虚数

虚数は実数と虚数単位 $i$ の積であり、^{[注 1]} $i 2 = -1 という$ 性質で定義されます。^[1]^[2]虚数 $bi$ の平方は $-$ $b$ $2$ です。たとえば、 $5$ $i$ は虚数であり、その平方は $-25$ です。数0は実数と虚数の両方であると考えられます。^[3]

この概念はもともと17世紀にルネ・デカルト^[4]によって軽蔑的な言葉として造られ、架空のもの、あるいは無用なものとみなされていましたが、レオンハルト・オイラー（18世紀）、オーギュスタン＝ルイ・コーシー、カール・フリードリヒ・ガウス（19世紀初頭）の研究によって広く受け入れられるようになりました。

虚数 $biを$ 実数 $aに加えると、$ $a$ $+$ $bi$ という形式の複素数が形成される。ここで、実数 $a$ と $bは$ それぞれ複素数の実部と虚部と呼ばれる。 ^[5]

歴史

ギリシャの数学者で技術者のアレクサンドリアのヘロンが負の数の平方根を含む計算を初めて提示したことで知られているが、^[6]^[7]複素数の乗算の規則を最初に定めたのは1572年のラファエル・ボンベッリであった。この概念は、ジェロラモ・カルダーノなどの著作の中で以前にも印刷物に登場していた。当時、虚数と負の数はほとんど理解されておらず、かつてのゼロと同じように架空のもの、あるいは役に立たないものとみなされていた人もいた。他の多くの数学者も虚数の使用をなかなか採用しなかったが、その中にはルネ・デカルトも含まれる。デカルトは著書『幾何学』の中で虚数について記しており、その中で虚数という造語を作ったが、これは侮蔑的な意味合いがあった。^[8]^{[9]虚数の使用は、}レオンハルト・オイラー（1707–1783）とカール・フリードリヒ・ガウス（1777–1855）の著作まで広く受け入れられなかった。複素数を平面上の点として幾何学的に表す意義は、カスパール・ヴェッセル（1745-1818）によって初めて記述された。^[10]

1843 年、ウィリアム・ローワン・ハミルトンは、平面上の虚数軸の考え方を、3 つの次元が複素数体の虚数に類似する 4 次元の四元数虚数空間に拡張しました。

幾何学的解釈

幾何学的には、虚数は複素数平面の垂直軸上にあり、実軸に対して垂直に表すことができます。虚数を見る方法の 1 つは、標準数直線を右に行くほど正に大きくなり、左に行くほど負に大きくなると考えることです。 $x$ 軸の 0 に、上向きに「正」の方向を持つ $y$ 軸を描くことができます。この場合、「正」の虚数は上向きに大きくなり、「負」の虚数は下向きに大きくなります。この垂直軸は「虚数軸」^{[11]と呼ばれることが多く、} $ℑ$ またはで表されます。^[12] $i\mathbb {R} ,$ $\mathbb {I} ,$

この表現では、 $i$ による乗算は、原点（円の 4 分の 1）の周りの反時計回りの 90 度回転に相当します。 $- i$ $による乗算は、原点の周りの時計回りの 90 度回転に相当します。同様に、 b を$ 実数として純虚数 $bi を$ 乗算すると、原点の周りの反時計回りの 90 度回転と、答えが $b$ 倍にスケーリングされます。 $b$ $< 0の場合、これは時計回りの 90 度回転と$ $|$ $b$ $| 倍$ のスケーリングとして記述できます。^[13]

負の数の平方根

負の数の平方根の主値として表される虚数を扱う際には注意が必要である。^[14]例えば、 $x$ と $yが$ 両方とも正の実数である場合、一見すると次の等式連鎖は合理的に見えます。

\textstyle {\sqrt {x\cdot y{\vphantom {t}}}}={\sqrt {(-x)\cdot (-y)}}\mathrel {\stackrel {\text{ (誤謬) ) }}{=}} {\sqrt {-x{\vphantom {ty}}}}\cdot {\sqrt {-y{\vphantom {ty}}}}=i{\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}\cdot i{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}=-{\sqrt {x\cdot y{ \vファントム {ty}}}}\,.

