現代ポートフォリオ理論

現代ポートフォリオ理論（MPT）または平均分散分析は、特定のリスクレベルで期待収益が最大化されるように資産ポートフォリオを組み立てるための数学的枠組みです。これは、さまざまな種類の金融資産を所有する方が1種類のみを所有するよりもリスクが低いという投資における分散化の形式化と拡張です。その重要な洞察は、資産のリスクと収益はそれ自体で評価されるべきではなく、ポートフォリオ全体のリスクと収益にどのように貢献するかによって評価されるべきであるということです。収益の分散（またはその変換である標準偏差）は、資産がポートフォリオに組み合わされている場合に扱いやすいため、リスクの尺度として使用されます。 ^[1]多くの場合、収益の過去の分散と共分散は、これらの量の将来予測バージョンの代理として使用されますが、^[2]より洗練された他の方法も利用できます。^[3]

経済学者ハリー・マーコウィッツは1952年の論文でMPTを紹介し^{[1] 、後にその功績により}ノーベル経済学賞を受賞しました。マーコウィッツモデルを参照。

1940年にブルーノ・デ・フィネッティは、比例再保険の文脈で、より強い仮定の下で平均分散分析法を発表しました^{[4] 。この論文は知られておらず、2006年に英語圏の経済学者に知られるようになりました[5]。}

MPT では、投資家はリスク回避的であると想定しています。つまり、同じ期待収益を提供する 2 つのポートフォリオがある場合、投資家はリスクの低い方を好むということです。したがって、投資家は、より高い期待収益で補われる場合にのみ、リスクの増加を受け入れます。逆に、より高い期待収益を望む投資家は、より多くのリスクを受け入れなければなりません。正確なトレードオフは、すべての投資家にとって同じではありません。投資家は、個人のリスク回避特性に基づいて、トレードオフを異なって評価します。その意味は、合理的な投資家は、より好ましいリスク対期待収益プロファイルを持つ 2 番目のポートフォリオが存在する場合、つまり、そのリスク レベルに対して、より良い期待収益を持つ代替ポートフォリオが存在する場合、ポートフォリオに投資しないということです。

モデルの下で:

• ポートフォリオのリターンは、構成資産のリターンを割合で加重した組み合わせです。
• ポートフォリオのリターンのボラティリティは、すべての資産ペア ( i、j )について、構成資産の相関ρ _ijの関数です。ボラティリティは、投資に関連するリスクについての洞察を与えます。ボラティリティが高いほど、リスクも高くなります。${\displaystyle \sigma_{p}}$

一般的に：

• 期待収益:

${\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=\sum _{i}w_{i}\operatorname {E} (R_{i})\quad }$

ここで、はポートフォリオの収益、は資産iの収益、は構成資産の重み付け（つまり、ポートフォリオにおける資産「i」の割合、つまり）です。${\displaystyle R_{p}}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$

• ポートフォリオのリターンの分散:

${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}\sum _{j\neq i}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}$、

ここで、 は資産iの定期収益の（標本）標準偏差であり、は資産iとjの収益間の相関係数です。 また、この式は次のように書くこともできます。${\displaystyle \sigma_{i}}$${\displaystyle \rho_{ij}}$

${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}$、

ここで、、または${\displaystyle \rho_{ij}=1}$${\displaystyle i=j}$

${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}}$、

ここで、は 2 つの資産の定期収益の (標本) 共分散、あるいは、またはと表記されます。${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}$${\displaystyle \sigma (i,j)}$${\displaystyle {\text{cov}}_{ij}}$${\displaystyle {\text{cov}}(i,j)}$

• ポートフォリオのリターン変動率（標準偏差）:

${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\sigma _{p}^{2}}}}$

2資産ポートフォリオの場合:

• ポートフォリオの期待収益:${\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+(1-w_{A})\operatorname {E} (R_{B}).}$
• ポートフォリオの分散:${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}}$

3資産ポートフォリオの場合:

• ポートフォリオの期待収益:${\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})+w_{C}\operatorname {E} (R_{C})}$
• ポートフォリオの分散:${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+w_{C}^{2}\sigma _{C}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}+2w_{A}w_{C}\sigma _{A}\sigma _{C}\rho _{AC}+2w_{B}w_{C}\sigma _{B}\sigma _{C}\rho _{BC}}$

代数は、関係する量を行列表記で表現することで大幅に簡略化できます。^[6] N 個のリスク資産の収益をベクトルに配置します。ここで、最初の要素は最初の資産の収益、2 番目の要素は 2 番目の資産の収益、というように配置します。期待収益を列ベクトル に配置し、分散と共分散を共分散行列に配置します。N 個のリスク資産のそれぞれに対する重みが重みベクトル の対応する要素によって与えられるリスク資産のポートフォリオを検討します。 ${\displaystyle N\times 1}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle w}$

