コブ・ダグラス生産関数

経済学および計量経済学において、コブ・ダグラス生産関数は、2つ以上の投入量（特に肉体労働と資本）とそれらの投入量によって生産できる産出量との関係を表すために広く用いられる、生産関数の特定の関数形式である。コブ・ダグラス形式は、1927年から1947年の間にチャールズ・コブとポール・ダグラスによって開発され、統計的証拠に基づいて検証された。[ 1 ]ダグラスに^よれば、関数形式自体はそれ以前にフィリップ・ウィックステッドによって開発された。^{[ 2 ]}

この関数の最も一般的なバージョンは次のとおりです。

${\displaystyle Y(L,K)=AL^{\alpha }K^{\beta }}$

どこ：

• Yは総生産量です
• Lは労働投入量である
• Kは資本投入量である
• Aは全要素生産性である
• ${\displaystyle 0<\alpha <1}$労働生産弾力性
• ${\displaystyle 0<\beta <1}$は生産の資本弾力性である。

ポール・ダグラスは、コブ・ダグラス生産関数の最初の定式化は1927年に行われたと説明した。労働者と資本について計算した推定値を関連付ける関数形式を探していたとき、数学者で同僚のチャールズ・コブに相談したところ、コブは次のような形式の関数を提案した。${\displaystyle Y=AL^{\alpha }K^{1-\alpha }}$以前はクヌート・ヴィクセル、フィリップ・ウィックステッド、レオン・ワルラスによって使用されていたが、ダグラスはウィックステッドとワルラスの貢献のみを認めている。^{[ 3 ]} 1926年にクヌート・ヴィクセルが亡くなった後まもなく、ポール・ダグラスとチャールズ・コブは、生産者理論の主題を扱った研究で初めてコブ・ダグラス関数を適用した。^{[ 4 ]}最小二乗法を用いてこれを推定した結果、労働の指数は0.75となり、後に全米経済研究所によって0.741と確認された。1940年代の後の研究では、指数を考慮に入れるよう促された。${\displaystyle L}$そして${\displaystyle K}$変動があり、その結果得られた推定値は、当時開発された生産性の改良された尺度に非常に近いことが後に証明された。^{[ 5 ]}

当時、生産関数の推定値は一見正確に見えるものの、データが非常に乏しいため、あまり信用できないという批判が大きかった。ダグラスは「この批判には落胆し、研究を諦めようと思ったが、続けるべきだという何かがあった」と述べている。^{[ 5 ]}突破口となったのは、横断的データであり、多数の観測値を提供する米国国勢調査データの使用であった。ダグラスは、1947年に米国経済学会会長として行った講演で、これらの調査結果と他の国の調査結果を発表した。その後まもなく、ダグラスは政界に進出し、健康を害したため、彼の研究はほとんど進展しなかった。しかし、20年後、彼の生産関数は広く使用されるようになり、ポール・サミュエルソンやロバート・ソローなどの経済学者に採用された。^{[ 5 ]}コブ・ダグラス生産関数は、集計生産関数または経済全体の生産関数が初めて開発、推定され、分析のために専門家に提示されたという点で特に注目に値する。これは、経済学者がミクロ経済学の観点からマクロ経済学に取り組む方法における画期的な変化を示した。^{[ 6 ]}

生産要素弾力性とは、他のすべての生産要素および全要素生産性を一定に保ったまま、その生産要素が1%変化したときに生じる生産量の変化率のことである。

コブ・ダグラス生産関数では、生産量の労働弾力性は${\displaystyle \alpha }$生産の資本弾力性は${\displaystyle \beta }$。

${\displaystyle {\dfrac {\partial Y/Y}{\partial {L}/L}}=\alpha }$

${\displaystyle {\dfrac {\partial Y/Y}{\partial {K}/K}}=\beta }$

労働の限界生産物は${\displaystyle MPL={\frac {\partial Y}{\partial L}}=\alpha {\frac {Y}{L}}>0}$。

資本の限界生産性は${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}=\beta {\frac {Y}{K}}>0}$。

つまり、労働力を増やすと必ず生産量が増え、資本を増やすと必ず生産量が増え、全要素生産性が上昇する。${\displaystyle A}$労働の限界生産性と資本の限界生産性の両方を増加させる。

