正方形を完成させる

初等代数における二項式の二乗を計算する公式は次のとおりです。 $${\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.}$$

例えば： $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}$$

完全平方数では、xの係数はpの 2 倍であり、定数項はp ²に等しくなります。

次の二次多項式を考えてみましょう。 $${\displaystyle x^{2}+10x+28.}$$

この二次式は完全平方数ではありません。なぜなら、28は5の平方数ではないからです。 $${\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.}$$

しかし、元の二次式をこの二乗と定数の和として表すことが可能です。 $${\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}$$

これは平方完成と呼ばれます。

任意のモニック二次 $${\displaystyle x^{2}+bx+c,}$$ 最初の2つの項が同じである正方形を形成することは可能です。 $${\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.}$$

この平方式は、定数項の値のみが元の二次式と異なります。したがって、次のように書くことができます。 $${\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,}$$ どこ${\displaystyle k=c-{\frac {b^{2}}{4}}}$この操作は平方完成と呼ばれます。例： $${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}$$

次式の二次多項式が与えられた場合 $${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$$係数a を因数分解し、結果として得られる単項多項式を平方完成することが可能です。

例： $${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3[x^{2}+4x+9]\\&{}=3\left[(x+2)^{2}+5\right]\\&{}=3(x+2)^{2}+3(5)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$$係数a を因数分解するこのプロセスは、最初の 2 項からのみ因数分解することでさらに簡略化できます。多項式の末尾にある定数項を含める必要はありません。

例： $${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3\left[x^{2}+4x\right]+27\\[1ex]&{}=3\left[(x+2)^{2}-4\right]+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+3(-4)+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}-12+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$$

これにより、任意の二次多項式を次の形式で記述できます。 $${\displaystyle a(xh)^{2}+k.}$$

方程式を因数分解する方法は、根が有理数である場合にのみ信頼できるが、平方完成は、根が無理数や複素数であっても二次方程式の根を求めることができる。例えば、次の方程式を考えてみよう。 $${\displaystyle x^{2}-10x+18=0.}$$

平方完成すると $${\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,}$$ それで $${\displaystyle (x-5)^{2}=7.}$$ そして、 $${\displaystyle x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x-5={\sqrt {7}}.}$$

より簡潔に言うと： $${\displaystyle x-5=\pm {\sqrt {7}},}$$ それで $${\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}}.}$$

複素根を持つ方程式も同様の方法で処理できます。例えば： $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+4x+5&=0\\[6pt](x+2)^{2}+1&=0\\[6pt](x+2)^{2}&=-1\\[6pt]x+2&=\pm i\\[6pt]x&=-2\pm i.\end{aligned}}}$$

平方完成は、次の形式の任意の積分を評価するために使用できます。 $${\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}$$ 基本的な積分を用いて $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.}$$

例えば、次の積分を考えてみましょう。 $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}$$

分母を平方完成すると次のようになる。 $${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.}$$

これは、置換u  = x + 3 を使用して評価することができ、その結果は次のようになります。   $${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.}$$

次の表現を考えてみましょう $${\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,}$$ ここで、zとbは複素数、z ^*とb ^{*はそれぞれ}zとbの複素共役であり、cは実数である。| u | ² = uu ^*という恒等式を用いると、これを次のように書き換えることができる。 $${\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,}$$ これは明らかに実数です。なぜなら $${\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}}$$

別の例として、表現 $${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,}$$ ここで、 a、b、c、x、yは実数であり、a > 0、b > 0である。複素数の 絶対値の二乗で表すことができる。    $${\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.}$$

それから $${\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\[1ex]&{}=\left({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y\right)\left({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y\right)\\[1ex]&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\[1ex]&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}$$ それで $${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.}$$

行列Mは、 M ² = Mのときに冪等行列である。冪等行列は、0 と 1 の冪等性を一般化したものである。平方完成法は、方程式を扱う方法である。 $${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$$ これは、いくつかの冪等な2×2行列が( a , b )平面上の円によってパラメータ化されることを示しています。

マトリックス${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$冪等性を持つ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$正方形を完成させると、 $${\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.}$$ ( a , b )平面では、これは中心が(1/2, 0)で半径が1/2の円の方程式です。

書くことによって $${\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}$$ 正の数xとその逆数の和は常に 2 以上であることを示します。実数の式の二乗は常に 0 以上であり、これは上記の境界値を与えます。そして、ここではxが 1 のときにちょうど 2 となり、二乗がゼロになります。

多項式の因数分解の問題を考えてみましょう $${\displaystyle x^{4}+324.}$$

これは $${\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},}$$ したがって、中間項は 2( x ² )(18)  =  36 x ²です。したがって、 $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{a difference of two squares}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}$$ （最後の行は、項の次数が減少する慣例に従うためだけに追加されたものです。）

同じ議論から、${\displaystyle x^{4}+4a^{4}}$は常に因数分解可能 $${\displaystyle x^{4}+4a^{4}=\left(x^{2}+2ax+2a^{2}\right)\left(x^{2}-2ax+2a^{2}\right)}$$（ソフィー・ジェルマンの正体 としても知られている。）