区分線形関数

数学において、区分線形関数または区分線型関数は、実数値関数であり、そのグラフは直線セグメントで構成されています。^[1]

区分線形関数は、実数の（おそらくは無限の）区間上で定義される関数であり、各区間上で関数がアフィン関数となる区間の集合が存在します。（したがって、「区分線形」は、実際には「区分アフィン」を意味するように定義されています。）関数の定義域がコンパクトである場合、そのような区間の有限集合が存在する必要があります。定義域がコンパクトでない場合は、有限であるか、実数で 局所的に有限である必要があります。

定義される関数

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-x-3&{\text{if }}x\leq -3\\x+3&{\text{if }}-3<x<0\\-2x+3&{\text{if }}0\leq x<3\\0.5x-4.5&{\text{if }}x\geq 3\end{cases}}}$

は 4 つの部分を持つ区分線形です。この関数のグラフを右に示します。アフィン (*) 関数のグラフは直線 なので、区分線形関数のグラフは線分と光線で構成されます。傾きが変化するx値 (上記の例では -3、0、3) は通常、ブレークポイント、変化点、しきい値、またはノットと呼ばれます。多くのアプリケーションと同様に、この関数も連続しています。コンパクトな区間上の連続区分線形関数のグラフは、多角形の連鎖です。

(*)線形関数は定義により を満たすため、特に となります。グラフが直線となる関数は線形ではなくアフィン関数です。 ${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda f(x)}$${\displaystyle f(0)=0}$

区分線形関数の他の例は次のとおりです。

• 絶対値^[2]
• のこぎり波関数
• フロア関数
• ステップ関数は、定数サブ関数で構成される関数であり、区分定数関数とも呼ばれる。
  • ボックスカー関数、
  • ヘヴィサイドステップ関数^[2]
  • 符号関数
• 三角関数

既知の曲線の近似値は、曲線をサンプリングし、点の間を線形補間することによって見つけることができます。与えられた誤差許容範囲内で最も重要な点を計算するアルゴリズムが公開されています。^[3]

パーティションとブレークポイントがすでにわかっている場合は、これらのパーティションに対して独立して線形回帰を実行できます。ただし、その場合、連続性は保持されず、観測データの基礎となる一意の参照モデルも存在しません。この場合の安定したアルゴリズムが導出されています。^[4]

分割が不明な場合は、残差二乗和を使用して最適な分離点を選択できます。^{[5]ただし、すべてのモデルパラメータ（ブレークポイントを含む）の効率的な計算と共同推定は、現在}R言語のパッケージ^{[7]に実装されている反復手順[6]}によって取得できます。 segmented

モデルツリーと呼ばれる決定木学習の変形は、区分線形関数を学習します。^[8]

区分線形関数の概念は、いくつかの異なるコンテキストで意味を持ちます。区分線形関数は、n次元 ユークリッド空間、またはより一般的には任意のベクトル空間やアフィン空間、および区分線形多様体と単体複体(単体マップを参照) 上で定義できます。いずれの場合も、関数は実数値であるか、ベクトル空間、アフィン空間、区分線形多様体、または単体複体から値を取ることができます。 (これらのコンテキストでは、「線形」という用語は、線形変換のみを指すのではなく、より一般的なアフィン線形関数を指します。)

1 次元を超える場合、各ピースの定義域が多角形または多面体であることが要求されるのが一般的です。これにより、関数のグラフが多角形または多面体ピースで構成されることが保証されます。

スプラインは区分線形関数を高次多項式に一般化し、区分微分可能関数PDIFFのカテゴリに含まれます。

区分線形関数の重要なサブクラスには、連続区分線形関数と凸区分線形関数がある。一般に、n次元の連続区分線形関数ごとに、 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \Pi \in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n+1}))}$

そのような

${\displaystyle f({\vec {x}})=\min _{\Sigma \in \Pi }\max _{({\vec {a}},b)\in \Sigma }{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}+b.}$^[9]

が凸かつ連続である 場合、${\displaystyle f}$

${\displaystyle \Sigma \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n+1})}$

そのような

${\displaystyle f({\vec {x}})=\max _{({\vec {a}},b)\in \Sigma }{\vec {a}}\cdot {\vec {x}} +b.}$

農業では、測定データの区分回帰分析を使用して、成長因子が収穫量に影響を与える範囲と、作物がこれらの因子の変化に敏感でない範囲を検出します。

左の画像は、地下水位が浅いと収量が減少するのに対し、地下水位が深い (> 7 dm) と収量は影響を受けないことを示しています。このグラフは、最も適合する2 つのセグメントを見つけるために最小二乗法を使用して作成されています。

右のグラフは、作物の収穫量が土壌塩分濃度ECe = 8 dS/m (ECe は飽和土壌サンプルの抽出液の電気伝導率) まで許容される一方で、その値を超えると作物の収穫量が減少することを示しています。グラフは、線が水平になる「影響なし」の最長距離を見つけるために、偏回帰法で作成されています。2 つのセグメントが同じポイントで結合する必要はありません。2 番目のセグメントにのみ、最小二乗法が使用されます。

• 線形補間
• スプライン補間
• 熱帯の幾何学
• 多角形チェーン

• Apps, P., Long, N., & Rees, R. (2014). 最適な区分線形所得課税。公共経済理論ジャーナル、16 (4)、523–545。