しかし、その結果は明らかにナンセンスです。平方根を分解する手順は不適切でした。( 「数学的誤り」を参照)

参照

注記

^ $j$ は通常、 $i が$ 他の意味（電流など）を持つエンジニアリングの文脈で使用されます。

参考文献

^ Uno Ingard, K. (1988). 「第2章」。波動と振動の基礎。ケンブリッジ大学出版局。p. 38。ISBN 0-521-33957-X。
^ Weisstein, Eric W. 「虚数」。mathworld.wolfram.com 。 2020年8月10日閲覧。
^ Sinha, KC (2008). 『A Text Book of Mathematics Class XI (Second ed.)』 Rastogi Publications. p. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9。
^ Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe (2004). 数学的解析: 近似と離散プロセス (イラスト版). Springer Science & Business Media. p. 121. ISBN 978-0-8176-4337-9。121ページの抜粋
^ Aufmann, Richard; Barker, Vernon C.; Nation, Richard (2009). College Algebra: Enhanced Edition (6th ed.). Cengage Learning. p. 66. ISBN 978-1-4390-4379-0。
^ ハルギッタイ、イシュトヴァーン (1992)。五重の対称性 (第 2 版)。世界科学。 p. 153.ISBN 981-02-0600-3。
^ ロイ、スティーブン・キャンベル (2007)。複素数: 格子シミュレーションとゼータ関数の応用。Horwood。p. 1。ISBN 978-1-904275-25-1。
^ Descartes, René、Discours de la methode (ライデン、(オランダ): Jan Maire、1637)、付録の本: La Géométrie、第 3 巻、p. 380. 380 ページより: 「Aureste tant les vrayes racines que les fausses ne Sont pas tousjours rareles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours enimaginer autant que jay dit en Chasque Equation; mais qu」いいえquelquefois aucune quantité、qui 対応する細胞 qu'on 想像、comme encore qu'on en puisseimaginer trois en celle cy、x ³ – 6xx + 13x – 10 = 0、il n'y en a toutefois qu'une reelle、qui est 2、& pour les deux autres、quoy qu'on lesオーグメンテ、おお減少したり、説明できないような形で増加したり、あるいは、他の想像上の量が存在するかどうかわからないまま減少したり増加したりする。」（さらに、真の根も偽の根も常に実在するとは限らず、時には虚数（つまり、私が言ったように、各方程式では常にそれらの数を想像することができます。しかし、この[方程式]では3つを想像できますが、想像したものに対応する量がないこともあります。 x ³ – 6xx + 13x – 10 = 0ですが、そのうちの1つだけが実数で、それは2です。他の2つについては、先ほど説明した方法で増加、減少、または乗算しても、それらを虚数以外の量にすることができる。
^ マルティネス、アルバート A. (2006)、ネガティブマス: 数学のルールをポジティブに曲げる方法、プリンストン: プリンストン大学出版局、ISBN 0-691-12309-8は、歴史的文脈における架空の表現の意味の曖昧さについて論じています。
^ ロゼンフェルド、ボリス・アブラモビッチ (1988)。「第 10 章」。非ユークリッド幾何学の歴史: 幾何学的空間の概念の進化。シュプリンガー。p. 382。ISBN 0-387-96458-4。
^ フォン・マイヤー、アレクサンドラ（2006年）。電力システム - 概念入門。ジョン・ワイリー＆サンズ。pp. 61-62。ISBN 0-471-17859-4. 2022年1月13日閲覧。
^ Webb, Stephen (2018). 「5. 紙の上の無意味なマーク」シンボルの衝突 - グリフの豊かさを巡る旅. Springer Science+Business Media . pp. 204–205. doi :10.1007/978-3-319-71350-2_5. ISBN 978-3-319-71350-2。
^ Kuipers, JB (1999). クォータニオンと回転シーケンス: 軌道、航空宇宙、仮想現実への応用に関する入門書。プリンストン大学出版局。pp. 10–11。ISBN 0-691-10298-8. 2022年1月13日閲覧。
^ ナヒン、ポール・J. (2010)。想像上の物語:「i」[マイナス1の平方根]の物語。プリンストン大学出版局。p. 12。ISBN 978-1-4008-3029-9。12ページの抜粋

文献

ナヒン、ポール (1998)。空想の物語: −1 の平方根の物語。プリンストン: プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-02795-1。は、想像上の表現のさまざまな応用について説明します。