• ポートフォリオの期待収益: ${\displaystyle w'\mu }$

そして

• ポートフォリオの分散:${\displaystyle w'\Sigma w}$

リスクのない資産に収益 の投資がある場合、重みベクトルの重みの合計は 1 にならず、ポートフォリオの期待収益は になります。ポートフォリオ分散の式は変わりません。 ${\displaystyle R_{f}}$${\displaystyle w'\mu +(1-w'1)R_{f}}$

投資家は、完全に正の相関関係にない金融商品の組み合わせを保有するだけで、ポートフォリオのリスク（特に）を軽減できます（相関係数）。言い換えれば、投資家は分散された資産ポートフォリオを保有することで、個々の資産リスクへのエクスポージャーを軽減できます。分散化により、リスクを軽減しながら同じポートフォリオの期待収益を実現できます。最適な投資ポートフォリオを構築するための平均分散フレームワークは、最初にマーコウィッツによって提唱され、その後、他の経済学者や数学者によって強化および改善され、フレームワークの限界が説明されました。 ${\displaystyle \sigma _{p}}$ ${\displaystyle -1\leq \rho _{ij}<1}$

すべての資産ペアの相関が 0 の場合 (完全に無相関)、ポートフォリオのリターン分散は、資産に保有されている割合の 2 乗に資産のリターン分散を掛けたものをすべての資産にわたって合計したものになります (ポートフォリオの標準偏差はこの合計の平方根です)。

すべての資産ペアの相関が 1 の場合 (完全に正の相関関係にある場合)、ポートフォリオのリターンの標準偏差は、ポートフォリオに保持されている割合で加重された資産リターンの標準偏差の合計になります。特定のポートフォリオの加重と特定の資産リターンの標準偏差では、すべての相関が 1 の場合に、ポートフォリオ リターンの標準偏差が最大になります。

MPT は平均分散理論であり、ポートフォリオの期待収益率 (平均) を同じポートフォリオの標準偏差と比較します。図では、縦軸に期待収益率、横軸に標準偏差 (ボラティリティ) が示されています。ボラティリティは標準偏差で表され、リスクの尺度として機能します。^[7]収益率 - 標準偏差空間は、「期待収益率対リスク」空間と呼ばれることもあります。リスク資産のあらゆる可能な組み合わせは、このリスク期待収益率空間にプロットでき、このようなすべての可能なポートフォリオの集合がこの空間内の領域を定義します。この領域の左境界は双曲線で、^[8]双曲線境界の上部は、リスクのない資産がない場合の有効フロンティアです(「マルコウィッツ弾」と呼ばれることもあります)。この上端に沿った組み合わせは、特定のレベルの期待収益に対してリスクが最も低いポートフォリオ (リスクのない資産を保有していないものを含む) を表します。同様に、効率的フロンティア上にあるポートフォリオは、与えられたリスク レベルに対して可能な限り最高の期待収益を提供する組み合わせを表します。双曲線境界の上部の接線は、資本配分ライン (CAL) です。

効率的フロンティアの計算には 行列が適しています。

行列形式では、与えられた「リスク許容度」に対して、効率的フロンティアは次の式を最小化することによって求められます。 ${\displaystyle q\in [0,\infty )}$

${\displaystyle w^{T}\Sigma w-qR^{T}w}$

どこ

• ${\displaystyle w\in \mathbb {R} ^{N}}$ポートフォリオのウェイトのベクトルです（ウェイトは負の値になることもあります）。${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=1.}$
• ${\displaystyle \Sigma \in \mathbb {R} ^{N\times N}}$ポートフォリオ内の資産の収益の共分散行列です。
• ${\displaystyle q\geq 0}$は「リスク許容度」係数であり、0 の場合はポートフォリオのリスクが最小になり、0 の場合はポートフォリオが限界まで遠くまで広がり、期待収益とリスクが無制限になります。${\displaystyle \infty }$
• ${\displaystyle R\in \mathbb {R} ^{N}}$期待収益のベクトルです。
• ${\displaystyle w^{T}\Sigma w\in \mathbb {R} }$ポートフォリオのリターンの分散です。
• ${\displaystyle R^{T}w\in \mathbb {R} }$ポートフォリオの期待収益率です。

上記の最適化では、標準偏差の代わりにポートフォリオのリターン分散を水平にプロットした場合に、フロンティアの傾きの逆数がqとなるフロンティア上の点を見つけます。フロンティア全体がqに対してパラメトリックです。

ハリー・マーコウィッツは、上記の問題を解決するための特定の手順を開発しました。これは、クリティカルラインアルゴリズムと呼ばれるもので、^[9]追加の線形制約、資産の上限と下限を処理でき、半正定値共分散行列で機能することが証明されています。クリティカルラインアルゴリズムの実装例は、Visual Basic for Applications、^{[10] 、} JavaScript ^[11]、およびその他のいくつかの言語に存在します。

