多項式の数学的同一性
数学 では 、 2つの平方数の差は 、ある数の 平方数（それ自身を掛け合わせた数）を別の平方数から引いたものである。平方数の差はすべて、 恒等式 に従って因数分解できる。
1つの
2
−
b
2
= （ 1つの + b ） （ 1つの − b ）
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab)}
初等代数学 において 。
証拠
代数的証明 因数分解の等式の証明は簡単です。右辺から始めて 、 分配 法則 を適用し て 、
（ 1つの + b ） （ 1つの − b ） =
1つの
2
+ b 1つの − 1つの b −
b
2
{\displaystyle (a+b)(ab)=a^{2}+ba-ab-b^{2}}
交換法則 により 、真ん中の2つの項は打ち消されます。
b 1つの − 1つの b = 0
{\displaystyle ba-ab=0}
出発
（ 1つの + b ） （ 1つの − b ） =
1つの
2
−
b
2
{\displaystyle (a+b)(ab)=a^{2}-b^{2}}
結果として得られる恒等式は、数学で最もよく使用される恒等式の 1 つです。さまざまな用途がありますが、この恒等式は2 変数の
AM-GM 不等式 の簡単な証明を提供します。
この証明は 任意の可換環 において成り立ちます。
逆に、環 Rにおいて、すべての要素 a と b のペアに対して この恒等式が成り立つ場合 、 R は可換である。これを確認するには、等式の右側に分配法則を適用して、
1つの
2
+ b 1つの − 1つの b −
b
2
{\displaystyle a^{2}+ba-ab-b^{2}}
。 これが に等しくなるためには 、
1つの
2
−
b
2
{\displaystyle a^{2}-b^{2}}
b 1つの − 1つの b = 0
{\displaystyle ba-ab=0}
すべてのペア a 、 b に対して、 R は可換である。
幾何学的証明 2 つの正方形の差は、平面 における 2 つ の 正方形の面積の差として幾何学的に表すこともできます。図では、網掛け部分は 2 つの正方形の面積の差、つまり を表しています 。網掛け部分の面積は、2 つの長方形の面積を足し合わせることで求められ、 これは に因数分解できます 。したがって、となります 。
1つの
2
−
b
2
{\displaystyle a^{2}-b^{2}}
1つの （ 1つの − b ） + b （ 1つの − b ）
{\displaystyle a(ab)+b(ab)}
（ 1つの + b ） （ 1つの − b ）
{\displaystyle (a+b)(ab)}
1つの
2
−
b
2
= （ 1つの + b ） （ 1つの − b ）
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab)}
もう 1 つの幾何学的証明は、次のように進めます。下の最初の図に示す図形、つまり小さい正方形が 1 つ取り除かれた大きな正方形から始めます。正方形全体の 1 辺は a で、取り除かれた小さな正方形の 1 辺は b です。灰色の領域の面積は です 。2 番目の図に示すように、領域を 2 つの長方形に分割する切断が行われます。上にある大きい方の部分は、幅が a で高さが ab です。下にある小さい方の部分は、幅が ab で高さが b です。ここで、小さい方の部分を取り外し、回転させて、大きい方の部分の右側に配置することができます。下の最後の図に示すこの新しい配置では、2 つの部分が一緒になって長方形を形成し、その幅は 、高さは です 。この長方形の面積は です 。この長方形は元の図形を再配置してできたものなので、元の図形と同じ面積であるはずです。したがって です 。
1つの
2
−
b
2
{\displaystyle a^{2}-b^{2}}
1つの + b
{\displaystyle a+b}
1つの − b
{\displaystyle ab}
（ 1つの + b ） （ 1つの − b ）
{\displaystyle (a+b)(ab)}
1つの
2
−
b
2
= （ 1つの + b ） （ 1つの − b ）
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab)}
使用法
多項式の因数分解と式の簡略化 2 つの平方の差の公式は、最初の量の平方から 2 番目の量の平方を引いた 多項式を因数 分解するために使用できます。たとえば、多項式は 次のように因数分解できます。
x
4
− 1
{\displaystyle x^{4}-1}
x
4
− 1 = （
x
2
+ 1 ） （
x
2
− 1 ） = （
x
2
+ 1 ） （ x + 1 ） （ x − 1 ）
{\displaystyle x^{4}-1=(x^{2}+1)(x^{2}-1)=(x^{2}+1)(x+1)(x-1)}
2 番目の例として、 の最初の 2 つの項は として因数分解できる ので、次のようになります。
x
2
−
ええ
2
+ x − ええ
{\displaystyle x^{2}-y^{2}+xy}
（ x + ええ ） （ x − ええ ）
{\displaystyle (x+y)(xy)}
x
2
−
ええ
2
+ x − ええ = （ x + ええ ） （ x − ええ ） + x − ええ = （ x − ええ ） （ x + ええ + 1 ）
{\displaystyle x^{2}-y^{2}+xy=(x+y)(xy)+xy=(xy)(x+y+1)}
さらに、この式は式を簡略化するためにも使用できます。
（ 1つの + b
）
2
− （ 1つの − b
）
2
= （ 1つの + b + 1つの − b ） （ 1つの + b − 1つの + b ） = （ 2 1つの ） （ 2 b ） = 4 1つの b
{\displaystyle (a+b)^{2}-(ab)^{2}=(a+b+ab)(a+b-a+b)=(2a)(2b)=4ab}
