双曲座標

数学において、双曲座標は直交平面の第1象限の点の位置を特定する方法である。

${\displaystyle \{(x,y)\ :\ x>0,\ y>0\ \}=Q}$。

双曲座標は、次のように定義される双曲平面上の値を取ります。

${\displaystyle HP=\{(u,v):u\in \mathbb {R} ,v>0\}}$。

HPのこれらの座標は、Qの直接比例の対数比較を研究し、直接比例からの偏差を測定するのに役立ちます。

摂取 量について${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle u=\ln {\sqrt {\frac {x}{y}}}}$

そして

${\displaystyle v={\sqrt {xy}}}$。

パラメータu は( x, y ) に対する双曲角であり、v はxとyの幾何平均です。

逆マッピングは

${\displaystyle x=ve^{u},\quad y=ve^{-u}}$。

この関数は連続写像ですが、解析関数ではありません。 ${\displaystyle Q\rightarrow HP}$

HP は双曲幾何学のポアンカレ半平面モデルの計量空間構造を持っているので、全単射対応は この構造をQにもたらします。これは双曲運動の概念を使って捉えることができます。HPの測地線は境界上に中心を持つ半円なので、Qの測地線は対応から得られ、原点からの光線、または原点を出て再び入ってくる花びら状の曲線であることがわかります。そして、左右シフトによって与えられるHPの双曲運動は、Qに適用されたスクイーズ写像に対応します。 ${\displaystyle Q\leftrightarrow HP}$

Qの双曲線はHPの境界に平行な線に対応するので、Qの計量幾何学ではホロサイクルになります。

平面のユークリッド位相とQが継承する位相だけを考慮すると、 Qを囲む線はQに近いように見えます。距離空間HPからの洞察は、対応を通して見ると、開集合 Q は境界として原点のみを持つことを示しています。確かに、 Qの原点からの光線と、その像であるHPの境界Rからの垂直光線を考えてみましょう。HPの任意の点は、 Rへの垂線の足元の点pから無限距離ですが、この垂線上の点の列はpの方向に向かう傾向があります。 Qの対応する列は、原点に向かう光線に沿って傾向があります。 Qの古いユークリッド境界はもはや適切ではありません。

基本的な物理変数は、 k = xyという形式の方程式で関連付けられることがあります。たとえば、V = IR (オームの法則)、P = VI (電力)、PV = k T (理想気体の法則)、f λ = v (波動媒体における波長、周波数、速度の関係) などです。 kが一定の場合、他の変数は双曲線上に位置し、これは適切なQ象限のホロサイクルです。

たとえば、熱力学では、等温過程は明示的に双曲線経路をたどり、仕事は双曲線の角度の変化として解釈できます。同様に、体積が変化するガスの特定の質量M は、変化する密度 δ = M / Vを持ち、理想気体の法則はP = k T δと記述され、等圧過程は絶対温度とガス密度の象限で双曲線を描きます。

相対性理論における双曲座標については、「歴史」セクションを参照してください。

• 象限における人口密度の比較研究は、人口と面積を点（1,1）とする基準となる国、地域、または都市部を選択することから始まります。
• 代表民主主義における地域の選出代表の分析は、比較基準の選択から始まります。比較基準とは、代表される特定のグループであり、その代表者数と候補者名簿の規模は象限の (1,1) になります。

経済学では双曲座標が自然に応用される例が数多くあります。

• 為替レート変動の分析:
  単位通貨は を設定します。価格通貨は に対応します。 について、 は正の双曲角です。変動について、 は新しい価格を取ります。 すると、 uの変化は次のようになります。双曲角を通じて為替レートの変動を定量化すると、客観的で対称的かつ一貫した尺度が得られます。 この量は、通貨変動の双曲運動ビューにおける左右のシフトの長さです。${\displaystyle x=1}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle 0<y<1}$$${\displaystyle u>0}$$${\displaystyle 0<z<y.}$$$${\displaystyle \Delta u=\ln {\sqrt {\frac {y}{z}}}.}$$${\displaystyle \Delta u}$
• 消費財バスケットの価格のインフレまたはデフレの分析。
• 複占市場における市場シェアの変化の定量化。
• 企業の株式分割と自社株買い。

幾何平均は古くからある概念ですが、双曲角はこの構成でグレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンによって発展しました。彼は、直角双曲線y = 1/ xについて求積法を実行しようとしていました。アルキメデスが放物線 の求積法を実行して以来、その課題は未解決の問題でした。曲線は (1,1) を通過し、単位正方形内で原点の反対側にあります。曲線上の他の点は、この正方形と同じ面積を持つ長方形と見なすことができます。このような長方形は、正方形にスクイーズ マッピングを適用することで取得できます。これらのマッピングを表示する別の方法は、双曲セクターを介することです。レオンハルト・オイラーの「無限解析学入門」(1748) での展開によれば、(1,1) から始まって単位面積の双曲セクターは (e, 1/e) で終わります。 ここでeは 2.71828… です。

(e, 1/e) を単位面積の長方形の頂点として、単位正方形からこれを作った圧縮を再度適用すると、次のようになります。一般に、n 回の圧縮では次のようになります。AA de Sarasa は、G. de Saint-Vincent による同様の観察に注目しました。すなわち、横座標が等比級数で増加すると、双曲線に対する面積の合計は等差級数で増加し、この特性は、乗算を加算に簡約するためにすでに使用されていた対数に対応していました。オイラーの研究により、自然対数が標準的な数学ツールとなり、数学は超越関数の領域にまで高まりました。双曲座標は、双曲線の求積法を提供し、代数関数の限界を超えた G. de Saint-Vincent の元の図に基づいて形成されます。 ${\displaystyle (e^{2},\ e^{-2}).}$${\displaystyle (e^{n},\ e^{-n})。}$

1875年にヨハン・フォン・テューネンは、雇用者の資本を用いた労働の市場価値と最低賃金の幾何平均を用いた 自然賃金理論^{[1]を発表しました。}

特殊相対性理論では、与えられた固有時間後に様々な速度が到達する時空の未来における3次元超曲面に焦点が当てられています。スコット・ウォルター^[2]は、1907年11月にヘルマン・ミンコフスキーがゲッティンゲン数学協会で講演した際に、よく知られた3次元双曲幾何学に言及したが、4次元幾何学には触れなかったと説明しています。^{[3]相対性理論に関する標準的な大学レベルの入門書の著者である}ヴォルフガング・リンドラー に敬意を表して、時空の双曲座標はリンドラー座標と呼ばれています。

• David Betounes (2001) 『微分方程式: 理論と応用』、254 ページ、Springer-TELOS、ISBN 0-387-95140-7。 
• スコット・ウォルター (1999)。「ミンコフスキー相対論の非ユークリッド的スタイル」Wayback Machineに 2013-10-16 アーカイブ。第 4 章：ジェレミー・J・グレイ (編)、『シンボリック宇宙: 幾何学と物理学 1890-1930 』、pp. 91–127。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-850088-2。