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数学において、不動点定理とは、関数 Fが、一般的に述べることができるFのいくつかの条件の下で、少なくとも1つの不動点（ F ( x )= xとなる点x）を持つという定理である。 [1]
数学的分析では
バナッハの不動点定理（1922）は、それが満たされる場合、関数を反復する手順によって不動点が生成されることを保証する一般的な基準を与えます。 [2]
対照的に、ブラウワーの不動点定理（1911）は非構成的な結果である。これは、n次元ユークリッド空間内の閉じた単位球からそれ自身への任意の連続関数は必ず不動点を持つということを述べているが、[3]不動点を見つける方法については述べていない（スペルナーの補題も参照）。
たとえば、余弦関数は [−1, 1] で連続しており、[−1, 1] に写像されるため、必ず不動点があります。これは、余弦関数のスケッチされたグラフを調べると明らかです。不動点は、余弦曲線y = cos( x ) が直線y = xと交差する場所に発生します。数値的には、不動点 (ドッティ数と呼ばれる) はおよそx = 0.73908513321516 です (したがって、このxの値ではx = cos( x ) です)。
代数位相学におけるレフシェッツの不動点定理[4]（およびニールセンの不動点定理）[5]は、ある意味では不動点を数える方法を与えるという点で注目に値する。
バナッハの不動点定理には多くの一般化があり、それらは偏微分方程式理論に適用されます。無限次元空間における不動点定理を参照してください。
フラクタル圧縮におけるコラージュ定理は、多くの画像に対して、任意の開始画像に繰り返し適用すると、目的の画像に急速に収束する関数の比較的小さな記述が存在することを証明しています。[6]
代数学と離散数学において
クナスター・タルスキ定理は、完全格子上の任意の順序保存関数には不動点があり、最小の不動点が存在することを述べています。 [7]ブルバキ・ウィット定理も参照してください。
この定理は、静的プログラム解析の一種である抽象解釈に応用されます。
ラムダ計算の共通のテーマは、与えられたラムダ式の固定点を見つけることです。すべてのラムダ式には固定点があり、固定点コンビネータはラムダ式を入力として受け取り、その式の固定点を出力する「関数」です。[8]重要な固定点コンビネータは、再帰定義を行うために使用されるYコンビネータです。
プログラミング言語の表示的意味論では、クナスター・タルスキー定理の特殊なケースを使用して、再帰定義の意味論を確立します。不動点定理は「同じ」関数に適用されますが (論理的な観点から)、理論の展開はまったく異なります。
計算可能性理論では、クリーネの再帰定理を適用することで、再帰関数の同じ定義を与えることができます。[9]これらの結果は同等の定理ではありません。クナスター-タルスキーの定理は、表示的意味論で使用されるものよりもはるかに強力な結果です。[10]しかし、チャーチ-チューリングのテーゼに照らして、それらの直感的な意味は同じです。再帰関数は、関数を関数にマッピングする、特定の関数の最小の不動点として記述できます。
関数を反復して不動点を見つける上記の手法は、集合論でも使用できます。正規関数の不動点補題は、順序数から順序数への連続した厳密に増加する関数には、1 つの (実際には複数の) 不動点があることを述べています。
poset上のすべての閉包演算子には多くの固定点があります。これらは閉包演算子に関する「閉じた要素」であり、そもそも閉包演算子が定義された主な理由です。
奇数の要素を持つ有限集合上の反転はすべて不動点を持つ。より一般的には、有限集合上のすべての反転について、要素の数と不動点の数は等しい偶奇性を持つ。ドン・ザギエはこれらの観察結果を利用して、同じ整数の3つ組の集合上の2つの反転を説明することで、2つの平方数の和に関するフェルマーの定理を1文で証明した。そのうちの1つは不動点を1つだけ持つことが簡単に示せ、もう1つは与えられた素数（1 mod 4に合同）を2つの平方数の和として表現するたびに不動点を持つ。最初の反転には奇数の不動点があるため、2番目にも奇数の不動点があり、したがって常に目的の形式の表現が存在する。[11]
不動点定理の一覧
- アティヤ・ボット不動点定理
- バナッハの不動点定理
- ベキッチの定理
- ボレルの不動点定理
- ブルバキ・ウィットの定理
- ブラウダー不動点定理
- ブラウワー不動点定理
- ローテの不動点定理
- カリスティ不動点定理
- 対角補題（不動点補題とも呼ばれる）は、一階述語論理の自己参照文を生成するための補題である。
- ローヴェアの不動点定理
- 離散不動点定理
- アール・ハミルトン不動点定理
- 固定小数点コンビネータは、型なしラムダ計算のすべての項が固定小数点を持つことを示しています。