コブ・ダグラス生産関数は収穫逓減の法則を満たします。つまり、生産要素の限界生産性は常に正の値をとりますが、減少傾向にあります。他の生産要素と全要素生産性を一定に保ちながら、労働または資本の投入量を増やしていくと、生産量の増加率は低下します。

これは以下の式で表すことができます。

${\displaystyle {\frac {\partial MPL}{\partial L}}={\frac {\partial ^{2}Y}{\partial L^{2}}}<0}$

${\displaystyle {\frac {\partial MPK}{\partial K}}={\frac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}<0}$

限界技術的代替率とは、ある生産要素の投入量をどれだけ変化させれば、別の生産要素の投入量が変化しても総生産量が一定に保たれるかを示す値である。言い換えれば、現在の総生産量に対応する等量曲線の傾きの絶対値である。

${\displaystyle MRTS(L,K)={\dfrac {MPL}{MPK}}={\dfrac {\alpha }{\beta }}{\dfrac {K}{L}}}$

代替弾力性は一定であり、1に等しい。

労働投入量の増加は資本の限界生産性を上昇させ、資本投入量の増加は労働の限界生産性を上昇させる。

数式で表すと：${\displaystyle {\dfrac {\partial MPK}{\partial L}}>0}$;${\displaystyle {\dfrac {\partial MPL}{\partial K}}>0}$。

もし${\displaystyle \alpha +\beta =1}$すると、規模の経済は一定となり、労働と資本を 1 倍に増やすと、${\displaystyle x}$同じ生産要素の生産量の増加につながる${\displaystyle x}$つまり${\displaystyle Y(xL,xK)=xY(L,K)}$[ ^{7 ]​}

もし${\displaystyle \alpha +\beta <1}$すると、規模の経済は逓減し、労働と資本をある係数だけ増やすと、${\displaystyle x}$生産量の増加は、${\displaystyle x}$つまり${\displaystyle Y(xL,xK)<xY(L,K)}$[ ^{7 ]​}

もし${\displaystyle \alpha +\beta >1}$すると、規模の経済が働くようになる。つまり、労働と資本をある割合だけ増やすと、${\displaystyle x}$生産量は、${\displaystyle x}$つまり、${\displaystyle Y(xL,xK)>xY(L,K)}$[ ^{7 ]​}

規模に関する収穫一定の条件下では、${\displaystyle \beta =1-\alpha }$そして${\displaystyle Y=L\cdot MPL+K\cdot MPK}$。

完全競争においては、生産要素の限界生産物はその価格に等しい。したがって、${\displaystyle MPL=w}$そして${\displaystyle MPK=r}$どこ${\displaystyle w}$賃金率と${\displaystyle r}$は資本の価格、実質金利です。

総生産量は次のように表すことができます。${\displaystyle Y=L\cdot w+K\cdot r}$。

つまり、生産の価値は労働に対する報酬と資本に対する報酬に分けられる。

一般化された形式では、コブ・ダグラス関数は2つ以上の財をモデル化します。コブ・ダグラス関数は次のように記述できます^{[ 8 ]}

${\displaystyle f(x)=A\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}},\qquad x=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

どこ

• Aは効率パラメータである
• nは入力変数（商品）の総数です。
• x ₁、 ...、x _nは、消費、生産などの財の（非負の）数量です。
• ${\displaystyle \lambda _{i}}$は、良質なiの弾性パラメータです

この関数は、根拠の欠如を批判されてきた。コブとダグラスは、先進国では総生産における労働と資本のシェアが時間とともに一定であるように見える統計的証拠に影響を受けた。彼らは、生産関数の最小二乗回帰を統計的に当てはめることでこれを説明した。現在では、工業化された経済では労働シェアが低下していることが広く受け入れられている。 ^{[ 9 ] [ 10 ]}生産関数には、国の生産能力と供給側の効率性を常に最も正確に表現するとは限らない主要な仮定が含まれている。この仮定は「生産における労働のシェアが一定」であり、労働市場が著しい速度で成長している国に適用すると効果的ではない可能性がある。^{[ 11 ]}コブ・ダグラス生産関数の基本的な構成要素におけるもう1つの問題は、同時方程式バイアスの存在である。競争が想定される場合、同時方程式バイアスは、コブ・ダグラス関数を含む、企業の意思決定を含むすべての関数タイプに影響を与える。場合によっては、この同時方程式バイアスは現れない。しかし、最小二乗漸近近似を用いると明らかになる。^{[ 12 ]}

