ホモトピー群

数学では、ホモトピー群は代数位相幾何学で位相空間を分類するために使用されます。最初で最も単純なホモトピー群は基本群で、 と表され、空間内のループに関する情報を記録します。直感的に、ホモトピー群は位相空間の 基本的な形状、つまり穴に関する情報を記録します。${\displaystyle \pi _{1}(X),}$

n次ホモトピー群を定義するには、 n次元球面(基点) から与えられた空間 (基点 ) への基点保存写像を同値類に集め、これをホモトピー類と呼ぶ。2つの写像は、一方が他方に連続的に変形できる場合、ホモトピー的である。これらのホモトピー類は、基点を持つ与えられた空間Xのn次ホモトピー群と呼ばれる群を形成する。異なるホモトピー群を持つ位相空間が同相になることは決してないが、同相でない位相空間が同じホモトピー群を持つこと はできる。 ${\displaystyle \pi _{n}(X),}$

経路のホモトピーの概念はカミーユ・ジョルダンによって導入された。^[1]

現代数学では、カテゴリを研究する際に、そのカテゴリのすべてのオブジェクトに、関心のあるオブジェクトに関する十分な情報を保持するより単純なオブジェクトを関連付けるのが一般的です。ホモトピー群は、グループを位相空間に 関連付けるこのような方法です。

トポロジーと群の間のこのつながりにより、数学者は群論からの洞察をトポロジーに適用できます。たとえば、2 つのトポロジー オブジェクトが異なるホモトピー群を持つ場合、それらは同じトポロジー構造を持つことはできません。これは、トポロジーの手段のみを使用して証明するのが難しい場合があります。たとえば、トーラスは球とは異なります。トーラスには「穴」がありますが、球にはありません。ただし、連続性 (トポロジーの基本概念) はローカル構造のみを扱うため、明らかなグローバルな違いを正式に定義することは難しい場合があります。ただし、ホモトピー群はグローバル構造に関する情報を保持します。

例について言えば、トーラスの最初のホモトピー群は、 トーラスの普遍被覆がトーラスに写像するユークリッド平面である ため、次の式を満たします。ここで、商は、群や環ではなく、位相空間のカテゴリにあります。一方、球面は、次の式を満たします。 すべてのループは定数マップに縮約できるためです (これと、ホモトピー群のより複雑な例については、球面のホモトピー群を参照してください)。したがって、トーラスは球面と 同相ではありません。${\displaystyle T}$$${\displaystyle \pi _{1}(T)=\mathbb {Z} ^{2},}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.}$${\displaystyle S^{2}}$$${\displaystyle \pi _{1}\left(S^{2}\right)=0,}$$

n球面 では基点a を選びます。基点bを持つ空間Xについて、 基点aを基点bに写す写像のホモトピー類の集合を と 定義します。特に、同値類は球面の基点上で定数であるホモトピーによって与えられます。同様に、 をn立方体からXへの写像のホモトピー類の群でn立方体の境界をbに取るものを と定義します。 ${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \pi_{n}(X)}$$${\displaystyle f:S^{n}\to X\mid f(a)=b}$$${\displaystyle \pi_{n}(X)}$${\displaystyle g:[0,1]^{n}\to X}$

ホモトピー類は群 を形成する。群演算を定義するには、基本群において、 2つのループの積が次のように定義されること を思い出してください。${\displaystyle n\geq 1,}$${\displaystyle 高速g}$${\displaystyle f,g:[0,1]\to X}$$${\displaystyle f*g={\begin{cases}f(2t)&t\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t-1)&t\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$$

基本群における合成の考え方は、最初のパスと2番目のパスを連続して進む、または同等に、2つのドメインを一緒に設定することです。n番目のホモトピー群に必要な合成の概念は同じですが、今度は一緒に貼り付けるドメインが立方体であり、それらを面に沿って接着する必要がある点が異なります。したがって、マップの合計を次の式で 定義します。${\displaystyle f,g:[0,1]^{n}\to X}$$${\displaystyle (f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})={\begin{cases}f(2t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$$