また、MATLAB、Microsoft Excel、Mathematica、Rなどの多くのソフトウェア パッケージでは、汎用の最適化ルーチンが提供されているため、これらを使用して上記の問題を解決することも可能ですが、潜在的な注意点 (数値精度が低い、共分散行列の正定値性が必要であるなど) があります。

効率的フロンティアを特定する別の方法は、期待ポートフォリオリターンをパラメータとして特定することです。 この問題のバージョンでは、 ${\displaystyle R^{T}w.}$

${\displaystyle w^{T}\Sigma w}$

対象となる

${\displaystyle R^{T}w=\mu }$

そして

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=1}$

パラメータ の場合。この問題はラグランジュ乗数を使用して簡単に解くことができ、次の線形連立方程式が得られます。 ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\Sigma &-R&-{\bf {1}}\\R^{T}&0&0\\{\bf {1}}^{T}&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\\mu \\1\end{bmatrix}}}$

上記の分析の重要な結果の 1 つは、2 つの投資信託定理です。^{[12] [13]} この定理は、効率的フロンティア上の任意のポートフォリオは、フロンティア上の任意の 2 つのポートフォリオの組み合わせを保有することで生成できると述べています。後者の 2 つのポートフォリオは、定理の名前にある「投資信託」です。したがって、リスクのない資産がない場合、投資家は、アクセス可能なのが効率的な投資信託のペアだけであっても、任意の効率的なポートフォリオを実現できます。フロンティア上の目的のポートフォリオの位置が 2 つの投資信託の位置の間にある場合、両方の投資信託は正の数量で保有されます。目的のポートフォリオが 2 つの投資信託の範囲外にある場合、一方の投資信託を空売り (負の数量で保有) する必要があり、もう一方の投資信託への投資額は、投資に利用可能な金額よりも大きくする必要があります (超過分は、もう一方のファンドからの借入によって賄われます)。

無リスク資産とは、無リスク金利を支払う（仮想の）資産である。実際には、短期政府証券（米国財務省証券など）は固定金利を支払い、デフォルトリスクが非常に低いため、無リスク資産として使用される。無リスク資産は、満期まで保有した場合、収益の分散はゼロ（したがってリスクフリー）であり、他の資産とも相関がない（定義上、分散がゼロであるため）。その結果、他の資産または資産ポートフォリオと組み合わせると、組み合わせの割合が変わっても、収益の変化はリスクの変化に比例する。

無リスク資産が導入されると、図に示されている半直線が新しい有効フロンティアになります。これは、最も高いシャープレシオを持つ純粋なリスクポートフォリオで双曲線に接します。その垂直切片は、無リスク資産の保有率が 100% のポートフォリオを表します。双曲線との接線は、無リスク資産を保有せず、ポートフォリオに保有されている資産の 100% が接点で発生するポートフォリオを表します。これらの点の間の点は、リスクのある接点ポートフォリオと無リスク資産の両方が正の金額であるポートフォリオです。接点を超えた半直線上の点は、無リスク資産の保有率が負で、接点ポートフォリオに投資された金額が投資家の初期資本の 100% を超えるポートフォリオです。この有効半直線は資本配分線(CAL) と呼ばれ、その式は次のように示されます。

${\displaystyle E(R_{C})=R_{F}+\sigma _{C}{\frac {E(R_{P})-R_{F}}{\sigma _{P}}}.}$

この式では、Pはマーコウィッツの弾丸と接するリスク資産のサブポートフォリオ、Fはリスクフリー資産、C はポートフォリオPとFの組み合わせです。

この図から、無リスク資産をポートフォリオの可能な構成要素として導入することで、利用可能なリスクと期待収益の組み合わせの範囲が広がったことがわかります。これは、接線ポートフォリオを除くすべての場所で、半直線は、あらゆるリスクレベルで双曲線よりも高い期待収益率をもたらすためです。線形効率軌跡上のすべての点が、無リスク資産と接線ポートフォリオの保有の組み合わせによって達成できるという事実は、1つの投資信託定理として知られています。 ^[12]ここで言及されている投資信託は、接線ポートフォリオです。

効率的フロンティアは、二次曲線の問題として描くことができます。^[12]市場には、資産 があります。いくつかのファンドがあり、ポートフォリオはファンドを資産に分割する方法です。各ポートフォリオは、 となるベクトル として表すことができ、 に従って資産を保有します。 ${\displaystyle R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}}$${\displaystyle w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}}$${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$${\displaystyle w^{T}R=\sum _{i}w_{i}R_{i}}$

