一貫性のある方程式と一貫性のない方程式

数学、特に代数において、方程式系（線型または非線型）は、その系内の各方程式を満たす未知数の値の集合が少なくとも1つ存在する場合、つまり各方程式に代入すると各方程式が恒等式として成立する場合に、矛盾があると呼ばれます。対照的に、線型または非線型方程式系は、すべての方程式を満たす未知数の値の集合が存在しない場合には矛盾があると呼ばれます。 ^{[1] [2]}

連立方程式に矛盾がある場合、方程式は共に真となることはできず、2 = 1やおよび(つまり5 = 6 ) などの誤った記述など、矛盾した情報につながります。 ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=5}$${\displaystyle x^{3}+y^{3}=6}$

矛盾した方程式システムと矛盾しない方程式システムの両方のタイプの方程式システムは、過剰決定(未知数よりも方程式の数が多い)、不十分決定(未知数よりも方程式の数が少ない)、または正確に決定された状態のいずれかになります。

システム

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=3,\\x+y+2z&=4\end{aligned}}}$

には無限の数の解があり、それらはすべてz = 1となります(最初の式から 2 番目の式を引くとわかります)。したがって、xとyの任意の値に対して、それらはすべてx + y = 2となります。

非線形システム

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=10,\\x^{2}+y^{2}&=5\end{aligned}}}$

無限の解決策があり、すべて${\displaystyle z=\pm {\sqrt {5}}.}$

これらのシステムはそれぞれ複数の解を持つため、不確定システムです。

システム

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=3,\\x+y+z&=4\end{aligned}}}$

最初の方程式から 2 番目の方程式を引くと、不可能な0 = 1が得られることからわかるように、解は存在しません。

非線形システム

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=17,\\x^{2}+y^{2}+z^{2}&=14\end{aligned}}}$

解は存在しません。なぜなら、一方の方程式をもう一方の方程式から減算すると、不可能な0 = 3が得られるからです。

システム

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=5\end{aligned}}}$

解は 1 つだけあります: x = 1、y = 2

非線形システム

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=1,\\x^{2}+y^{2}&=1\end{aligned}}}$

には、 ( x, y ) = (1, 0)と( x, y ) = (0, 1)の2つの解があるが、

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}&=10,\\x^{3}+2y^{3}+z^{3}&=12,\\3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}&=34\end{aligned}}}$

3 番目の方程式は最初の方程式に 2 番目の方程式の 2 倍を加えたものであり、独立した情報を含まないため、無限の数の解が存在します。したがって、 zの値は任意に選択でき、xとyの値は最初の 2 つの方程式 (したがって 3 番目の方程式) を満たすように見つけることができます。

システム

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\4x+4y&=10\end{aligned}}}$

解は存在しません。最初の方程式に 4 を掛け、2 番目の方程式を引くと、不可能な0 = 2が得られるため、矛盾がわかります。

同じく、

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}&=10,\\x^{3}+2y^{3}+z^{3}&=12,\\3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}&=32\end{aligned}}}$

これは矛盾したシステムです。最初の方程式を 2 倍して 2 番目を 3 番目に引いた値に0 = 2 という矛盾が含まれているからです。

システム

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=7,\\4x+6y&=20\end{aligned}}}$

最初の 2 つの式は互いに矛盾せず、3 番目の式は冗長 (最初の 2 つの式のそれぞれに 2 を掛けて合計することで得られる情報と同じ情報が含まれているため)であるため、解は x = –1、y = 4 となります。

システム

${\displaystyle {\begin{aligned}x+2y&=7,\\3x+6y&=21,\\7x+14y&=49\end{aligned}}}$

3 つの方程式はすべて同じ情報を与えるため (最初の方程式に 3 または 7 を掛けるとわかります)、この方程式には無限の解があります。y の任意の値は解の一部であり、対応するxの値は7 – 2 yです。

非線形システム

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-1&=0,\\y^{2}-1&=0,\\(x-1)(y-1)&=0\end{aligned}}}$

3つの解は( x, y ) = (1, –1), (–1, 1), (1, 1)です。

システム

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=7,\\4x+6y&=21\end{aligned}}}$

最初の 2 つの式をそれぞれ 2 倍にして合計するとわかるように、最後の式が最初の 2 つの式に埋め込まれた情報と矛盾するため、矛盾が生じます。

システム

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=1,\\x^{2}+2y^{2}&=2,\\2x^{2}+3y^{2}&=4\end{aligned}}}$

最初の 2 つの方程式の合計が 3 番目の方程式と矛盾するため、矛盾しています。

上記の例からわかるように、一貫性と不一致は、方程式と未知数の数を比較することとは異なる問題です。

線形システムは、その係数行列の階数がその拡張行列（追加の列が追加された係数行列で、その列は定数の列ベクトル） と同じである場合にのみ、一貫性があります。