しかし、多くの現代の著者は、ニューケインジアンモデルを含む、ミクロ経済学に基づいたコブ・ダグラス生産関数を与えるモデルを開発してきました。^{[ 13 ]}しかし、コブ・ダグラス関数がミクロ経済レベルで適用されるからといって、マクロ経済レベルでも常に適用されると考えるのは数学的な誤りです。同様に、マクロのコブ・ダグラスが細分化されたレベルで必ずしも適用されるとは限りません。線形活動に基づく集計コブ・ダグラス技術の初期のミクロ的基礎は、1955年に発表された論文でHouthakkerによって導出されました。^{[ 14 ]}コブ・ダグラス生産関数は、資本と労働が総補完財であることを示唆する、資本と労働の代替弾力性の現代の経験的推定と矛盾しています。318​​6の推定に関する2021年のメタ分析は、「経験的文献に蓄積された証拠の重みは、コブ・ダグラス仕様を断固として拒否する」と結論付けています。^{[ 15 ]}

1974年の論文^{[ 16 ]}で、経済学者のアンワル・シャイフは、資本と労働の間で生産シェアが一定であるという仮定と、規模に対する収穫一定という仮定を尊重すれば、あらゆる経済データはコブ・ダグラス生産関数の形で表現できることを示しました。彼は、コブ・ダグラス関数は実際には資本と労働の間での付加価値の分配に関する代数的関係によって支配されており、したがって生産関数は最終的には生産自体に関する真の仮定に依存していないことを示しました。これを実証するために、アンワル・シャイフは架空のデータ（「Humbug」という単語を追跡したデータ）に基づいてコブ・ダグラス関数を構築し、それは基礎となる架空の生産関数と強い相関関係（R² = .993）を示しました。同論文の中で彼は、ロバート・ソローの論文「技術変化と総生産関数」^{[ 17 ]}が経済成長の分析における新古典派アプローチへの道を開いたが、同じ間違いを犯していることも示している。

コブ・ダグラス関数は効用関数としてよく用いられる。^{[ 18 ] [ 8 ]}効用${\displaystyle {\tilde {u}}}$は量の関数である${\displaystyle x_{i}}$の${\displaystyle n}$消費される商品：

${\displaystyle {\tilde {u}}(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}}}$

効用関数は順序選好を表し、生産関数とは異なり自然単位を持ちません。その結果、効用関数の単調変換は同じ選好を表します。コブ・ダグラス生産関数では指数の合計が規模の経済の度合いを決定しますが、効用関数では正規化は元の効用関数の単調変換であるため、指数の合計を1に正規化できます。したがって、次のように定義します。${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}$そして${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}}$、 それで${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1}$そして、効用関数を次のように記述します。

${\displaystyle u(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}}$

消費者は、商品の費用が自身の資産よりも少ないという予算制約の下で効用を最大化する。${\displaystyle w}$貸す${\displaystyle p_{i}}$商品の価格を表すために、彼女は次の問題を解きます。

${\displaystyle \max _{x_{i}}\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}\quad {\text{ subject to the constraint }}\quad \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}=w}$

各2つの財間の限界代替率は

${\displaystyle MRS_{i,j}={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{j}}}{x_{j} \over x_{i}}={p_{i} \over p_{j}}\Rightarrow p_{j}x_{j}={p_{i}\alpha _{j} \over \alpha _{i}}x_{i}}$

予算制約に挿入すると、

${\displaystyle p_{i}x_{i}+\textstyle \sum _{j\neq i}^{n}\displaystyle p_{i}x_{i}{\frac {\alpha _{j}}{\alpha _{i}}}=w}$

${\displaystyle \Rightarrow p_{i}x_{i}(1+\sum _{j\neq i}^{n}{\frac {\alpha _{j}}{\alpha _{i}}})=w\Rightarrow p_{i}x_{i}{\frac {(\alpha _{i}+\sum _{j\neq i}^{n}\alpha _{j})}{\alpha _{i}}}=w\Rightarrow p_{i}x_{i}{\frac {1}{\alpha _{i}}}=w}$