期待収益を最大化しつつ収益の標準偏差を最小化したいので、二次最適化問題を解くことになります。ポートフォリオはユークリッド空間 内の点です。3 番目の方程式は、ポートフォリオが によって定義される平面上にあることを示しています。最初の方程式は、ポートフォリオが によって定義される平面上にあることを示しています。2 番目の条件は、ポートフォリオが の等高線面上にあり、それが可能な限り原点に近い必要があることを示しています。方程式は二次方程式なので、このような等高線面はそれぞれ楕円体です (共分散行列が可逆であると仮定)。したがって、平面 上に楕円体の等高線を描き、等高線を平面 と交差させることで、二次最適化をグラフィカルに解くことができます。楕円体の等高線が縮小するにつれて、等高線が平面から完全に離れる前に、最終的にそれらの 1 つが平面に正確に接するようになります。接点は、このレベルの期待収益における最適なポートフォリオです。 $${\displaystyle {\begin{cases}E[w^{T}R]=\mu \\\min \sigma ^{2}=Var[w^{T}R]\\\sum _{i}w_{i}=1\end{cases}}}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$${\displaystyle w^{T}E[R]=\mu }$${\displaystyle \sum _{ij}w_{i}\rho _{ij}w_{j}}$${\displaystyle \rho _{ij}}$${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$${\displaystyle \{w:w^{T}E[R]=\mu {\text{ and }}\sum _{i}w_{i}=1\}}$

を変化させると、接点も変化しますが、常に単一の直線上に落ちます (これが2 つの投資信託の定理です)。 ${\displaystyle \mu }$

直線を としてパラメータ化します。直線に沿って が見つかり、平面に双曲線が描かれます。双曲線には、軸に対して対称な 2 つの枝があります。ただし、意味があるのは の枝だけです。対称性により、双曲線の 2 つの漸近線は軸上の点で交差します。点は双曲線の左端の点の高さであり、グローバル最小分散ポートフォリオ(グローバル MVP) の期待収益として解釈できます。 ${\displaystyle \{w+w't:t\in \mathbb {R} \}}$$${\displaystyle {\begin{cases}\mu &=(w'^{T}E[R])t+w^{T}E[R]\\\sigma ^{2}&=(w'^{T}\rho w')t^{2}+2(w^{T}\rho w')t+(w^{T}\rho w)\end{cases}}}$$${\displaystyle (\sigma ,\mu )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle \mu _{MVP}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu _{mid}}$

接線ポートフォリオは、次の場合にのみ存在します。 ${\displaystyle \mu _{RF}<\mu _{MVP}}$

特に、リスクフリーリターンが 以上の場合には、接線ポートフォリオは存在しません。資本市場ライン（CML）は、双曲線の上部漸近線と平行になります。CML上の点は、下から 近づくことはできますが、到達不可能になります。${\displaystyle \mu _{MVP}}$

通常、接線ポートフォリオが存在するためには、リスクフリーリターンがグローバルMVPのリターンよりも低いと想定されます。ただし、この場合でも、下から近づくにつれて、接線ポートフォリオは無限のリターンと分散を持つポートフォリオに発散します。市場には有限の資産しかないため、このようなポートフォリオでは、一部の資産を大幅にショートし、他の一部の資産を大幅にロングする必要があります。実際には、空売り制約により資産をショートしすぎることはできないため、また価格の影響により、つまり、大量の資産をロングすると価格が上昇し、資産価格がポートフォリオに依存しないという仮定が崩れるため、このような接線ポートフォリオを実現することは不可能です。 ${\displaystyle \mu _{RF}}$${\displaystyle \mu _{MVP}}$

共分散行列が逆行列でない場合は、ゼロ以外のベクトルが存在し、これは分散がゼロのランダム変数です。つまり、まったくランダムではありません。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle v^{T}R}$

と であると仮定すると、資産の 1 つは、他の資産を使用して同じ価格と同じ収益で正確に複製できることを意味します。したがって、その資産を購入する理由はまったくなく、市場から削除できます。 ${\displaystyle \sum _{i}v_{i}=0}$${\displaystyle v^{T}R=0}$

と を仮定すると、裁定取引がないという仮定が崩れ、自由なお金が存在することになります。 ${\displaystyle \sum _{i}v_{i}=0}$${\displaystyle v^{T}R\neq 0}$

と仮定すると、ベクトルを にスケールできます。これは、収益 を持つリスクフリー資産を構築したことを意味します。このような資産を市場から削除して、削除された資産ごとに 1 つのリスクフリー資産を構築できます。裁定取引がないという仮定により、すべての収益率は等しくなります。市場に残っている資産については、共分散行列は逆行列です。 ${\displaystyle \sum _{i}v_{i}\neq 0}$${\displaystyle \sum _{i}v_{i}=1}$${\displaystyle v^{T}R}$

上記の分析は、個々の投資家の最適な行動を説明しています。資産価格理論はこの分析に基づいており、MPT はこのコンテキストで適正価格の資産に必要な期待収益を導き出すことができます。

