多様性（普遍代数）

普遍代数において、代数の多様体または等式クラスとは、与えられた符号を持ち、与えられた恒等式の集合を満たすすべての代数構造のクラスのことである。例えば、群は代数の多様体を形成し、アーベル群、環、モノイドなども同様に多様体を形成する。バーコフの定理によれば、同じ符号を持つ代数構造のクラスは、準同型像、部分代数、および（直）積の取り方に関して閉じている場合に限り、多様体となる。圏論の文脈では、代数の多様体は、その準同型とともに圏を形成する。これらは通常、有限代数圏と呼ばれる。

共多様体とは、与えられたシグネチャを持つすべての共代数構造のクラスのことである。

代数の多様性は、多項式方程式系の解の集合を意味する代数多様体と混同してはならない。これらは形式的には全く異なり、その理論には共通点がほとんどない。

「代数の多様性」という用語は、普遍代数という一般的な意味での代数を指します。また、より具体的な意味での代数、すなわち体上の代数、つまり双線形乗法を備えたベクトル空間上の代数も存在します。

（この文脈における）シグネチャとは、要素が演算と呼ばれる集合であり、各演算にはアリティと呼ばれる自然数（0、1、2、…）が割り当てられます。シグネチャσと、要素が変数と呼ばれる集合Vが与えられたとき、ワードとは、各ノードが変数または演算のいずれかでラベル付けされた有限の根付き木であり、変数でラベル付けされたすべてのノードは根から枝がなく、演算oでラベル付けされたすべてのノードは、 oのアリティと同じ数の枝を根から持ちます。等式法則は、このようなワードのペアです。ワードvとwからなる公理は、 v = wと書きます。

理論は、シグネチャ、変数の集合、および等式法則の集合から構成されます。任意の理論は、次のようなさまざまな代数を与えます。理論Tが与えられたとき、Tの代数は、集合Aと、 Tの各演算o ( nのアリティを持つ) に対する関数o _A : A ⁿ → Aから構成されます。この関数は、各公理v = wおよびその公理内の変数へのAの要素の各割り当てに対して、 vとwを定義する木によって示されるように、Aの要素に演算を適用することによって得られる等式が成り立ちます。与えられた理論Tの代数のクラスは、さまざまな代数と呼ばれます。 

理論Tの 2 つの代数AとBが与えられたとき、準同型とは、次の条件を満たす関数f  : A → Bのことである。

${\displaystyle f(o_{A}(a_{1},\dots ,a_{n}))=o_{B}(f(a_{1}),\dots ,f(a_{n}))}$

位数nのあらゆる演算oに対して。任意の理論は、対象がその理論の代数であり、射が準同型であるような圏を与える。

すべての半群のクラスは、符号(2)のさまざまな代数を形成する。これは、半群が単一の二項演算を持つことを意味する。十分な定義式は結合法則である。

${\displaystyle x(yz)=(xy)z.}$

この群のクラスは、符号(2,0,1)のさまざまな代数を形成し、3つの演算はそれぞれ乗算(二項演算)、単位元(零項演算、定数)、反転(一項演算)である。結合法則、単位元、反転というよく知られた公理は、適切な単位元の集合を形成する。

${\displaystyle x(yz)=(xy)z}$

${\displaystyle 1x=x1=x}$

${\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1.}$

環のクラスは、さまざまな代数も形成します。ここでのシグネチャは (2,2,0,0,1) です (2 つの二項演算、2 つの定数、および 1 つの単項演算)。

特定の環Rを固定すると、左R加群のクラスを考えることができます。Rの要素によるスカラー乗算を表現するには、 Rの各要素に対して 1 つの単項演算が必要です。環が無限環の場合、演算は無限に多くなりますが、これは普遍代数における代数構造の定義によって許容されます。加群の公理を表現するには、無限に多くの恒等式も必要になりますが、これは代数の多様性の定義によって許容されます。したがって、左R加群は確かに代数の多様性を形成します。

これらの体は様々な代数を形成しません。すべての非ゼロ要素が可逆であるという要件は、普遍的に満たされる恒等式として表現することはできません（下記参照）。

消去半群は、消去性質が方程式ではなく、いかなる方程式の集合とも同値ではない含意であるため、代数の多様体を形成しません。しかし、消去性質を定義する含意は準恒等式の例であるため、準多様体を形成します。

同じ符号を持つ代数構造のクラスが与えられたとき、準同型、部分代数、および積の概念を定義できます。ギャレット・バーコフは、同じ符号を持つ代数構造のクラスが多様体であるのは、準同型像、部分代数、および任意の積を取ることに関して閉じている場合のみであることを証明しました。^{[ 1 ]}これは普遍代数にとって根本的に重要な結果であり、バーコフの多様体定理またはHSP定理として知られています。H 、S、およびPは、それぞれ準同型、部分代数、および積の演算を表します。

上述の同値性の方向性の一つ、すなわち、ある恒等式を満たす代数のクラスはHSP演算に関して閉じている必要があることは、定義から直ちに導かれる。その逆、すなわちHSP演算に関して閉じている代数のクラスは等式でなければならないことを証明するのは、より困難である。

