不等式

数学において、不等式とは、2つの値を関連付ける式であり、厳密な不等式（「より大きい」、<、または「より小さい」、> ）か、「等しくない」関係（≠）のいずれかです。^{[ 1 ] [ 2 ]}通常、不等式は、問題となる値を表す一対の式で表され、両辺の間には特定の不等式関係を示す関係記号が付きます。不等式の例をいくつか挙げます。

• ${\displaystyle a<b}$
• ${\displaystyle x+y+z<1}$
• ${\displaystyle n>1}$
• ${\displaystyle x\neq 0}$

時には、「不等式」という用語は「等しくない」という関係に限定されるか、^{[ 2 ] [ 3 ]}「tp以下」≤および「tp以上」≥という関係を含むように拡張されます。

共通の式を含む複数の不等式の連言を表すには、それらを連鎖させることで簡略表記法が用いられます。例えば、連鎖は次のようになります。

${\displaystyle 0\leq a<b\leq 1}$

は略語です

${\displaystyle 0\leq a~~\mathrm {かつ} ~~a<b~~\mathrm {かつ} ~~b\leq 1}$

これはまた、${\displaystyle 0<b}$そして${\displaystyle a<1}$。

まれに、遠方の項に関するそのような含意を持たない連鎖が使用される。例えば${\displaystyle i\neq 0\neq j}$は略語です${\displaystyle i\neq 0~~\mathrm {および} ~~0\neq j}$これは、${\displaystyle i\neq j.}$同様に、${\displaystyle a<b>c}$は略語です${\displaystyle a<b~~\mathrm {and} ~~b>c}$これは、${\displaystyle a}$そして${\displaystyle c}$[ ^{4 ]​}

方程式を解くのと同様に、不等式を解くとは、不等式または複数の不等式の連言の形で表された条件を満たす値（数値、関数、集合など）を見つけることです。これらの式には、1つ以上の未知数、つまり条件を満たす値を求める自由変数が含まれています。正確には、求められるのは必ずしも実際の値ではなく、より一般的には式です。不等式の解とは、不等式を満たす式を未知数に割り当てることです。言い換えれば、未知数に代入すると不等式が真となるような式です。多くの場合、最適解によって最小化または最大化されるべき追加の目的式（つまり最適化方程式）が与えられます。 ^{[ 5 ]}

例えば、

$\displaystyle 0\leq x_{1}\leq 690-1.5\cdot x_{2}\;\land \;0\leq x_{2}\leq 530-x_{1}\;\land \;x_{1}\leq 640-0.75\cdot x_{2}}$

は不等式の連言であり、一部は連鎖として記述される（${\displaystyle \land }$は「and」と読むことができます。解の集合は図に青色で示されています（赤、緑、オレンジの線はそれぞれ第 1、第 2、第 3 連言に対応します）。より大きな例については、線形計画法#例を参照してください。

不等式の解法におけるコンピュータ支援については、制約プログラミングで説明されています。特に、シンプレックス法は線形不等式の最適解を見つけます。^{[ 6 ]}プログラミング言語Prolog III も、特定のクラスの不等式 (およびその他の関係) の解法アルゴリズムを基本言語機能としてサポートしています。詳細については、制約論理プログラミングを参照してください。

通常、特定の関数（平方根など）の性質により、いくつかの不等式は複数の他の不等式の組み合わせと等価になります。たとえば、次の不等式${\displaystyle \textstyle {\sqrt {f(x)}}<g(x)}$これは、以下の3つの不等式を組み合わせたものと論理的に同等である。

1. ${\displaystyle f(x)\geq 0}$
2. ${\displaystyle g(x)>0}$
3. ${\displaystyle f(x)<\left(g(x)\right)^{2}}$

• 分離関係―構成的数学における不平等の一形態
• 方程式
• 等号
• 不等式（数学）
• 関係演算子