直感的に（合理的な投資家がいる完全な市場では）、ある証券が他の証券に比べて高価である場合、つまり価格に対してリスクが大きすぎる場合、需要は低下し、それに応じて価格も下がります。一方、安ければ、需要と価格は同様に上昇します。これは、このような調整がすべて停止するまで続きます。つまり、「市場均衡」の状態です。この均衡では、相対的な供給は相対的な需要に等しくなります。価格と供給および需要の関係を考えると、リスク対報酬比率はすべての証券で「同一」であるため、完全に分散されたポートフォリオ内の各証券の割合は、市場全体と同じになります。

より正式には、誰もがリスク資産を互いに同一の割合で保有しているため、つまり接線ポートフォリオによって与えられた割合で保有しているため、市場均衡ではリスク資産の価格、したがって期待収益は、接線ポートフォリオの比率がリスク資産が市場に供給される比率と同じになるように調整されます。^[14] すると、期待収益は以下のようになります。

固有リスクは、個々の資産に関連するリスクです。ポートフォリオ内では、これらのリスクは分散化によって軽減できます (固有リスクは「相殺」されます)。固有リスクは、分散可能リスク、固有リスク、非体系的リスク、または特異リスクとも呼ばれます。体系的リスク(別名、ポートフォリオ リスクまたは市場リスク) は、すべての証券に共通するリスクを指します。以下で説明する空売りを除き、体系的リスクは分散化によって排除できません (1 つの市場内)。市場ポートフォリオ内では、資産固有のリスクは可能な限り分散化されます。したがって、体系的リスクは、市場ポートフォリオのリスク (標準偏差) と同等です。

証券は、市場ポートフォリオのリスク期待収益特性を改善する場合にのみ購入されるため、証券のリスクの適切な尺度は、証券が市場ポートフォリオに追加するリスクであり、証券のリスク単独ではありません。この文脈では、資産のボラティリティと市場ポートフォリオとの相関は、歴史的に観察されているため、与えられています。（資産価格設定には、資産の収益の瞬間の確率的特性をモデル化して資産の価格設定を試みるいくつかのアプローチがあります。これらは、条件付き資産価格設定モデルと広く呼ばれています。）

1 つの市場内のシステマティック リスクは、1 つのポートフォリオ内でロング ポジションとショート ポジションの両方を使用する戦略を通じて管理でき、「市場中立」ポートフォリオを作成します。したがって、市場中立ポートフォリオは、より広範な市場指数と相関しません。

資産の収益は、その資産に今日支払われる金額によって決まります。支払われる価格は、資産が市場ポートフォリオに追加されるときに、そのリスク/収益特性が向上することを保証する必要があります。CAPM は、投資家が利用できるリスクフリー レートと市場全体のリスクを前提として、市場における資産の理論的な必要期待収益 (つまり割引率) を導き出すモデルです。CAPM は通常、次のように表されます。

${\displaystyle \operatorname {E} (R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})}$

• β (ベータ) は、市場全体の動きに対する資産の感度の尺度です。ベータは通常、履歴データの回帰によって求められます。ベータが 1 を超えると、ポートフォリオ全体のリスクに対する資産の寄与という意味で、平均以上の「リスク」を意味します。ベータが 1 を下回ると、リスクの寄与が平均より低いことを意味します。
• ${\displaystyle (\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})}$市場プレミアム、つまり市場ポートフォリオの期待収益から無リスク金利を差し引いた期待超過収益です。

導出 ^[14]は 次のようになる。

（１）市場ポートフォリオmに追加のリスク資産aを加えた場合のリスクと期待収益への増分影響は、2資産ポートフォリオの公式から導かれる。これらの結果は、資産に適した割引率を導くために使用される。

• 更新されたポートフォリオリスク =${\displaystyle (w_{m}^{2}\sigma _{m}^{2}+[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}])}$

したがって、ポートフォリオに追加されるリスク = ${\displaystyle [w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]}$

しかし、資産のウェイトは市場全体に比べて非常に低いため、${\displaystyle w_{a}^{2}\approx 0}$

つまり、追加のリスク =${\displaystyle [2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]\quad }$

• 更新された期待収益 =${\displaystyle (w_{m}\operatorname {E} (R_{m})+[w_{a}\operatorname {E} (R_{a})])}$

したがって、追加の期待収益 =${\displaystyle [w_{a}\operatorname {E} (R_{a})]}$

（２）資産aが適正な価格設定をされていれば、それを市場ポートフォリオmに加えることによって投資家のリスク対期待収益率の改善は、少なくとも（均衡状態では、ちょうど）市場ポートフォリオへの投資額増加にその資金を費やすことで得られる利益に匹敵する。投資家はリスクフリーレートで借り入れた資金で資産を購入すると仮定する。これは、 であれば合理的である。 ${\displaystyle R_{f}}$${\displaystyle \operatorname {E} (R_{a})>R_{f}}$