- 正規関数の不動点補題
- 固定小数点プロパティ
- 無限次元空間における不動点定理
- 単射距離空間
- 角谷不動点定理
- クリーネの不動点定理
- クナスター・タルスキー定理
- レフシェッツの不動点定理
- ニールセンの不動点定理
- ポアンカレ・バーコフの定理は2つの不動点の存在を証明する
- リル・ナルジェフスキー不動点定理
- シャウダー不動点定理
- 位相次数理論
- チコノフの不動点定理
参照
脚注
- ^ Brown, RF 編 (1988)。不動点理論とその応用。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-5080-6。
- ^ Giles, John R. (1987).距離空間の分析入門. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-35928-3。
- ^ Eberhard Zeidler、「応用機能分析：主な原理とその応用」、Springer、1995年。
- ^ Solomon Lefschetz (1937). 「不動点公式について」. Ann. of Math. 38 (4): 819–822. doi :10.2307/1968838.
- ^ ヴェルナー、フェンケル;ニールセン、ヤコブ(2003)。シュミット、アスムス L. (編)。双曲面内のアイソメトリの不連続なグループ。デ・グリュイター 数学を研究。 Vol. 29. ベルリン: Walter de Gruyter & Co.
- ^ バーンズリー、マイケル (1988)。フラクタルはどこにでもある。アカデミック プレス、Inc. ISBN 0-12-079062-9。
- ^ アルフレッド・タルスキ (1955). 「格子理論的不動点定理とその応用」.太平洋数学ジャーナル. 5:2 : 285–309.
- ^ Peyton Jones、Simon L. (1987)。関数型プログラミングの実装。Prentice Hall International。
- ^ Cutland, NJ, Computability: An introduction to recursive function theory、ケンブリッジ大学出版局、1980年。ISBN 0-521-29465-7
- ^ プログラム検証の基礎、第 2 版、Jacques Loeckx と Kurt Sieber、John Wiley & Sons、ISBN 0-471-91282-4、第 4 章、定理 4.24、83 ページは表示的意味論で使用されるものであり、Knaster–Tarski 定理は 90 ページの演習 4.3–5 として証明するように示されています。
- ^ Zagier, D. (1990)、「すべての素数p ≡ 1 (mod 4) は 2 つの平方数の和であるという一文による証明」、American Mathematical Monthly、97 (2): 144、doi :10.2307/2323918、MR 1041893。
参考文献
- Agarwal, Ravi P.; Meehan, Maria; O'Regan, Donal (2001).不動点理論と応用. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-80250-4。
- Aksoy, Asuman ; Khamsi, Mohamed A. (1990).不動点理論における非標準的手法. Springer Verlag. ISBN 0-387-97364-8。
- Berinde, Vasile (2005)。固定点の反復近似。Springer Verlag。ISBN 978-3-540-72233-5。
- ボーダー、キム・C. (1989)。不動点定理と経済学およびゲーム理論への応用。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-38808-2。
- カーク、ウィリアム A.; ゲーベル、カジミエシュ (1990)。『計量固定点理論のトピック』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-38289-0。
- カーク、ウィリアム A.; カムシ、モハメド A. (2001)。距離空間と不動点理論入門。ジョン・ワイリー、ニューヨーク。ISBN 978-0-471-41825-2。
- カーク、ウィリアム A.;シムズ、ブレイリー(2001)。『計量固定点理論ハンドブック』。シュプリンガー出版。ISBN 0-7923-7073-2。
- Šaškin, Jurij A; Minachin, Viktor; Mackey, George W. (1991).不動点. アメリカ数学会. ISBN 0-8218-9000-X。
外部リンク
- 固定小数点法