マトリックスリング

抽象代数学では、行列環とは、行列の加算と乗算に関して環を形成する、環Rの要素を持つ行列の集合である。^{[ 1 ]} Rの要素を持つすべてのn × n行列の集合は、行列環 M _n ( R )と表記される。 ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} (別の表記: Mat _n ( R ) ^{[ 3 ]}およびR ^{n × n [ 6 ]} )。無限行列の集合の中には、無限行列環を形成するものがある。行列環の部分環もまた行列環である。rng 上では、行列 rng を構成できる。

Rが可換環である場合、行列環 M _n ( R ) はR上の結合代数であり、行列代数と呼ばれることがあります。この設定では、Mが行列であり、rがR の要素である場合、行列rMは、行列Mの各要素にrを掛けたものです。

• 実数体R上のすべてのn × n正方行列の集合をM _n ( R ) と表記する。これは「 n × n行列の完全環」と呼ばれることもある。
• R上のすべての上三角行列の集合。
• R上のすべての下三角行列の集合。
• R上のすべての対角行列の集合。このM _n ( R )の部分代数は、 Rのn個のコピーの直積と同型である。
• Gを任意の置換群とすると、群環は${\displaystyle R[G]}$
• 任意のインデックス集合Iに対して、右R加群の自己準同型の環${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R}$は環と同型である${\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(R)}$要素がI × Iでインデックス付けされ、各列に有限個の非ゼロ要素のみを含む列有限行列の環。左R加群として考えられるMの自己準同型環は、環と同型である。${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(R)}$行有限行列の。
• Rがバナッハ環である場合、前述の行または列の有限性という条件は緩和できます。ノルムが確立されれば、有限和の代わりに絶対収束級数を用いることができます。例えば、列和が絶対収束数列となる行列は環を形成します。 同様に、行和が絶対収束級数となる行列も環を形成します。この考え方は、例えばヒルベルト空間上の作用素を 表すのに利用できます。
• 行有限行列環と列有限行列環の交差は環を形成する${\displaystyle \mathbb {RCFM} _{I}(R)}$。
• Rが可換である場合、M _n ( R ) はR上の*-代数の構造を持ち、M _n ( R )上の対合* は行列の転置です。
• AがC*- 代数であれば、M _n ( A ) も別の C*- 代数です。A が単位元を持たない場合、 M _n ( A ) も単位元を持ちません。ゲルファント・ナイマークの定理により、ヒルベルト空間Hと、 Aから連続作用素の代数B ( H )のノルム閉部分代数への等長 *-同型が存在します。これにより、M _n ( A ) はB ( H ^{⊕ n} )の部分代数と同一視されます。さらに、 Hが分離可能でAが C*- 代数であると仮定します。${\displaystyle \subseteq }$B ( H ) は単位元を持つ C*-代数なので、 A をより小さな C*-代数上の行列環に分割できます。これは、射影pとその直交射影 1  − pを固定することによって行うことができます。A を次のように同一視できます。 ${\textstyle {\begin{pmatrix}pAp&pA(1-p)\\(1-p)Ap&(1-p)A(1-p)\end{pmatrix}}}$射影の直交性により、行列乗算は意図どおりに機能します。A をC*-代数上の行列環と同一視するには、pと 1  − p が同じ「ランク」を持つ必要があります。より正確には、pと 1 − pが Murray–von Neumann 同値である必要があります。つまり、 p = uu *および1 − p = u * uとなるような部分等長変換u が存在する必要があります。これをより大きなサイズの行列に簡単に一般化できます。    
• 複素行列代数 M _n ( C ) は、同型を除いて、複素数体C上の唯一の有限次元単純結合代数です。行列代数が発明される以前、ハミルトンは1853 年に、その要素を双四元数^{[ 7 ]}と呼び、現代の著者がC ⊗ _R Hのテンソルと呼ぶ環を導入しました。これは後に M ₂ ( C )と同型であることが示されました。M ₂ ( C )の基底の 1 つは、4 つの行列単位 (1 つの要素が 1 で、他のすべての要素が 0 である行列) から構成されます。もう 1 つの基底は、単位行列と 3 つのパウリ行列によって与えられます。
• 体上の行列環はフロベニウス代数であり、フロベニウス形式は積のトレースによって与えられます: σ ( A , B ) = tr( AB )。