球面に関する対応する定義については、hで構成されるマップの和を定義します。ここで、は赤道を縮小する2 つのn球面のくさび和からXへのマップであり、 hは 2 つのn球面のくさび和から、最初の球面ではfとして定義され、2 番目の球面ではgとして定義されるXへのマップです。 ${\displaystyle f+g}$${\displaystyle f,g:S^{n}\to X}$${\displaystyle \Psi}$${\displaystyle \Psi}$${\displaystyle S^{n}}$

ならば、はアーベル的である。^[2]さらに、基本群と同様に、パス連結空間では、任意の2つの基点の選択によって同型となる^[3]${\displaystyle n\geq 2,}$${\displaystyle \pi_{n}}$ ${\displaystyle \pi_{n}.}$

基点を省略してホモトピー群の定義を簡略化しようとする誘惑にかられるが、これは通常、単連結でない空間、さらにはパス連結空間に対しては機能しない。球面からパス連結空間への写像のホモトピー類の集合はホモトピー群ではなく、本質的にはホモトピー群上の基本群の軌道の集合であり、一般に自然な群構造を持たない。

これらの困難から抜け出す方法は、フィルターされた空間とn立方体の空間の高次ホモトピー群を定義することによって見つかりました。これらは、それぞれ相対ホモトピー群とn進ホモトピー群に関連しています。高次ホモトピー ファン カンペン定理により、ホモトピー群、さらにはホモトピー型に関する新しい情報を導き出すことができます。詳細な背景と参考文献については、「高次元群論」と以下の参考文献を参照してください。

位相空間にd次元境界の穴が存在することと、その穴が 1 点に連続的に縮小できない d次元球面を含むことが、この条件に限ります。これは、定数関数にホモトピックでないマッピングが存在することと、その場合に限ります。これは、 Xのd番目のホモトピー群が自明でないことに限ります。つまり、X にd次元境界の穴が存在することと、その場合に限ります。 ${\textstyle S^{d}\to X}$${\displaystyle \pi _{d}(X)\not \cong 0}$

をファイバーを持つ基点保存セールファイバー、つまりCW複体に関してホモトピーリフティング特性を持つ写像とします。Bがパス連結であると仮定します。すると、ホモトピー群の 長い正確な列が存在します。${\displaystyle p:E\to B}$${\displaystyle F,}$$${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to 0.}$$

ここで、 を含む写像は、が群ではないため群準同型ではありませんが、像が核に等しいという意味で正確です。 ${\displaystyle \pi_{0}}$${\displaystyle \pi_{0}}$

例:ホップファイバ。Bが等しく、Eが等しいとします。pをホップファイバとします。これは、長完全列から ${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{3}.}$${\displaystyle S^{1}.}$$${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(S^{1})\to \pi _{n}(S^{3})\to \pi _{n}(S^{2})\to \pi _{n-1}(S^{1})\to \cdots }$$

そして、特に、​${\displaystyle \pi _{n}(S^{1})=0}$${\displaystyle n\geq 2,}$${\displaystyle \pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})}$${\displaystyle n\geq 3.}$${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})=\pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z} .}$

被覆空間の場合、ファイバーが離散的であれば、 は に対して同型であり、はに対してすべての正の値に対してに単射的に埋め込まれ、の埋め込みに対応するの部分群はファイバーの元と 一対一の剰余類を持つことがわかります。${\displaystyle \pi _{n}(E)}$${\displaystyle \pi_{n}(B)}$${\displaystyle n>1,}$${\displaystyle \pi _{n}(E)}$${\displaystyle \pi_{n}(B)}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle \pi _{1}(B)}$${\displaystyle \pi _{1}(E)}$

ファイバ化がマッピングファイバである場合、または双対的に、共ファイバ化がマッピングコーンである場合、結果として得られる正確な（または双対的に、共正確な）シーケンスはPuppe シーケンスによって与えられます。

球面を等質空間として実現する方法は数多くあり、これらはリー群のホモトピー群を計算したり、球面からなる空間上の主束を分類したりするための優れたツールを提供します。

繊維化がある^[4]

$${\displaystyle SO(n-1)\to SO(n)\to SO(n)/SO(n-1)\cong S^{n-1}}$$

長い正確なシーケンスを与える

$${\displaystyle \cdots \to \pi _{i}(SO(n-1))\to \pi _{i}(SO(n))\to \pi _{i}\left(S^{n-1}\right)\to \pi _{i-1}(SO(n-1))\to \cdots }$$