${\displaystyle \Rightarrow x_{i}^{*}={\frac {\alpha _{i}w}{p_{i}}}\forall i}$

ご了承ください ${\displaystyle p_{i}x_{i}^{*}=\alpha _{i}w}$消費者が支出する割合${\displaystyle \alpha _{i}}$彼女の財産は良いiにあります。

また、各財は自身の価格のみに影響される点にも注意が必要です。つまり、2つの財は代替財でも補完財でもありません。具体的には、それらの交差弾力性はゼロであり、あらゆる財の交差需要関数は垂直線で表されます。

最後に、所得が一定の割合で増加すると、財の需要も同じ割合で増加することに注意してください。つまり、所得に対する需要の弾力性は1に等しく、したがって、エンゲル曲線は原点から始まる直線になります。

これはどちらの場合の解決策にもなります。${\displaystyle u(x)}$または${\displaystyle {\tilde {u}}(x),}$同じ嗜好は同じ需要を生み出すからである。

間接効用関数は、需要を代入することで計算できます。${\displaystyle x_{i}}$効用関数に組み込む。定数を定義する。${\displaystyle K=\prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}}$そして、私たちは次のものを得ます。

${\displaystyle v(p,w)=\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {w\alpha _{i}}{p_{i}}}\right)^{\alpha _{i}}={\frac {\prod _{i=1}^{n}w^{\alpha _{i}}\cdot \prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}}{\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}=K\left({\frac {w}{\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}\right)}$

これはゴーマン極形式の特殊なケースである。支出関数は間接効用関数の逆関数である。^{[ 19 ]： 112}

${\displaystyle e(p,u)=(1/K)\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}u}$

マーシャル需要関数

コブ・ダグラス関数の形式は、次の式を用いて線形関係として推定することができる。

${\displaystyle \ln(Y)=a_{0}+\sum _{i}a_{i}\ln(I_{i})}$

どこ

• ${\displaystyle Y={\text{output}}}$
• ${\displaystyle I_{i}={\text{inputs}}}$
• ${\displaystyle a_{i}={\text{model coefficients}}}$

このモデルは次のように記述することもできます。

${\displaystyle Y=e^{a_{0}}(I_{1})^{a_{1}}\cdot (I_{2})^{a_{2}}\cdots }$

前述のとおり、経済モデリングで一般的に使用されるコブ・ダグラス関数は

${\displaystyle Y=AL^{\alpha }K^{\beta }}$

どこ${\displaystyle L}$労働とは、${\displaystyle K}$資本であり、${\displaystyle A}$は全要素生産性を表す定数です。モデルの指数の合計が1になる場合、生産関数は1次同次関数となり、これは規模に関する収穫一定を意味します。つまり、すべての投入要素が0より大きい共通の係数でスケーリングされると、産出量も同じ係数でスケーリングされます。

定弾性代替（CES）生産関数（2要素の場合）は

${\displaystyle Y=A\left(\alpha L^{\gamma }+(1-\alpha )K^{\gamma }\right)^{1/\gamma },}$

ここで、極限の場合γ = 0はコブ・ダグラス関数に対応し、${\displaystyle Y=AL^{\alpha }K^{1-\alpha },}$規模に関して収穫一定である。^{[ 20 ]}

これを確認するには、CES関数のログを参照してください。

${\displaystyle \ln(Y)=\ln(A)+{\frac {1}{\gamma }}\ln \left(\alpha L^{\gamma }+(1-\alpha )K^{\gamma }\right)}$

ロピタルの定理を適用することで極限まで推し進めることができる。

${\displaystyle \lim _{\gamma \to 0}\ln(Y)=\ln(A)+\alpha \ln(L)+(1-\alpha )\ln(K).}$

したがって、${\displaystyle Y=AL^{\alpha }K^{1-\alpha }}$。

• レオンチェフ生産関数
• 生産可能性フロンティア
• 生産理論

• レンショー、ジェフ（2005）。経済学のための数学。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。516 ～ 526ページ。ISBN  0-19-926746-4。

• 3Dにおけるコブ・ダグラス型生成関数の構造
• コブ・ダグラス効用関数の分析（ 2014年10月3日にWayback Machineにアーカイブ済み）
• N個の投入要素を持つ生産関数を持つ企業の閉形式解