• 行列環 M _n ( R ) は、階数nの自由右R加群の自己準同型環と同一視できる。すなわち、M _n ( R ) ≅ End _R ( R ⁿ )である。 行列の乗算は、自己準同型の合成に対応する。
• 分割環D上の環 M _n ( D )はアルティン単純環であり、半単純環の特殊なタイプである。${\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(D)}$そして${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(D)}$集合Iが無限集合の場合、それらは単純でもアルティン環でもないが、それでも完全な線形環である。
• アーティン・ウェダーバーン定理は、すべての半単純環は有限直積と同型であると述べている。${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$非負整数r、正整数n _i、および可除環D _iに対して。
• _{M n} ( C ) をC ⁿの線形自己準同型の環とみなすと、与えられた部分空間V上でゼロとなる行列は左イデアルを形成します。逆に、 M _n ( C ) の与えられた左イデアルIに対して、 Iに含まれるすべての行列の零空間の共通部分は、C ⁿの部分空間を与えます。この構成の下では、M _n ( C )の左イデアルはC ⁿの部分空間と一対一対応します。
• _{M n} ( R )の両側イデアルとRの両側イデアルの間には全単射が存在する。すなわち、Rの各イデアルIに対して、 Iの要素を持つすべてのn × n行列の集合はM _n ( R )のイデアルであり、M _n ( R ) の各イデアルはこのようにして生じる。これは、M _n ( R ) が単純であるのは、 Rが単純である場合に限ることを意味する。n ≥ 2 の場合、 M _n ( R )のすべての左イデアルまたは右イデアルが、Rの左イデアルまたは右イデアルから前述の構成によって生じるわけではない。例えば、インデックス 2 からnまでの列がすべてゼロである行列の集合は、 M _n ( R )の左イデアルを形成する。
• 前述の理想対応は、環Rと M _n ( R ) が森田同値であるという事実から生じます。大まかに言えば、これは左R加群の圏と左 M _n ( R ) 加群の圏が非常に似ていることを意味します。このため、左R加群と左 M _n ( R ) 加群の同型類の間、およびRの左イデアルと M _n ( R )の左イデアルの同型類の間には自然な全単射対応があります。右加群と右イデアルについても同様のことが言えます。森田同値により、M _n ( R )は、単純、アルティン、ネーター、素環であるなど、Rの森田不変な性質を継承します。

• SがRの部分環である場合、M _n ( S ) は M _n ( R )の部分環となります。例えば、M _n ( Z ) は M _n ( Q )の部分環です。
• 行列環 M _n ( R ) が可換であるのは、 n = 0、R = 0の場合、またはRが可換でn = 1の場合に限られます。実際、これは上三角​​行列の部分環についても同様です。以下に、 Rにおいて1 ≠ 0と仮定した場合の、可換でない2 × 2上三角行列の例を示します。

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

  そして

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• n ≥ 2の場合、非零環上の行列環 M _n ( R )は零因子と冪零元を持ちます。上三角行列の環についても同様です。2 × 2行列の例は次のようになります。

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• _{M n} ( R )の中心は、単位行列I _nのスカラー倍で構成され、そのスカラーはRの中心に属します。
• _{M n} ( R )の単位群は、乗法に関して可逆な行列から構成され、GL _n ( R ) と表記される。
• Fが体である場合、 M _n ( F ) の任意の 2 つの行列AとBに対して、等式AB = I _nはBA = I _nを意味します。ただし、これはすべての環Rに対して真ではありません。行列環がすべて上述の性質を持つ環Rは、安定有限環として知られています( Lam 1999 、 p. 5)。 

実際、M _n ( R ) が定義されるためには、 R は半環であるだけでよい。この場合、M _n ( R ) は半環であり、行列半環と呼ばれる。同様に、Rが可換半環であれば、M _n ( R ) は行列半代数。

例えば、Rがブール半環( 1 + 1 = 1を満たす2 要素ブール代数R = {0, 1} )である場合、^{[ 8 ]} M _n ( R ) は、n要素集合上の二項関係の半環であり、和集合は加算、関係の合成は乗算、空関係(零行列) は零、恒等関係(単位行列) は単位である。^{[ 9 ]}

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