したがって：${\displaystyle [w_{a}(\operatorname {E} (R_{a})-R_{f})]/[2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]=[w_{a}(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})]/[2w_{m}w_{a}\sigma _{m}\sigma _{m}]}$

例:${\displaystyle [\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]/[\sigma _{m}\sigma _{m}]}$

例: (以来)${\displaystyle [\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]}$ ${\displaystyle \rho _{XY}=\sigma _{XY}/(\sigma _{X}\sigma _{Y})}$

${\displaystyle [\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]\quad }$前述の「ベータ」リターンは、資産のリターンと市場のリターンの共分散を市場リターンの分散で割ったもの、つまり、市場ポートフォリオの価値の変動に対する資産価格の感度です（ベータ（金融）§ 市場ポートフォリオへの資産の追加も参照）。${\displaystyle \beta }$

この式は、次の回帰式を使用して統計的に推定できます。

${\displaystyle \mathrm {SCL} :R_{i,t}-R_{f}=\alpha _{i}+\beta _{i}\,(R_{M,t}-R_{f})+\epsilon _{i,t}{\frac {}{}}}$

ここで、α _iは資産のアルファ係数、β _iは資産のベータ係数、SCLはセキュリティ特性線と呼ばれます。

CAPM を使用して資産の期待収益率が計算されると、この割引率を使用して資産の将来のキャッシュフローを現在価値に割り引くことで、資産の適正価格を決定できます。リスクの高い株式はベータ値が高くなり、割引率も高くなります。リスクの低い株式はベータ値が低くなり、割引率も低くなります。理論上、資産の実測価格が CAPM から導出された割引率を使用して計算された価値と同じである場合、資産の適正価格は算出されます。実測価格が評価額よりも高い場合、資産は過大評価されています。一方、価格が低すぎる場合、資産は過小評価されています。 ${\displaystyle E(R_{i})}$

MPTの理論的重要性にもかかわらず、MPTの批評家は、金融市場のモデルが多くの点で現実世界と一致していないため、それが理想的な投資ツールであるかどうか疑問視しています。^{[15] [2]}

MPTが使用するリスク、リターン、相関の指標は期待値に基づいており、これは将来についての統計的記述であることを意味します（リターンの期待値は上記の式で明示的に示され、分散と共分散の定義では暗黙的に示されています）。このような指標は、多くの場合、非常に歪んだ分布（例：対数正規分布）に従うリスクとリターンの真の統計的特徴を捉えることができず、ボラティリティの低下に加えて、リターンの過大な成長も引き起こす可能性があります。^[16]実際には、投資家は、式内のこれらの値を、資産のリターンとボラティリティの過去の測定値に基づく予測に置き換えなければなりません。このような期待値は、過去のデータが生成されたときには存在しなかった新しい状況を考慮に入れていないことが非常に多くあります。^[17]不変性を利用するという点でマルコウィッツ最適化とは異なる、トレンドを捉える最適なアプローチも物理学から導き出されます。相関行列の逆を使用して正規化された期待値を変換する代わりに、不変ポートフォリオは相関行列の平方根の逆を使用します。^[18]最適化問題は、期待値が不確実で相関しているという仮定の下で解かれる。^[19]マルコウィッツ解は、期待収益間の相関が収益間の相関に類似している場合にのみ対応する。

さらに根本的な問題として、MPT は損失の可能性という観点からリスクをモデル化しようとしますが、なぜ損失が発生する可能性があるかについては何も言及していないため、投資家は過去の市場データから主要なパラメータを推定するしかありません。使用されるリスク測定は、構造的ではなく、確率的な性質を持っています。これは、リスク管理に対する多くの工学的アプローチと比較した場合の大きな違いです。

オプション理論とMPTには、原子力発電所で行われる確率的リスク評価とは少なくとも1つの重要な概念的違いがあります。PRAは、経済学者が構造モデルと呼ぶものです。システムのコンポーネントとそれらの関係は、モンテカルロシミュレーションでモデル化されます。バルブXが故障すると、ポンプYの背圧が失われ、容器Zへの流量が低下します。

しかし、ブラック・ショールズ方程式とMPTでは、価格変動の根本的な構造を説明しようとはしていない。さまざまな結果が単に確率として与えられているだけである。また、PRAとは異なり、流動性危機のような特定のシステムレベルのイベントの履歴がなければ、その確率を計算する方法がない。原子力技術者がこのようにリスク管理を実行した場合、同じ原子炉設計で同様のイベントが数回発生するまで、特定のプラントでのメルトダウンの確率を計算することは決してできないだろう。

— ダグラス・W・ハバード『リスクマネジメントの失敗』p.67、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、2009年。ISBN 978-0-470-38795-5 

