不確定系

数学では、線形方程式系または多項式方程式系は、方程式の数が未知数より少ない場合、劣決定系と見なされます^{[1] (}方程式の数が未知数より多い過剰決定系とは対照的)。この用語は、制約カウントの概念を使用して説明できます。各未知数は、利用可能な自由度と見なすことができます。システムに導入された各方程式は、 1つの自由度を制限する制約と見なすことができます。

したがって、方程式の数と自由変数の数が等しい場合、(過剰決定と不足決定の間) 臨界ケースが発生します。自由度を与えるすべての変数には、自由度を 1 つ取り除く対応する制約が存在します。対照的に、不足決定ケースは、システムが不足制約されている場合、つまり、未知数が方程式の数より多い場合に発生します。

不確定な線形システムには、解がないか、または無限に多くの解が存在します。

例えば、

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=1\\x+y+z&=0\end{aligned}}}$

は解のない不確定系である。解を持たない方程式系は矛盾していると言われる。一方、

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=1\\x+y+2z&=3\end{aligned}}}$

は矛盾がなく、( x , y , z ) = (1, −2, 2)、(2, −3, 2)、(3, −4, 2)などの無数の解があります。これらの解はすべて、まず最初の方程式から 2 番目の方程式を引くことで特徴付けられ、すべての解がz = 2に従うことが示されます。どちらの方程式でもこれを使用すると、 x = −1 − yで任意のyの値が可能であることが示されます。

より具体的には、ルーシェ・カペリ定理によれば、線形方程式のシステム（劣決定系またはそれ以外）は、拡大行列の階数が係数行列の階数よりも大きい場合矛盾します。一方、これら 2 つの行列の階数が等しい場合、システムには少なくとも 1 つの解が存在します。劣決定系ではこの階数は必然的に未知数の数よりも小さいため、実際には解の数は無限にあり、一般解はk 個の自由パラメータを持ちます。ここで、kは変数の数と階数の差です。

不確定系に解があるかどうかを判定し、解がある場合にはすべての解を変数kの線形関数として表現するアルゴリズムがあります( k は上記と同じです)。最も単純なのはガウス消去法です。詳細については、 線形方程式系を参照してください。

同次（すべての定数項がゼロ）の不確定線形システムには、常に非自明な解が存在します（すべての未知数がゼロである自明な解に加えて）。このような解は無数に存在し、ベクトル空間を形成します。ベクトル空間の次元は、未知数の個数とシステムの行列の 階数の差です。

解がないか無限に多いという線形不確定系の主な特性は、次のように 多項式方程式系にも適用されます。

未知数よりも方程式の数が少ない多項式方程式系は、不確定であるといわれる。この系は、無限個の複素解（または、より一般的には、代数的に閉じた体における解）を持つか、矛盾するかのいずれかである。0 = 1 が方程式の線形結合（多項式係数を持つ）である場合に限り、矛盾する（これはヒルベルトの零点定理である）。n変数（t < n ）のt方程式の不確定系に解がある場合、すべての複素解の集合は少なくともn - t次元の代数集合である。不確定系がランダムに選択される場合、次元は確率 1 でn - tに等しくなる。

一般に、不確定な線形方程式系には、解が存在する場合、無限の数の解が存在します。ただし、 線形等式制約に従う最適化問題では、解のうち 1 つだけが関連します。つまり、目的関数の最高値または最低値を与える解だけです。

一部の問題では、1 つ以上の変数が整数値を取るように制約されています。整数制約は、解の数が有限である可能性のある整数計画問題やディオファントス方程式問題につながります。

符号理論、特に誤り訂正符号や信号処理（圧縮センシングなど）に現れる別の種類の制約は、ゼロと異なる可能性のある変数の数の上限です。誤り訂正符号では、この上限は同時に訂正できる誤りの最大数に対応します。

• 過剰決定システム
• 正規化（数学）