行ベクトルと列ベクトル

線形代数では、列ベクトルは⁠${\displaystyle m}$要素は${\displaystyle m\times 1}$行列^{[ 1 ]}は、単一の列からなる${\displaystyle m}$エントリ。同様に、行ベクトルは${\displaystyle 1\times n}$行列は、1行の ⁠ から構成されます。${\displaystyle n}$エントリ。例えば、${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$は列ベクトルであり、${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$⁠は行ベクトルです。

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}.}$$ （この記事全体を通して、行ベクトルと列ベクトルの両方に太字を使用しています。）

任意の行ベクトルの転置（Tで表される）は列ベクトルであり、任意の列ベクトルの転置は行ベクトルである。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}.}$$ 転置を2回行うと、元の（行または列）ベクトルが返されます。${\displaystyle \textstyle {\bigl (}{\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{\rm {T}}={\boldsymbol {x}}}$⁠ .

与えられた領域（例えば実数）において、 n個の要素を持つすべての行ベクトルの集合はn次元ベクトル空間を形成します。同様に、 m個の要素を持つすべての列ベクトルの集合はm次元ベクトル空間を形成します。

n個の要素を持つ行ベクトルの空間は、 n個の要素を持つ列ベクトルの空間の双対空間とみなすことができる。なぜなら、列ベクトルの空間上の任意の線形汎関数は、一意の行ベクトルの左乗算として表すことができるからである。

列ベクトルを他のテキストと並べて記述する作業を簡略化するために、転置操作を適用した行ベクトルとして記述される場合がある。

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$$

列ベクトルと行ベクトルの両方を行として記述する慣例を使用する著者もいますが、行ベクトルの要素はコンマで、列ベクトルの要素はセミコロンで区切られます（下の表の代替表記2を参照）。

行列の乗算とは、一方の行列の各行ベクトルを、もう一方の行列の各列ベクトルで乗算する操作のことである。

座標空間の要素とみなされる2つの列ベクトルa、bの内積は、 aとbの転置行列の積に等しい。

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\rm {T}}\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,,}$$

ドット積の対称性により、2 つの列ベクトルa、bのドット積は、 bとaの転置行列の行列積にも等しくなります。

$${\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\rm {T}}\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,.}$$

列ベクトルと行ベクトルの行列積は、2 つのベクトルa、bの外積を与え、これはより一般的なテンソル積の一例です。 aの列ベクトル表現とbの行ベクトル表現の行列積は、それらの二進積の成分を与えます。

$${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,}$$

これは、bの列ベクトル表現とaの行ベクトル表現の行列積の転置行列です。

$${\displaystyle \mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.}$$

n × n行列M は線形写像を表し、線形写像の変換行列として行ベクトルと列ベクトルに作用します。行ベクトルvに対して、 v Mの積は別の行ベクトルpになります。

$${\displaystyle \mathbf {v} M=\mathbf {p} \,.}$$

別のn × n行列Q はpに作用することができる。

$${\displaystyle \mathbf {p} Q=\mathbf {t} \,.}$$

すると、 t = p Q = v MQと書けるので、行列積変換MQ はv を直接tにマッピングします。行ベクトルについて引き続き、n空間をさらに再構成する行列変換を、以前の出力の右側に適用できます。

n × n行列操作によって列ベクトルが別の列ベクトルに変換される場合、操作は左方向に行われます。

$${\displaystyle \mathbf {p} ^{\mathrm {T} }=M\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\,,\quad \mathbf {t} ^{\mathrm {T} }=Q\mathbf {p} ^{\mathrm {T} },}$$

^{これにより、入力vT}から合成された出力の代数式QM v ^Tが得られます。入力から行列への変換に列ベクトルを用いるこの方法では、行列変換は左から上に積み上げられます。

• ベクトルの共分散と反分散
• インデックス表記法
• 1のベクトル
• 単一エントリベクトル
• 標準単位ベクトル
• 単位ベクトル

• アクサー、シェルドン・ジェイ (1997)、線形代数の正しいやり方(第 2 版)、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 0-387-98259-0
• レイ、デイビッド C. (2005 年 8 月 22 日)、線形代数とその応用(第 3 版)、アディソン ウェスリー、ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (2001年2月15日)、『行列解析と応用線形代数』、産業応用数学会 (SIAM)、ISBN 978-0-89871-454-82001年3月1日にオリジナルからアーカイブされました
• Poole, David (2006),線形代数：現代入門（第2 版）, Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• アントン、ハワード（2005）、『初等線形代数（応用版）』（第9 版）、ワイリー・インターナショナル
• レオン、スティーブン・J. (2006)、線形代数とその応用（第7 版）、ピアソン・プレンティス・ホール