これは、 が連結なので、の低次のホモトピー群を計算する。特に、ファイバリング ${\displaystyle \pi _{i}(SO(n-1))\cong \pi _{i}(SO(n))}$${\displaystyle i<n-1,}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle (n-2)}$

$${\displaystyle SO(3)\to SO(4)\to S^{3}}$$

の下側ホモトピー群は明示的に計算できる。となので、ファイバ化 ${\displaystyle SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3},}$

$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\to S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}}$$

となる。これと、ポストニコフシステムを使って計算できるという事実を用いると、長完全列が得られる。 ${\displaystyle \pi _{i}(SO(3))\cong \pi _{i}(S^{3})}$${\displaystyle i>1.}$${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \to {}&\pi _{4}(SO(3))\to \pi _{4}(SO(4))\to \pi _{4}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{3}(SO(3))\to \pi _{3}(SO(4))\to \pi _{3}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{2}(SO(3))\to \pi _{2}(SO(4))\to \pi _{2}(S^{3})\to \cdots \\\end{aligned}}}$$

となるので、また、接続写像は自明なので、中央の行は次式を与えます。また、には2 次元捩れがあること もわかります。${\displaystyle \pi _{2}\left(S^{3}\right)=0}$${\displaystyle \pi _{2}(SO(4))=0.}$${\displaystyle \pi _{3}(SO(4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} =\pi _{3}\left(\mathbb {RP} ^{3}\right)}$${\displaystyle \pi _{4}(SO(4))}$

ミルナー^[5]は、 上の3次元球面束を分類するためにこの事実を利用し、 に同相でしかなく に微分同相ではないミルナーの球面と呼ばれる滑らかな多様体である異種球面を見つけることができました。任意の球面束は-ベクトル束から構築でき、 は向き付けられたリーマン多様体の構造を持つことができるので、の構造群を持つことに注意してください。 ${\displaystyle \pi _{3}(SO(4))=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{4},}$${\displaystyle S^{7},}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle SO(4)}$${\displaystyle S^{3}}$

繊維化がある

$${\displaystyle S^{1}\to S^{2n+1}\to \mathbb {CP} ^{n}}$$

は単位球面である。この数列は、すべての場合の単純連結性を示すために使用できる。${\displaystyle S^{2n+1}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}.}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle n.}$

ホモトピー群の計算は、代数位相幾何学で学ぶ他のホモトピー不変量よりも一般にはるかに難しい。基本群のザイフェルト・ファン・カンペン定理や特異ホモロジーおよびコホモロジーの除去定理とは異なり、空間をより小さな空間に分割してホモトピー群を計算する簡単な方法は知られていない。しかし、1980年代に開発された、高次ホモトピー群に対するファン・カンペン型定理を含む手法により、ホモトピー型やホモトピー群の新しい計算が可能になった。サンプル結果については、Ellis と Mikhailov による 2010 年の論文を参照のこと。^[6]

トーラスなどの一部の空間では、すべての高次のホモトピー群（つまり、2 番目以降のホモトピー群）は自明です。これらはいわゆる非球面空間です。しかし、球のホモトピー群を計算するための熱心な研究にもかかわらず、2 次元でさえ完全なリストはわかっていません。1 の 4 番目のホモトピー群を計算するには、定義が示唆するよりもはるかに高度な技術が必要です。特に、セール スペクトル列はまさにこの目的のために構築されました。 ${\displaystyle S^{2}}$

n連結空間の特定のホモトピー群は、ヒューレヴィッツの定理を介してホモロジー群と比較することで計算できます。

• ファイバのホモトピー群の長い正確な列。
• Hurewicz の定理にはいくつかのバージョンがあります。
• Blakers-Massey の定理、ホモトピー群の除去としても知られています。
• フロイデンタールの停止定理、ホモトピー群の除去の系。

ホモトピー群の有用な一般化として、AがAの部分空間である対に対する相対ホモトピー群と呼ばれるものもある。${\displaystyle \pi _{n}(X),}$${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$ ${\displaystyle (X,A),}$${\displaystyle X.}$