数学的なリスク測定も、投資家の真の懸念を反映する程度にしか役に立ちません。実際には誰も気にしない変数を最小化しても意味がありません。特に、分散は、異常に高い収益を異常に低い収益と同程度にリスクがあると見なす対称的な測定です。損失回避という心理現象は、投資家は利益よりも損失を懸念するという考えであり、リスクに関する私たちの直感的な概念は本質的に非対称であることを意味します。他の多くのリスク測定（一貫性のあるリスク測定など）の方が、投資家の真の好みをよりよく反映する可能性があります。

現代ポートフォリオ理論は、収益がガウス分布に 従うと仮定していることからも批判されてきた。1960年代にはすでに、ブノワ・マンデルブロとユージン・ファーマがこの仮定の不十分さを示し、代わりにより一般的な安定分布の使用を提案していた。ステファン・ミトニックとスヴェトロザール・ラチェフは、そのような設定で最適なポートフォリオを導き出す戦略を提示した。^{[20] [21] [22]}最近では、ナシム・ニコラス・タレブもこの点で現代ポートフォリオ理論を批判し、次のように書いている。

株式市場の暴落（1987年）の後、ノーベル委員会は、ガウス分布を基礎に美しくプラトン的なモデルを構築し、いわゆる現代ポートフォリオ理論に貢献した2人の理論家、ハリー・マーコウィッツとウィリアム・シャープに賞を与えた。簡単に言えば、彼らのガウス分布の仮定を取り除き、価格をスケーラブルなものとして扱えば、残るのは空論だけである。ノーベル委員会は、シャープとマーコウィッツのモデルをテストすることもできたはずだ。それらはインターネットで売られているインチキ治療薬のように機能する。しかし、ストックホルムでは誰もそれを考えなかったようだ。

— ナシム・N・タレブ『ブラック・スワン：あり得ない出来事の衝撃』p. 277、ランダムハウス、2007年。ISBN 978-1-4000-6351-2 

逆張り投資家やバリュー投資家は、一般的に現代ポートフォリオ理論に賛同していない。^[23]一つの反論は、MPT が効率的市場仮説に依存し、リスクの代わりとして株価の変動を利用しているというものである。ジョン・テンプルトン卿は、分散化の概念を信じていたが、MPT の理論的根拠には疑問を感じており、（伝記作家の記述によれば）「歴史的ボラティリティなどの信頼性が低く無関係な統計的入力に基づいてポートフォリオを構築するという考えは、失敗する運命にある」と結論付けた。^[24]

いくつかの研究では、利用可能な投資オプション間で資本を均等に分割する「ナイーブな分散投資」は、状況によってはMPTよりも有利になる可能性があると主張している。^[25]

特定の資産群に適用する場合、マルコウィッツモデルは、例えば相関性の高い資産群の間でモデルの不安定性が発生する可能性があるため、学者によって不十分であると特定されている。^[26]

1952 年に MPT が導入されて以来、特により現実的な仮定を使用してモデルを改良する多くの試みがなされてきました。

ポストモダン・ポートフォリオ理論は、非正規分布、非対称、ファットテール型のリスク尺度を採用することでMPTを拡張します。^[27]これはいくつかの問題には役立ちますが、他の問題には役立ちません。

ブラック・リッターマン モデル最適化は、リスクとリターンの入力に対する相対的および絶対的な「ビュー」を組み込んだ制約のないマルコウィッツ最適化の拡張です。

このモデルは、期待収益が不確実であると仮定することで拡張され、この場合の相関行列は収益間の相関行列と異なる可能性がある。^{[18] [19]}

現代ポートフォリオ理論は合理的選択理論の主な公理、最も顕著なのは単調性公理と矛盾しており、ポートフォリオXへの投資がポートフォリオYへの投資よりも確率 1 で多くの収益をもたらす場合、合理的な投資家はYよりもX を選ぶべきであると述べている。対照的に、現代ポートフォリオ理論は、分散回避^{[28]と呼ばれる別の公理に基づいており、分散が低いという理由で}Y への投資を推奨する場合があります。Maccheroni ら^{[29] は、}単調性公理を満たしながら現代ポートフォリオ理論に最も近い選択理論を説明しました。一方、平均偏差分析^{[30]は、分散を適切な}偏差リスク尺度 に置き換えた合理的選択理論です。

1970年代には、MPTの概念が地域科学の分野に取り入れられました。マイケル・コンロイ^[要出典]は、一連の独創的な研究で、ポートフォリオ理論的手法を使用して経済における労働力をモデル化し、労働力の成長と変動性を調べました。これに続いて、経済成長と変動性の関係に関する長い文献が続きました。^[31]