ビルコフの定理の簡単な方向性を用いることで、例えば、上記の主張、すなわち、体の公理はいかなる恒等式の集合によっても表現できないという主張を検証することができる。体の積は体ではないので、体は多様体を形成しない。

代数多様体Vの部分多様体とは、 Vと同じ符号を持ち、それ自体が多様体であるVの部分クラスのことであり、すなわち、恒等式の集合によって定義される。

定数としての単位元を省略した場合（および／または逆演算を省略した場合）にはすべての群が半群になるが、符号が異なるため、群のクラスは半群の多様体の部分多様体を形成しないことに注意してください。同様に、群である半群のクラスは半群の多様体の部分多様体ではありません。群であるモノイドのクラスには以下が含まれます。${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+\rangle }$また、その部分代数（より正確には部分モノイド）を含まない。${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,+\rangle }$。

しかし、アーベル群のクラスは群の多様体の部分多様体です。なぜなら、アーベル群は符号の変更なしにxy = yxを満たす群から構成されるからです。有限生成アーベル群は部分多様体を形成しません。なぜなら、バーコフの定理によれば、有限生成アーベル群の任意の積は有限生成ではないため、それらは多様体を形成しないからです。

多様体Vとその準同型を圏とみなすと、 Vの部分多様体UはVの完全部分圏であり、これはU内の任意の対象a、bに対して、 U内のaからbへの準同型は、V内のaからbへの準同型と完全に一致することを意味します。

Vが非自明な代数の多様体、すなわち複数の要素を持つ代数を含むと仮定します。任意の集合 S に対して、多様体 V は S 上の自由代数 F S を含むことが示せます。これは、次の普遍_性を満たす単射集合写像i  : S → F _Sが存在することを意味します。すなわち、 V内の任意の代数Aと任意の写像k : S → Aが与えられたとき、 f ∘ i = kとなる一意のV準同型f : F _S → Aが存在します。  

これは、自由群、自由アーベル群、自由代数、自由加群などの概念を一般化するものである。その結果、多様体内のすべての代数は、自由代数の準同型像となる。

多様体以外にも、圏論者は記述する代数の種類に関して同等な他の 2 つの枠組み、すなわち有限モナドとローヴェア理論を使用します。多様体から有限モナドへは次のように進むことができます。対象として代数の多様体、射として準同型を持つ圏は、有限代数圏と呼ばれます。任意の有限代数圏Vに対して、忘却関手G  : V → Set は左随伴関手F  : Set → Vを持ちます。これは、各集合にその集合上の自由代数を割り当てる関手です。この随伴はモナド的であり、圏VはモナドT = GFのアイレンベルク-ムーア圏Set ^Tと同等であることを意味します。さらに、モナドTは有限であり、フィルター付き余極限と可換であることを意味します。

したがって、モナドT  : Set → Set は、有限代数圏を復元するのに十分である。実際、有限代数圏は、有限モナドのアイレンベルク＝ムーア圏と同値な圏に他ならない。そして、これらはどちらも、ローヴェア理論の代数の圏と同値である。

モナドを扱うことで、次の一般化が可能になります。ある圏が集合上のモナドである場合、その圏は代数圏であると言います。これは「有限代数圏」よりも一般的な概念です。なぜなら、シグネチャに無限演算が含まれるCABA（完全原子ブール代数）やCSLat（完全半束）のような圏も許容するからです。これら2つの場合、シグネチャは大きいため、集合ではなく適切なクラスを形成します。これは、その演算のアリティが無制限であるためです。シグマ代数の代数圏も無限演算を持ちますが、そのアリティは可算であるため、シグネチャは小さくなります（集合を形成します）。

すべての有限代数圏は局所的に表現可能な圏である。

多様体は任意の直積に関して閉じているため、非自明な多様体はすべて無限代数を含む。多様体の理論の有限版を開発する試みがなされてきた。これは例えば、有限半群の多様体の概念につながった。この種の多様体は有限積のみを使用する。しかし、より一般的な種類の恒等式を使用する。

擬多様体は通常、与えられた符号を持つ代数のクラスとして定義され、準同型像、部分代数、および有限直積の取り方に関して閉じている。すべての著者が擬多様体のすべての代数が有限であると仮定しているわけではない。その場合、有限代数の多様体について話すことがある。擬多様体については、Birkhoff の定理に対応する一般的な有限の定理はないが、多くの場合、より複雑な方程式の概念を導入することで同様の結果を導出できる。^{[ 2 ]}すなわち、有限モノイドのクラスが有限モノイドの多様体であるのは、それがプロ有限恒等式の集合によって定義できる場合に限る。^{[ 3 ]}

擬多様体は、有限半群の研究、ひいては形式言語理論において特に重要である。アイレンベルクの定理（多様体定理とも呼ばれる）は、正規言語の多様体と有限半群の擬多様体との間の自然な対応関係を記述している。

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