合成代数

数学において、体K上の合成代数 Aは、K上の必ずしも結合的ではない代数であり、非退化二次形式Nが次を満たす。

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}$

A内のすべてのxとyについて。

合成代数には共役と呼ばれる反転が含まれます。二次形式は代数の ノルムと呼ばれます。${\displaystyle x\mapsto x^{*}.}$${\displaystyle N(x)=xx^{*}}$

合成代数 ( A , ∗, N ) は、AにN ( v ) = 0となる非ゼロのvが存在するかどうかによって、除算代数または分割代数のいずれかになります。これはヌルベクトルと呼ばれます。 ^[1] x がヌルベクトルでない場合、xの逆数は です。非ゼロのヌルベクトルがある場合、N は等方性二次形式であり、「代数は分割されます」。 ${\textstyle {\frac {x^{*}}{N(x)}}}$

体K上のすべての単位合成代数は、 K ( Kの標数が2と異なる場合) または 2 次元合成部分代数 ( char( K ) = 2の場合)から始めて、ケイリー-ディクソン構成を繰り返し適用することで得られます。合成代数の可能な次元は1、2、4、および8です。^{[2] [3] [4]}

• 1次元合成代数はchar( K )≠2の場合にのみ存在します。
• 1 次元と 2 次元の合成代数は、可換かつ結合的です。
• 2次元の合成代数は、Kの二次体拡大であるか、 K ⊕ Kに同型です。
• 4 次元の合成代数は四元数代数と呼ばれます。結合的ですが可換ではありません。
• 8 次元の合成代数は八元数代数と呼ばれます。結合法則も可換法則もありません。

一貫した用語法のため、次元1の代数はユニアリオン、次元2の代数はバイナリオンと呼ばれている。^[5]

あらゆる合成代数は代替代数である。^[3]

二重形式 ( _ : _ ) を使うと、A × A → Kとなり、 aのトレースは( a :1)で与えられ、共役はa * = ( a :1)e – aで与えられます。ここで e は 1 の基底元です。一連の演習により、合成代数は常に代替代数であることが証明されます。^[6]${\displaystyle (a:b)=n(a+b)-n(a)-n(b),}$

体Kが複素数 Cと二次形式z ²であるとすると、 C上の 4 つの合成代数は、 C自身、双複素数、双四元数( 2 × 2複素行列環 M(2,  C )に同型)、および複素八元数とも呼ばれる双八元数 C ⊗ Oです。

行列環M(2,  C )は長い間関心を集めてきたが、最初はハミルトン(1853)による 双四元数として、後に同型行列形式で、そして特にパウリ代数として注目されてきた。

実数体上の平方関数 N ( x ) = x ²は原始合成代数を形成する。体Kが実数Rであるとすると、他の実合成代数は 6 つだけである。^{[3] : 166} 2 次元、4 次元、8 次元では、除算代数と分割代数の両方が存在する。

二項複素数: 二次形式x ² + y ²の複素数と二次形式x ² − y ²の分割複素数、

四元数と分割四元数、

八元数と分割八元数。

すべての合成代数には、ノルムNと分極単位元で構成される関連する双線型形式B( x,y )があります。

${\displaystyle B(x,y)\ =\ [N(x+y)-N(x)-N(y)]/2.}$^[7]

平方和の合成は、初期の著者数名によって記録されていた。ディオファントスは、現在ではブラフマグプタ・フィボナッチ恒等式と呼ばれる、2つの平方和を含む恒等式を知っていました。これは、複素数を乗算した場合のユークリッドノルムの特性としても表現されています。レオンハルト・オイラーは1748年に4平方恒等式について論じ、それはWRハミルトンが4次元の四元数代数を構築するきっかけとなりました。^{[5] : 62} 1848年にテッサリンが記述され、双複素数が初めて脚光を浴びました。

1818年頃、デンマークの学者フェルディナンド・デゲンは、後に八元数代数の元の規範と結び付けられたデゲンの8平方恒等式を示した。

歴史的に、最初の非結合的代数であるケイリー数は、合成を許す二次形式に関する数論的問題の文脈で生まれました…この数論的問題は、特定の代数システム、合成代数に関する問題に変換できます… ^{[5] ：61}

1919年、レナード・ディクソンは、それまでの取り組みの調査と、四元数を2倍にしてケイリー数を得る方法を示して、ハーウィッツ問題の研究を前進させた。彼は新しい虚数単位eを導入し、四元数qとQに対してケイリー数q + Q eと書いた。四元数の共役をq ′で表すと、2つのケイリー数の積は^[8]

${\displaystyle (q+Qe)(r+Re)=(qr-R'Q)+(Rq+Qr')e.}$

ケイリー数の共役はq' – Q eであり、その共役数を乗じた二次形式はqq ′ + QQ ′である。この倍加法はケイリー・ディクソン構成と呼ばれるようになった。

1923 年に、正定値形式を持つ実代数の場合が、フルヴィッツの定理 (合成代数)によって限定されました。

1931年、マックス・ゾーンはディクソン構成の乗法則にガンマ（γ）を導入し、分割八元数を生成した。^[9] エイドリアン・アルバートも1942年にガンマを使用し、ディクソン倍加法を平方関数を持つ任意 の体に適用して、二次形式を持つ二元数、四元数、八元数代数を構築できることを示した。 ^[10]ネイサン・ジェイコブソンは1958年に合成代数の自己同型性を説明した。^[2]

RとC上の古典的な合成代数は単位代数である。乗法単位元を持たない合成代数は、 H.P.ピーターソン（ピーターソン代数）や大久保進（大久保代数）らによって発見された。 ^{[11] ：463–81}

• フロイデンタールの魔方陣
• フィスターフォーム
• トライアリティ

Wikibooksには、結合合成代数に関する本があります。

• ファラウト、ジャック、コラーニ、アダム(1994)。対称円錐の解析。オックスフォード数学モノグラフ。クラレンドン プレス、オックスフォード大学出版局、ニューヨーク。pp. 81–86。ISBN 0-19-853477-9. MR  1446489。
• ラム、ツィットユエン(2005)。体上の二次形式入門。数学大学院研究。第 67 巻。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-1095-2.ZBL1068.11023  。​
• ハーヴェイ、F. リース (1990)。スピノルおよびキャリブレーション。数学の展望。第 9 巻。サンディエゴ:アカデミック プレス。ISBN 0-12-329650-1.ZBL0694.53002  。​