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数理論理学において、代数論理とは、自由変数を含む方程式を操作することによって得られる推論のことである。
現在では一般的に古典代数論理と呼ばれているものは、さまざまな論理の研究に適したモデル（これらの演繹システムの代数的意味論を構成する代数のクラスの形）の識別と代数的記述、および表現や双対性などの関連問題に焦点を当てています。ブール代数の表現定理やストーン双対性などのよく知られた結果は、古典代数論理の範疇に含まれます（Czelakowski 2003 ）。
より最近の抽象代数論理（AAL）の研究は、ライプニッツ演算子 を使用してさまざまな形式の代数化可能性を分類するなど、代数化のプロセス自体に焦点を当てています（Czelakowski 2003 ）。
同次二項関係は、ある集合XのX × Xの冪集合に見られ、異次関係はX × Yの冪集合に見られる（ただしX ≠ Y）。ある関係が 2 人の個体に対して成り立つかどうかは 1ビットの情報であるため、関係はブール演算で研究される。冪集合の要素は包含によって部分的に順序付けられ、これらの集合の束は関係の相対的な乗算または合成によって代数となる。
「基本的な演算は、集合論的な和集合、積集合、補集合、相対乗算、および変換である。」[ 1 ]
変換とは、関数理論とは異なり、常に存在する逆関係を指します。与えられた関係は論理行列で表すことができ、その逆関係は転置行列で表されます。また、他の2つの関係の合成として得られる関係は、ブール演算を用いた行列乗算によって得られる論理行列で表されます。
関係の計算の例は、質問の理論であるエロテティクスに現れる。発話の世界には、ステートメント S と質問 Q がある。Q から Sへの2つの関係πとαがある。q α aは、a が質問qへの直接の答えである場合に成立する。もう 1 つの関係q π pは、 p が質問qの前提である場合に成立する。逆の関係π T はSからQに走るので、合成π T αはS上の同次関係である。[ 2 ]適切な質問をして十分な答えを引き出す技術は、ソクラテス式対話法で認められている。
主要な二項関係の特性の説明は、関係の計算を用いて定式化されている。関数の単価性は、次の式を満たす関係Rを記述する。ここで、IはRの範囲における恒等関係である。単射性は、または、その式ここで、IはRの定義域上の恒等関数です。
しかし、一価関係は部分関数にすぎず、一価全関係は関数である。全性の公式はチャールズ・ローヴナーとギュンター・シュミットは、完全な一価関係を表す用語としてマッピングを使用している。 [ 3 ] [ 4 ]
補完関係の容易さは、オーガスタス・ド・モルガンとエルンスト・シュレーダーに、等価関係を導入するきっかけを与えた。関係Rの補集合に対して。これらの同値性は、単価関係 (）、および総関係（したがって、写像は次の式を満たす。シュミットはこの原理を「左から否定の下に滑り込む」と呼んでいる。[ 5 ]写像fの場合、
集合論に基づく関係代数構造は、タルスキによってそれを記述する公理によって超越されました。そして彼は、公理を満たすすべての代数が集合関係によって表現できるかどうかを問いました。否定的な答え[ 6 ]が抽象代数論理のフロンティアを開きました。[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]
代数論理は、代数構造（多くの場合、有界束）を特定の論理のモデル（解釈）として扱い、論理を順序理論の一分野とする。
代数論理学では：
下の表では、左の列に1つ以上の論理体系または数学体系が示され、同じ行の右の列には、それらの体系をモデル化した代数構造が示されています。これらの構造の中には、ブール代数またはその適切な拡張であるものがあります。様相論理やその他の非古典論理は、一般的に「演算子付きブール代数」と呼ばれるものによってモデル化されます。
少なくともいくつかの点で一階述語論理を超える代数形式には、以下のようなものがある。
