。言い換えると、重複度Nの純粋等長変換は次のような形を取る 。${\textstyle \bigcap _{i\geq 0}H_{i}=\{0\}.}$

${\displaystyle V=\bigoplus _{1\leq \alpha \leq N}S.}$

この用語では、ウォルド分解は、等長変換を純粋な等長変換とユニタリ演算子の直和として表現します。

部分空間MがVの放浪部分空間であるとは、すべてのn  ≠  mに対してV ⁿ ( M ) ⊥  V ^m ( M )が成立する場合をいう。特に、上で定義した各M _{i は}Vの放浪部分空間である 。

上記の分解は、整数でインデックス付けされた等長変換のシーケンスに少し一般化できます。

等長写像V ∈ L ( H ) を考える。C* ( V )をVによって生成されるC* 代数、すなわちC* ( V ) はVとV*の多項式のノルム閉包であると表記する。 C* ( V )を特徴付けるためにウォルド分解を適用することができる。

C ( T ) を単位円T上の連続関数とする。一方向シフトSによって生成される C* 代数C* ( S ) は次の形になること を思い出す。

C* ( S ) = { T _f + K | T _fは連続記号f ∈ C ( T )を持つテプリッツ演算子であり、 K はコンパクト演算子です}。

この識別では、S = T _zであり、z はC ( T )の恒等関数です。代数C* ( S ) はテプリッツ代数と呼ばれます。

定理（コバーン） C*（V ）_はテプリッツ代数に同型であり、VはTzの同型像である。

証明は、テプリッツ代数の記述におけるC ( T )との関連と、ユニタリ演算子のスペクトルが円Tに含まれることにかかっています。

テプリッツ代数の以下の特性が必要になります。

1. ${\displaystyle T_{f}+T_{g}=T_{f+g}.\,}$
2. ${\displaystyle T_{f}^{*}=T_{\bar {f}}.}$
3. セミコミュテータはコンパクトです。${\displaystyle T_{f}T_{g}-T_{fg}\,}$

ウォルド分解によれば、V はT _zのコピーの直和であり、その後何らかのユニタリU になります。

${\displaystyle V=\left(\bigoplus _{\alpha \in A}T_{z}\right)\oplus U.}$

そこで連続関数計算 f → f ( U )を用いて定義する。

${\displaystyle \Phi :C^{*}(S)\rightarrow C^{*}(V)\quad {\text{by}}\quad \Phi (T_{f}+K)=\bigoplus _{\alpha \in A}(T_{f}+K)\oplus f(U).}$

ここで、 Φ がVへの片側シフトを写像する同型であることが確認できます。

上記の性質 1 により、Φ は線形です。写像 Φ は、T _{f が}任意の非ゼロf ∈ C ( T )に対してコンパクトでないため、単射です。したがって、T _f + K = 0はf = 0 を意味します。Φ の値域は C*-代数であるため、C* ( V ) の極小性により、Φ は全射です。性質 2 と連続関数計算により、Φ は *-演算を保存します。最後に、半交換子の性質により、Φ は乗法であることがわかります。したがって、定理は成り立ちます。

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