セットのカテゴリ

数学の分野である圏論において、集合の圏（Setと表記）は、集合を対象とする圏である。集合Aと集合 B の間の射または射は、集合 Aから集合Bへの全関数であり、射の合成は関数の合成である。

他の多くのカテゴリ (群準同型を矢印とする群のカテゴリなど) は、集合のカテゴリのオブジェクトに構造を追加したり、矢印を特定の種類の関数に制限したりします。

カテゴリの公理はSetによって満たされます。関数の合成は結合的であり、すべての集合Xには関数合成の単位元として機能する恒等 関数id _X  : X → Xがあるためです。

Setにおけるエピモーフィズムは全射写像、単射写像は単射写像、同型写像は全単射写像です。

空集合は、空関数を射として持つSetの初期オブジェクトとして機能します。すべてのシングルトンは終端オブジェクトであり、関数はソース集合のすべての要素を単一のターゲット要素に射としてマッピングします。したがって、 Setにはゼロオブジェクトは存在しません。

カテゴリSet は完全かつ共完全です。このカテゴリの積は、セットの直積で与えられます。余積は、互いに素な和集合で与えられます。つまり、 i が何らかのインデックス セットIにわたるセットA _iが与えられた場合、余積をA _i ×{ i }の和集合として構築します( iとの直積は、すべてのコンポーネントが互いに素なままであることを保証するために使用されます)。

セットは具体的なカテゴリのプロトタイプです。他のカテゴリは、明確に定義された方法で セット上に「構築」されている場合に具体的です。

すべての 2 要素集合は、Set内のサブオブジェクト分類子として機能します。集合Aのべき乗オブジェクトは、そのべき集合によって与えられ、集合AとBの指数オブジェクトは、 AからBへのすべての関数の集合によって与えられます。したがって、Set はトポスです(特に、Barr の意味で直交閉路かつ正確です)。

集合はアーベル集合でも加法集合でも前加法集合でもありません。

空でないすべての集合は、Set内の入射オブジェクトです。すべての集合は、 Set内の射影オブジェクトです(選択公理を仮定)。

Set内の有限に表現可能なオブジェクトは有限集合です。すべての集合はその有限部分集合の直接の極限であるため、カテゴリSet は局所的に有限に表現可能なカテゴリです。

C が任意のカテゴリである場合、 CからSetへの反変関手は、多くの場合、重要な研究対象となります。A がCの対象である場合、Xを Hom _C ( X , A ) ( C内のXからAへの射の集合) に送信するCからSetへの関手は、そのような関手の例です。Cが小さなカテゴリである場合(つまり、その対象のコレクションが集合を形成する場合)、CからSetへの反変関手は、射としての自然変換とともに、 C上の前層のカテゴリと呼ばれる新しいカテゴリ、つまり関手カテゴリを形成します。

ツェルメロ-フランケル集合論では、すべての集合の集まりは集合ではない。これは基礎公理に従う。集合ではない集まりを真クラスと呼ぶ。真クラスを集合のように扱うことはできない。特に、それらの真クラスが集まり (集合または真クラス) に属すると書くことはできない。これは、集合のカテゴリをこの設定で直接形式化できないことを意味するため、問題となる。オブジェクトの集まりが真クラスを形成するSetのようなカテゴリは、オブジェクトが集合を形成する小さなカテゴリと区別するために、 大きなカテゴリと呼ばれる。

この問題を解決する 1 つの方法は、 NBG 集合論などの適切なクラスに正式な地位を与えるシステムで作業することです。この設定では、集合から形成されるカテゴリは小さいカテゴリと言われ、適切なクラスから形成されるカテゴリ ( Setなど) は大きいカテゴリと言われます。

もう 1 つの解決法は、グロタンディーク宇宙の存在を仮定することです。大まかに言えば、グロタンディーク宇宙とは、それ自体が ZF(C) のモデルである集合です (たとえば、集合が宇宙に属する場合、その要素とそのべき集合は宇宙に属します)。グロタンディーク宇宙の存在 (空集合とすべての遺伝的有限集合の集合を除く) は、通常の ZF 公理では暗示されません。これは追加の独立した公理であり、ほぼ、強くアクセス不可能な基数の存在に相当します。この追加の公理を仮定すると、 Setの対象を特定の宇宙の要素に制限できます (モデル内に「すべての集合の集合」はありませんが、すべての内部集合のクラスU 、つまりUの要素について推論することはできます)。 ${\displaystyle V_{\omega }}$

この方式の 1 つのバリエーションでは、集合のクラスはグロタンディーク宇宙の塔全体の和集合です。(これは必然的に適切なクラスですが、各グロタンディーク宇宙は、より大きなグロタンディーク宇宙の要素であるため、集合です。) ただし、「すべての集合のカテゴリ」を直接扱うわけではありません。代わりに、定理は、十分に大きなグロタンディーク宇宙Uの要素をオブジェクトとするカテゴリSet _Uで表現され、 Uの特定の選択に依存しないことが示されます。カテゴリ理論の基礎として、このアプローチは、適切なクラスについて直接推論できないタルスキ-グロタンディーク集合論などのシステムとよく一致しています。主な欠点は、定理がすべてのSet _Uに当てはまる可能性があるが、 Setには当てはまらないことです。

他にも様々な解決策や、上記に挙げた解決策のバリエーションが提案されている。^{[1] [2] [3]}

群のカテゴリや位相空間のカテゴリなど、他の具体的なカテゴリでも同じ問題が発生します。

• 位相空間のカテゴリ
• 集合論
• 小さな集合（圏論）
• 測定可能な空間のカテゴリ

• A231344 OEISの {{}, {1}, {1, 2}, ..., {1, 2, ..., n}} によって張られる集合の完全なサブカテゴリ内の射の数。