代数論理は、おそらく形式論理への最も古いアプローチであり、 1680年代にライプニッツが書いた多数の覚書から始まったと言えるでしょう。これらの覚書の一部は19世紀に出版され、 1918年にクラレンス・ルイスによって英語に翻訳されました。 [ 10 ]： 291-305しかし、代数論理に関するライプニッツの既知の著作のほぼすべては、ルイ・クチュラがライプニッツの遺稿からそれを発見した後、1903年に出版されました。パーキンソン（1966）とロムカー（1969）は、クチュラの著作から抜粋を英語に翻訳しました。
近代数学論理学は、1847 年にジョージ・ブール[ 11 ]とオーガスタス・ド・モーガン[ 12 ]がそれぞれ著した 2 冊のパンフレットから始まった。1870年にチャールズ・サンダース・パースは、関係の論理に関する最初の著作を発表した。アレクサンダー・マクファーレンは1879 年に『論理代数の原理』[ 13 ]を発表し、1883 年にジョンズ・ホプキンス大学でパースの教え子であったクリスティン・ラッドは『論理代数について』[ 14 ]を発表した。二項関係が関係の合成と組み合わされると、論理学はより代数的になった。集合AとBの場合、AとB上の関係は、ブール代数によって記述される性質を持つA × Bの冪集合の要素として表される。「関係の計算」[ 9 ]は、おそらくライプニッツの論理学へのアプローチの集大成である。カールスルーエ応用科学大学では、エルンスト・シュレーダーが関係の計算について記述した。[ 15 ]特に彼はシュレーダー規則を定式化したが、ド・モルガンは定理Kでそれを先取りしていた。
1903年、バートランド・ラッセルは、原始概念としての計算の演算に基づいた純粋数学のバージョンとして、関係の計算と論理主義を発展させた。[ 16 ]「ブール・シュレーダー論理代数」は、1918年にカリフォルニア大学バークレー校のクラレンス・ルイスの教科書で発展した。 [ 10 ]彼は、関係の論理を2つ以上の変数の命題関数から派生したものとして扱った。
ヒュー・マッコール、ゴットロープ・フレーゲ、ジュゼッペ・ペアノ、そしてA・N・ホワイトヘッドは皆、記号論理学、数学、哲学を融合させるというライプニッツの夢を共有していた。
レオポルド・レーヴェンハイムとトーラルフ・スコレムによる代数論理に関する著作は、 1910年から1913年にかけて出版された『プリンキピア・マテマティカ』の後に発表され、タルスキは1941年の論文「関係の計算について」で関係への関心を再び高めた。[ 9 ]
ヘレナ・ラシオワによれば、「1920年から1940年にかけて、特にポーランドの論理学派では、論理行列法と呼ばれる方法によって非古典命題論理の研究が行われた。論理行列はある種の抽象代数であるため、これが論理学における代数的方法の使用につながった。」[ 17 ]
ブレイディ（2000）は、代数論理とモデル理論の豊かな歴史的つながりについて論じている。モデル理論の創始者であるエルンスト・シュレーダーとレオポルド・レーヴェンハイムは、代数論理の伝統を受け継ぐ論理学者であった。現代数理論理学の主要な分野である集合論的モデル理論の創始者であるアルフレッド・タルスキもまた、以下の点に関わっていた。
関係計算の実践において、ジャック・リゲは代数論理を用いて有用な概念を発展させた。彼は、二関数関係の概念によって、（集合上の）同値関係の概念を異種の場合に拡張した。リゲはまた、階段論理行列には補行列も階段であること、そしてNMフェラーズの定理は階段の転置の解釈から導かれることを指摘することで、順序付けを異種コンテキストに拡張した。リゲは論理ベクトルの外積をとることによって矩形関係を生成した。これらは形式概念分析の非拡大矩形に貢献する。
ライプニッツは代数論理学の発展に影響を与えなかった。なぜなら、彼の論理学に関する著作は、パーキンソンとレムカーによる翻訳以前はほとんど研究されていなかったからである。論理学者としてのライプニッツに対する現在の理解は、主にヴォルフガング・レンツェンの業績に由来しており、レンツェン（2004）に要約されている。現代の論理学や形而上学の研究が、ライプニッツの思想からどのようにインスピレーションを得て、また彼の思想を解明できるかについては、ザルタ（2000）を参照されたい。
歴史的視点