複素数の場合: 2つの平方数の和 2 つの平方の差は、 複素数 係数を使用して 2 つの平方の 合計 の 線形因子を 見つけるために使用されます。
たとえば、 の複素根は 2 つの平方の差を使って求めることができます。
ず
2
+ 4
{\displaystyle z^{2}+4}
ず
2
+ 4
{\displaystyle z^{2}+4}
=
ず
2
− 4
私
2
{\displaystyle =z^{2}-4i^{2}}
（以来 ）
私
2
= − 1
{\displaystyle i^{2}=-1}
=
ず
2
− （ 2 私
）
2
{\displaystyle =z^{2}-(2i)^{2}}
= （ ず + 2 私 ） （ ず − 2 私 ）
{\displaystyle =(z+2i)(z-2i)}
したがって、線形因子は およびです 。
（ ず + 2 私 ）
{\displaystyle (z+2i)}
（ ず − 2 私 ）
{\displaystyle (z-2i)}
この方法で求めた2つの因数は 複素共役 なので、これを逆に複素数を掛けて実数を得る方法として使うことができます。これは複素分数の実数分母を求めるのに使われます。 [1]
分母の合理化 2つの平方の差は無理 数分母 の 有理化 にも使えます 。 [2]これは式から 無理数 を取り除く（または少なくとも移動させる） 方法であり、 平方根を 含むいくつかの組み合わせによる割り算に適用されます。
たとえば、 の分母は 次のように有理化できます。
5
3
+ 4
{\displaystyle {\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}}
5
3
+ 4
{\displaystyle {\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}}
=
5
3
+ 4
×
3
− 4
3
− 4
{\displaystyle ={\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}\times {\dfrac {{\sqrt {3}}-4}{{\sqrt {3}}-4}}}
=
5 （
3
− 4 ）
（
3
+ 4 ） （
3
− 4 ）
{\displaystyle ={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{({\sqrt {3}}+4)({\sqrt {3}}-4)}}}
=
5 （
3
− 4 ）
3
2
−
4
2
{\displaystyle ={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{{\sqrt {3}}^{2}-4^{2}}}}
=
5 （
3
− 4 ）
3 − 16
{\displaystyle ={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{3-16}}}
= −
5 （
3
− 4 ）
13
。
{\displaystyle =-{\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{13}}.}
ここで、無理数分母は に有理化されています 。
3
+ 4
{\displaystyle {\sqrt {3}}+4}
13
{\displaystyle 13}
暗算 2 つの平方の差は、計算の近道としても使えます。2 つの数 (その平均は簡単に平方できる数) を掛け合わせると、2 つの平方の差を使って元の 2 つの数の積を求めることができます。
例えば：
27 × 33 = （ 30 − 3 ） （ 30 + 3 ）
{\displaystyle 27\times 33=(30-3)(30+3)}
2つの平方の差を使って、 次のように言い換えることができる。
27 × 33
{\displaystyle 27\times 33}
1つの
2
−
b
2
{\displaystyle a^{2}-b^{2}}
それは です 。
30
2
−
3
2
= 891
{\displaystyle 30^{2}-3^{2}=891}
連続する2つの完全な平方数の差 連続する 2 つの完全な平方数 の差は、2 つの 底 n と n +1の合計です 。これは次のように表すことができます。
（ ん + 1
）
2
−
ん
2
=
（ （ ん + 1 ） + ん ） （ （ ん + 1 ） − ん ）
=
2 ん + 1
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}(n+1)^{2}-n^{2}&=&((n+1)+n)((n+1)-n)\\&=&2n+1\end{array}}}
したがって、連続する 2 つの完全平方数の差は奇数になります。同様に、任意の 2 つの完全平方数の差は次のように計算されます。
（ ん + け
）
2
−
ん
2
=
（ （ ん + け ） + ん ） （ （ ん + け ） − ん ）
=
け （ 2 ん + け ）
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}(n+k)^{2}-n^{2}&=&((n+k)+n)((n+k)-n)\\&=&k(2n+k)\end{array}}}
したがって、2 つの偶数の完全平方数の差は 4 の倍数であり、2 つの奇数の完全平方数の差は 8 の倍数です。
ガリレオの奇数の法則 ガリレオの奇数の法則 連続する平方の差から派生した ガリレオの奇数の法則は、 均一な重力下で抵抗なく落下する物体が連続する等しい時間間隔で移動する距離は奇数に比例すると述べています。つまり、静止状態から落下する物体が任意の時間間隔で特定の距離を移動する場合、同じ長さの後続の時間間隔ではその距離の 3 倍、5 倍、7 倍など移動することになります。
等加速度線状加速度の式から、