最近では、現代ポートフォリオ理論が社会心理学における自己概念のモデル化に使用されています。自己概念を構成する自己属性が十分に分散されたポートフォリオを構成する場合、気分や自尊心などの個人レベルの心理的結果は、自己概念が分散されていない場合よりも安定するはずです。この予測は、人間を対象とした研究で確認されています。^[32]

最近、現代ポートフォリオ理論は、情報検索における文書間の不確実性と相関関係のモデル化に応用されている。クエリが与えられた場合、その目的は、ランク付けされた文書リストの全体的な関連性を最大化すると同時に、ランク付けされたリストの全体的な不確実性を最小化することである。^[33]

一部の専門家は、金融商品以外のプロジェクトやその他の資産のポートフォリオにMPTを適用しています。^{[34] [35]} MPTを従来の金融ポートフォリオ以外に適用する場合は、異なるタイプのポートフォリオ間のいくつかの違いを考慮する必要があります。

1. 金融ポートフォリオの資産は、実用上、連続的に分割可能ですが、プロジェクトのポートフォリオは「不均一」です。たとえば、3 つの株式の最適なポートフォリオ ポジションは、たとえば 44%、35%、21% であると計算できますが、プロジェクト ポートフォリオの最適なポジションでは、プロジェクトに費やされる金額を単純に変更できない場合があります。プロジェクトは、すべてかゼロか、少なくとも分離できない論理単位である可能性があります。ポートフォリオ最適化方法では、プロジェクトの離散的な性質を考慮する必要があります。
2. 金融ポートフォリオの資産は流動性があり、いつでも評価または再評価できます。ただし、新しいプロジェクトを開始する機会は限られており、限られた時間内に発生する可能性があります。すでに開始されているプロジェクトは、埋没コストを失うことなく中止することはできません(つまり、半分完了したプロジェクトの回収/残存価値はほとんどないか、まったくありません)。

どちらも、必ずしも MPT やそのようなポートフォリオの使用の可能性を排除するものではありません。これらは単に、金融ポートフォリオには通常適用されない、数学的に表現された制約の追加セットを使用して最適化を実行する必要があることを示しているだけです。

さらに、現代ポートフォリオ理論の最も単純な要素のいくつかは、事実上あらゆる種類のポートフォリオに適用できます。特定のリターンに対してどの程度のリスクが許容できるかを文書化することで投資家のリスク許容度を把握するという概念は、さまざまな意思決定分析問題に適用できます。MPT はリスクの尺度として過去の差異を使用しますが、主要プロジェクトなどの資産ポートフォリオには明確に定義された「過去の差異」がありません。この場合、MPT の投資境界は、「ROI が資本コストを下回る可能性」や「投資の半分以上を失う可能性」など、より一般的な言葉で表現できます。リスクを予測の不確実性と起こり得る損失の観点から表現すると、この概念はさまざまなタイプの投資に転用できます。^[34]

• ファイナンスの概要 § ポートフォリオ理論
• ベータ（金融）
• バイアス比率（金融）
• ブラック・リッターマンモデル
• 金融リスク管理 § 投資管理
• 異時点間のポートフォリオ選択
• 投資理論
• ケリー基準
• 限界条件付き確率優位性
• マーコウィッツモデル
• 投資信託の分離定理
• オメガ比
• ポストモダンポートフォリオ理論
• ソルティーノ比
• トレイナー比
• 2つの瞬間の意思決定モデル
• ユニバーサルポートフォリオアルゴリズム

• リントナー、ジョン（1965年）。「リスク資産の評価と株式ポートフォリオおよび資本予算におけるリスクのある投資の選択」。経済統計レビュー。47 （ 1）：13–39。doi ：10.2307/1924119。JSTOR  1924119。
• シャープ、ウィリアム F. (1964)。「資本資産価格: リスク条件下での市場均衡の理論」。 ジャーナルオブ ファイナンス。19 (3​​): 425–442。doi : 10.2307 /2977928。hdl : 10.1111 /j.1540-6261.1964.tb02865.x。JSTOR 2977928。
• トビン、ジェームズ (1958)。「リスクに対する行動としての流動性選好」( PDF)。経済研究レビュー。25 (2): 65–86。doi :10.2307/2296205。JSTOR  2296205。

ウィキメディア・コモンズには、ポートフォリオ理論に関連するメディアがあります。

• マクロ投資分析、ウィリアム・F・シャープ教授、スタンフォード大学
• ポートフォリオ最適化、スティーブン・P・ボイド教授、スタンフォード大学
• 「ポートフォリオ最適化への新たなアプローチ：ベルカーブとの決別」 — スヴェトロザール・ラチェフ教授とステファン・ミトニック教授へのインタビュー
• 「ブルーノ・デ・フィネッティと平均分散ポートフォリオ選択」ブルーノ・デ・フィネッティの発見とマーコウィッツのコメントに関するマーク・ルビンスタインによる記事。