外部リンク

虚数が本当に存在することをどのように証明できるでしょうか? – 虚数の存在について議論する記事。
5Numbers 番組 4 BBC ラジオ 4 番組
なぜ虚数を使うのか？ 2019-08-25にWayback Machineにアーカイブ虚数の基本的な説明と用途

[1] $j$ は通常、 $i が$ 他の意味（電流など）を持つエンジニアリングの文脈で使用されます。

[2] Uno Ingard, K. (1988). 「第2章」。波動と振動の基礎。ケンブリッジ大学出版局。p. 38。ISBN 0-521-33957-X。

[3] Weisstein, Eric W. 「虚数」。mathworld.wolfram.com 。 2020年8月10日閲覧。

[4] Sinha, KC (2008). 『A Text Book of Mathematics Class XI (Second ed.)』 Rastogi Publications. p. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9。

[5] Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe (2004). 数学的解析: 近似と離散プロセス (イラスト版). Springer Science & Business Media. p. 121. ISBN 978-0-8176-4337-9。121ページの抜粋

[6] Aufmann, Richard; Barker, Vernon C.; Nation, Richard (2009). College Algebra: Enhanced Edition (6th ed.). Cengage Learning. p. 66. ISBN 978-1-4390-4379-0。

[7] ハルギッタイ、イシュトヴァーン (1992)。五重の対称性 (第 2 版)。世界科学。 p. 153.ISBN 981-02-0600-3。

[8] ロイ、スティーブン・キャンベル (2007)。複素数: 格子シミュレーションとゼータ関数の応用。Horwood。p. 1。ISBN 978-1-904275-25-1。

[9] Descartes, René、Discours de la methode (ライデン、(オランダ): Jan Maire、1637)、付録の本: La Géométrie、第 3 巻、p. 380. 380 ページより: 「Aureste tant les vrayes racines que les fausses ne Sont pas tousjours rareles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours enimaginer autant que jay dit en Chasque Equation; mais qu」いいえquelquefois aucune quantité、qui 対応する細胞 qu'on 想像、comme encore qu'on en puisseimaginer trois en celle cy、x ³ – 6xx + 13x – 10 = 0、il n'y en a toutefois qu'une reelle、qui est 2、& pour les deux autres、quoy qu'on lesオーグメンテ、おお減少したり、説明できないような形で増加したり、あるいは、他の想像上の量が存在するかどうかわからないまま減少したり増加したりする。」（さらに、真の根も偽の根も常に実在するとは限らず、時には虚数（つまり、私が言ったように、各方程式では常にそれらの数を想像することができます。しかし、この[方程式]では3つを想像できますが、想像したものに対応する量がないこともあります。 x ³ – 6xx + 13x – 10 = 0ですが、そのうちの1つだけが実数で、それは2です。他の2つについては、先ほど説明した方法で増加、減少、または乗算しても、それらを虚数以外の量にすることができる。

[Martinez-10] マルティネス、アルバート A. (2006)、ネガティブマス: 数学のルールをポジティブに曲げる方法、プリンストン: プリンストン大学出版局、ISBN 0-691-12309-8は、歴史的文脈における架空の表現の意味の曖昧さについて論じています。

[11] ロゼンフェルド、ボリス・アブラモビッチ (1988)。「第 10 章」。非ユークリッド幾何学の歴史: 幾何学的空間の概念の進化。シュプリンガー。p. 382。ISBN 0-387-96458-4。

[Meier-12] フォン・マイヤー、アレクサンドラ（2006年）。電力システム - 概念入門。ジョン・ワイリー＆サンズ。pp. 61-62。ISBN 0-471-17859-4. 2022年1月13日閲覧。

[13] Webb, Stephen (2018). 「5. 紙の上の無意味なマーク」シンボルの衝突 - グリフの豊かさを巡る旅. Springer Science+Business Media . pp. 204–205. doi :10.1007/978-3-319-71350-2_5. ISBN 978-3-319-71350-2。

[14] Kuipers, JB (1999). クォータニオンと回転シーケンス: 軌道、航空宇宙、仮想現実への応用に関する入門書。プリンストン大学出版局。pp. 10–11。ISBN 0-691-10298-8. 2022年1月13日閲覧。

[15] ナヒン、ポール・J. (2010)。想像上の物語:「i」[マイナス1の平方根]の物語。プリンストン大学出版局。p. 12。ISBN 978-1-4008-3029-9。12ページの抜粋