初速度 一定加速度 （空気抵抗のない重力による加速度）で移動した距離と経過時間から、距離は （記号では） に比例すること がわかります 。したがって、出発点からの距離は経過時間の整数値の連続した平方になります。 [3]
s = あなた t +
1 2
1つの
t
2
{\displaystyle s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}}
あなた = 0 、
{\displaystyle u=0,}
1つの
{\displaystyle a}
t 、
{\displaystyle t,}
s
{\displaystyle s}
t
2
{\displaystyle t^{2}}
s ∝
t
2
{\displaystyle s\propto t^{2}}
整数の因数分解 数論と暗号学におけるいくつかのアルゴリズムは、平方の差を使用して整数の因数を求め、合成数を検出します。簡単な例としては、 フェルマー因数分解法が あります。これは、について、 数列 を考慮します 。 の 1 つが 完全な平方 に等しい場合 、 は (潜在的に非自明な) の 因数分解です 。
x
私
:=
1つの
私
2
− いいえ
{\displaystyle x_{i}:=a_{i}^{2}-N}
1つの
私
:=
⌈
いいえ
⌉
+ 私
{\displaystyle a_{i}:=\left\lceil {\sqrt {N}}\right\rceil +i}
x
私
{\displaystyle x_{i}}
b
2
{\displaystyle b^{2}}
いいえ =
1つの
私
2
−
b
2
= （
1つの
私
+ b ） （
1つの
私
− b ）
{\displaystyle N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)}
いいえ
{\displaystyle N}
このトリックは、次のように一般化できます。 が modかつ を mod とする場合 、 は 非自明な因数および と合成されます 。これは、いくつかの因数分解アルゴリズム ( 二次ふるい など) の基礎となり、 フェルマー素数判定 と組み合わせることで、より強力な ミラー・ラビン素数判定 を実現できます 。
1つの
2
≡
b
2
{\displaystyle a^{2}\equiv b^{2}}
いいえ
{\displaystyle N}
1つの ≢ ± b
{\displaystyle a\not \equiv \pm b}
いいえ
{\displaystyle N}
いいえ
{\displaystyle N}
いいえ （ 1つの − b 、 いいえ ）
{\displaystyle \gcd(ab,N)}
いいえ （ 1つの + b 、 いいえ ）
{\displaystyle \gcd(a+b,N)}
一般化 ベクトル a （紫）、 b （シアン）、 a + b （青）は 矢印で表示されます。 この恒等式は、 ユークリッドベクトル の ドット積 など、 実数 体 上 の 内積空間 でも成り立ちます。
a
⋅
a
−
b
⋅
b
=
(
a
+
b
)
⋅
(
a
−
b
)
{\displaystyle {\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {a} }-{\mathbf {b} }\cdot {\mathbf {b} }=({\mathbf {a} }+{\mathbf {b} })\cdot ({\mathbf {a} }-{\mathbf {b} })}
証明は同一です。aと b が 等しい ノルムを持つ 特別 な場合 (つまり、それらの点の正方形が等しい場合) では、 菱形 の 2 つの対角線が 直交する という事実が 解析的に 示されます。これは、方程式の左辺が 0 に等しいことから導かれ、右辺も 0 に等しいことが必要であり、したがって、 a + b (菱形の長い対角線)のベクトル和と a - b (菱形の短い対角線) のベクトル差は 0 に等しくなければならず、これは対角線が直交していることを示します。
2つの違い ん th 乗 2 つの正方形と 2 つの立方体の違いを視覚的に証明する a と bが 可換環の2つの元である
場合、
a
n
−
b
n
=
(
a
−
b
)
(
∑
k
=
0
n
−
1
a
n
−
1
−
k
b
k
)
.
{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b){\biggl (}\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}{\biggr )}.}
2 番目の因子は、 二項係数を 含まないことを除いて、 の二 項展開 に似ていることに注意してください。
(
a
+
b
)
n
−
1
{\displaystyle (a+b)^{n-1}}
(
n
−
1
k
)
{\displaystyle {\binom {n-1}{k}}}
歴史 歴史的に、バビロニア人は2つの平方数の差を使って掛け算を計算していました。 [4]
例えば：
93 × 87 = 90 2 − 3 2 = 8091
64 × 56 = 60 2 − 4 2 = 3584
参照
注記
^ 複素数または虚数 TheMathPage.com、2011 年 12 月 22 日閲覧 ^ 根号の乗算 TheMathPage.com、2011 年 12 月 22 日閲覧 ^ RP Olenick 他著「機械宇宙：力学と熱の入門」 ^ 「バビロニアの数学」。
参考文献 スタントン、ジェームズ・スチュアート (2005)。数学百科事典。Infobase Publishing。p. 131。ISBN 0-8160-5124-0 。 Tussy, Alan S.; Gustafson, Roy David (2011)。初等代数（第5版）。Cengage Learning。pp. 467–469。ISBN 978-1-111-56766-8 。
外部リンク mathpages.com の 2 つの平方数の差 