この構築は、包含に対して各ホモトピー群上に一般には単射ではない誘導写像が存在するという観察に基づいています。実際、カーネルの要素は、代表を考え、定数写像に基底ホモトピーを適用することでわかります。言い換えると、 の他の境界成分への制限は自明です。したがって、次の構築が得られます。 ${\displaystyle i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),}$${\displaystyle i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)}$${\displaystyle f:I^{n}\to X}$${\displaystyle F:I^{n}\times I\to X}$${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle H_{I^{n}\times 1}=f,}$${\displaystyle I^{n+1}}$

このような群の元は、境界をAに持ち込む基底写像のホモトピー類です。2 つの写像がAに対してホモトピックであるとは、基底点保存ホモトピーによってホモトピックであり、内の各pと 内のtに対して、元がA内にある場合を指します。通常のホモトピー群は、 が基底点を含む単一子 である特殊なケースに対して回復されることに注意してください。${\displaystyle D^{n}\to X}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle F:D_{n}\times [0,1]\to X}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle [0,1],}$${\displaystyle F(p,t)}$${\displaystyle A=\{x_{0}\}}$

これらの群は、に対しては可換群であるが、に対しては交差加群の上群を形成し、下群は${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \pi _{1}(A).}$

プッペ列を介して得られる相対ホモトピー群の長い正確な列も存在する。

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)\to \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n-1}(A)\to \cdots }$

ホモトピー群はホモトピー理論の基礎であり、モデルカテゴリの発展を刺激しました。単体集合に対して抽象的なホモトピー群を定義することができます。

ホモロジー群は、位相空間の「穴」を表現できるという点でホモトピー群に似ています。しかし、ホモトピー群はしばしば非常に複雑で計算が困難です。対照的に、ホモロジー群は可換です（高次のホモトピー群も同様です）。そのため、「ホモロジーはホモトピーの可換な代替である」と言われることがあります。^[7] 位相空間が与えられた場合、そのn番目のホモトピー群は通常 で表され、そのn番目のホモロジー群は通常 で表されます。${\displaystyle X,}$${\displaystyle \pi _{n}(X),}$${\displaystyle H_{n}(X).}$

• 繊維化
• ホップファイブレーション
• ホップ不変量
• 結び目理論
• ホモトピー類
• 球面のホモトピー群
• 位相不変量
• 係数付きホモトピー群
• 尖ったセット

• ロナルド・ブラウン、「代数的位相幾何学における群体と交差オブジェクト」、ホモロジー、ホモトピーおよび応用、1 (1999) 1–78。
• ロナルド・ブラウン、フィリップ・J・ヒギンズ、ラファエル・シベラ、「非アーベル代数的位相幾何学：フィルター空間、交差複体、立方ホモトピー群」、EMS Tracts in Mathematics Vol. 15、703 ページ、ヨーロッパ数学協会、チューリッヒ、2011 年。doi :10.4171/083 MR 2841564
• エドゥアルド・チェフ(1932)、「HöherDimensione Homotopiegruppen」、国際数学コングレス、チューリッヒ。
• ハッチャー、アレン（2002）、代数的位相幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-79540-1
• 「ホモトピー群」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Hopf, Heinz (1931)、「Über die Abbildungen der dreiDimensionen Sphäre auf die Kugelfläche」、Mathematische Annalen、104 (1): 637–665、doi :10.1007/BF01457962。
• Kamps, Klaus H.; Porter, Timothy (1997).抽象ホモトピーと単純ホモトピー理論. River Edge, NJ: World Scientific Publishing. doi :10.1142/9789812831989. ISBN 981-02-1602-5. MR  1464944。
• 戸田 博(1962) 「球面のホモトピー群における合成法」 数学研究年報 第49巻 プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局ISBN 0-691-09586-8MR  0143217 。
• ホワイトヘッド、ジョージ・ウィリアム(1978)。ホモトピー理論の要素。数学大学院テキスト。第 61 巻 (第 3 版)。ニューヨーク-ベルリン: Springer-Verlag。pp. xxi+ 744。ISBN 978-0-387-90336-1. MR  0516508.