多線図

線形代数において、多重線形写像とは、各変数に関して個別に線形である複数の変数の関数である。より正確には、多重線形写像とは、

$${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$$

どこ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$（$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$$） そして${\displaystyle W}$は、次の性質を持つベクトル空間（または可換環上の加群）である。各 について${\displaystyle i}$すべての変数が${\displaystyle v_{i}}$一定に保たれると、${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{n})}$は、の線形関数である。${\displaystyle v_{i}}$[ ^{1 ]}これを視覚化する一つの方法は、2 つの直交ベクトルを想像することです。これらのベクトルのうち一方が 2 倍に拡大され、もう一方が変化しない場合、^外積も同様に 2 倍に拡大されます。両方が 2 倍に拡大された場合、外積は 1 倍に拡大されます。$22$。

1変数の多重線形写像は線形写像であり、2変数の多重線形写像は双線形写像である。より一般的には、任意の非負整数に対して、${\displaystyle k}$k個の変数を持つ多重線形写像はk線形写像と呼ばれます。多重線形写像の終域がスカラー体である場合、それは多重線形形式と呼ばれます。多重線形写像と多重線形形式は、多重線形代数における基本的な研究対象です。

すべての変数が同じ空間に属する場合、対称、反対称、および交代k線形写像を考えることができる。基となる環（または体）の特性が2と異なる場合、後者2つは一致するが、そうでない場合は前者2つが一致する。

• 双線形写像は多重線形写像である。例えば、上の任意の内積は${\displaystyle \mathbb {R} }$-ベクトル空間は多重線形写像であり、ベクトルの外積も同様である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$。
• 正方行列の行列式は、列（または行）の多重線形関数であり、また列（または行）の交代関数でもある。
• もし$\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$C ^k関数である場合、${\displaystyle k}$の 階微分${\displaystyle F}$各ポイントで${\displaystyle p}$その領域では対称的と見なすことができる${\displaystyle k}$線形関数$\displaystyle D^{k}\!F\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$。

させて

$${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$$

有限次元ベクトル空間間の多重線形写像であり、${\displaystyle V_{i}\!}$寸法がある${\displaystyle d_{i}\!}$、 そして${\displaystyle W\!}$寸法がある${\displaystyle d\!}$基準を選択する場合${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}}$各${\displaystyle V_{i}\!}$そして基礎${\displaystyle \{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}}$のために${\displaystyle W\!}$（ベクトルには太字を使用）すると、スカラーのコレクションを定義できます。${\displaystyle A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}}$による

$${\displaystyle f({\textbf {e}}_{1j_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}_{nj_{n}})=A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_{d}.}$$

次にスカラー${\displaystyle \{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}}$多重線形関数を完全に決定する${\displaystyle f\!}$特に、

$${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!}$$

のために${\displaystyle 1\leq i\leq n\!}$、 それから

$${\displaystyle f({\textbf {v}}_{1},\ldots ,{\textbf {v}}_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}.}$$

三線形関数を考えてみましょう

$${\displaystyle g\colon R^{2}\times R^{2}\times R^{2}\to R,}$$ ここでV _i = R ²、d _i = 2、i = 1,2,3、W = R、d = 1である。

各V _iの基底は${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}=\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\}。$させて

$${\displaystyle g({\textbf {e}}_{1i},{\textbf {e}}_{2j},{\textbf {e}}_{3k})=f({\textbf {e}}_{i},{\textbf {e}}_{j},{\textbf {e}}_{k})=A_{ijk},}$$ どこ${\displaystyle i,j,k\in \{1,2\}}$言い換えれば、定数${\displaystyle A_{ijk}}$は、8 つの可能な基底ベクトルの 3 つ組のいずれかにおける関数値です (3 つの基底ベクトルのそれぞれに 2 つの選択肢があるため)${\displaystyle V_{i}}$すなわち： $${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\}.}$$

各ベクトル${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}}$基底ベクトルの線形結合として表現できる

$${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{2}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}=v_{i1}\times {\textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0,1).}$$

任意の3つのベクトルの集合における関数値${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in R^{2}}$次のように表現できます $${\displaystyle g({\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k},}$$ または拡張形として $${\displaystyle {\begin{aligned}g((a,b),(c,d)&,(e,f))=ace\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+acf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+ade\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+adf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2})+bce\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{aligned}}}$$

多重線形マップ間には自然な一対一の対応関係が存在する

$${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$$

線形マップ

$${\displaystyle F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}}$$

どこ${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!}$は、​${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$関数間の関係${\displaystyle f}$そして${\displaystyle F}$式で与えられる

$${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}).}$$

単位元を持つ可換環K上のn × n行列上の多重線形関数は、行列の行 (または同等に列) の関数として考えることができる。Aをそのような行列とし、 a _i (1 ≤ i ≤ n)をAの行とする。このとき、多重線形関数D は次のように書ける。

$${\displaystyle D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n}),}$$

満足

$${\displaystyle D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n}).}$$

もし私たちが許せば${\displaystyle {\hat {e}}_{j}}$単位行列のj番目の行を表すと、各行a _{i は}合計として表すことができます

$${\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}.}$$

Dの多重線形性を用いて、D ( A )を次のように書き換える。

$${\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}).}$$

各a _iに対してこの置換を続けると、 1 ≤ i ≤ nに対して、

$${\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}).}$$

したがって、D ( A )はDがどのように作用するかによって一意に決定されます${\displaystyle {\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}}$。

2 × 2 行列の場合、次のようになります。

$${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{1,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})+A_{1,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2}),\,}$$

どこ${\displaystyle {\hat {e}}_{1}=[1,0]}$そして${\displaystyle {\hat {e}}_{2}=[0,1]}$制限する場合${\displaystyle D}$交代関数であるならば、${\displaystyle D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0}$そして${\displaystyle D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)}$貸す${\displaystyle D(I)=1}$2 × 2行列の行列式関数は次のようになります。

$${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}.}$$

• 多重線形写像は、引数のいずれかがゼロの場合、その値がゼロになります。

• 代数形式
• 多重線形形式
• 同次多項式
• 同次関数
• テンソル