位相群

位相群の準同型は、連続群準同型として定義される。${\displaystyle G\to H}$位相群とその準同型写像は圏を形成する。位相群間の群準同型写像は、ある点で連続である場合に限り連続である。^{[ 4 ]}

位相群の同型写像とは、基となる位相空間の同相写像でもある群同型写像のことである。これは単に連続な群同型写像を要求するよりも強い条件であり、逆写像も連続でなければならない。通常の群としては同型であるが、位相群としては同型ではない位相群の例も存在する。

例えば、G を任意の群とする。G には少なくとも 2 つの位相、すなわち離散位相または非離散位相を適用することができ、どちらの位相も群演算を連続にする。離散位相を持つ群を次のように表す。${\displaystyle (G,{\mathcal {T}}_{1})}$、そして離散的でない位相を持つ群は${\displaystyle (G,{\mathcal {T}}_{2})}$アイデンティティマップ${\displaystyle I:(G,{\mathcal {T}}_{1})\to (G,{\mathcal {T}}_{2})}$定義される${\displaystyle I(g)=g}$は連続群同型ですが、位相群の同型ではありません（もし${\displaystyle G}$（自明なグループではない）。

すべての位相群の位相は並進不変量とは、定義上、任意のに対して${\displaystyle a\in G,}$この要素による左または右の乗算は同相写像を生み出す${\displaystyle G\to G.}$これにより、すべての位相群が均質な空間 となる。したがって、任意の${\displaystyle a\in G}$そして${\displaystyle S\subseteq G,}$部分集合${\displaystyle S}$開いている（または閉じている）${\displaystyle G}$これは左翻訳について真である場合に限る。${\displaystyle aS:=\{as:s\in S\}}$そして正しい翻訳${\displaystyle Sa:=\{sa:s\in S\}.}$ もし${\displaystyle {\mathcal {N}}}$位相群における単位元の近傍基底である。${\displaystyle G}$そしてすべての${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x{\mathcal {N}}:=\{xN:N\in {\mathcal {N}}\}}$ 近隣ベース${\displaystyle x}$で${\displaystyle G.}$^{[ 4 ]} 特に、位相群上の任意の群位相は、単位元における任意の近傍基底によって完全に決定される。${\displaystyle S}$は、${\displaystyle G}$そして${\displaystyle U}$は、の開部分集合である。${\displaystyle G,}$それから${\displaystyle SU:=\{su:s\in S,u\in U\}}$は、の開部分集合である。${\displaystyle G.}$^{[ 4 ]}

反転操作${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$位相群について${\displaystyle G}$は同相写像である${\displaystyle G}$それ自体に対して。

サブセット${\displaystyle S\subseteq G}$対称であるとは、${\displaystyle S^{-1}=S,}$どこ${\displaystyle S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}.}$E が位相群Gの任意の部分集合である場合、集合E ⁻¹ ∩ E、E ⁻¹ ∪ E、およびE ⁻¹ Eは対称である。アーベル群Gの場合、すべての対称集合の閉包は対称である。^{[ 4 ]}

単位元の可換位相群G内の任意の近傍Nに対して、単位元の対称近傍Mが存在し、 M ⁻¹ M ⊆ Nとなる。ここで、 M ⁻¹ Mは必ず単位元の対称近傍であることに注意する。 ^{[ 4 ]} したがって、すべての位相群は、対称集合からなる単位元の近傍基底を持つ。

Gが局所コンパクト可換群である場合、単位元のG内の任意の近傍Nに対して、 cl M ⊆ Nとなるような、単位元の対称相対コンパクト近傍Mが存在する( cl Mも対称である)。^{[ 4 ]}

すべての位相群は、2 つの方法で一様空間として見なすことができます。左一様性はすべての左乗法を一様連続写像に変換し、右一様性はすべての右乗法を一様連続写像に変換します。^{[ 5 ]} Gがアーベル群でない 場合、これら 2 つは必ずしも一致しません。一様構造により、位相群上の完全性、一様連続性、一様収束などの概念について議論することができます。

U が可換位相群Gの開部分集合であり、U がコンパクト集合Kを含む場合、単位元の近傍Nが存在し、 KN ⊆ Uとなる。^{[ 4 ]}

一様空間として、すべての可換位相群は完全正則である。したがって、単位元が 1 である乗法位相群Gについては、以下は同値である。^{[ 4 ]}

1. Gは_T0空間（コルモゴロフ空間）である。
2. Gは_T2空間（ハウスドルフ空間）である。
3. GはT _{3 1/2}（_チコノフ）で_ある。
4. { 1 }はGにおいて閉じている。
5. { 1 }  := ∩ N ∈ 𝒩 N、ここで𝒩はGの単位元の近傍基底です。
6. いかなる場合でも${\displaystyle x\in G}$そのため${\displaystyle x\neq 1,}$単位元Gの近傍Uが存在し、${\displaystyle x\not \in U.}$

可換位相群の部分群は、孤立点を持つ場合に限り離散的である。^{[ 4 ]}

Gがハウスドルフ群でない場合、単位元の閉包である商群G / Kに移行することでハウスドルフ群を得ることができます。 ^{[ 6 ]}これはGのコルモゴロフ商 を取ることと同等です。

させて${\displaystyle G}$位相群である。あらゆる位相空間と同様に、${\displaystyle G}$メトリックが存在する場合に限り、メトリック化可能である。${\displaystyle d}$の上${\displaystyle G}$これは、同じトポロジーを誘導する${\displaystyle G}$指標${\displaystyle d}$の上${\displaystyle G}$と呼ばれる

• 左不変（または右不変）であるのは、以下の条件を満たす場合のみである。${\displaystyle d(ax_{1},ax_{2})=d(x_{1},x_{2})}$(それぞれ)${\displaystyle d(x_{1}a,x_{2}a)=d(x_{1},x_{2})}$) すべての${\displaystyle a,x_{1},x_{2}\in G}$（同等に、${\displaystyle d}$マップが左不変である場合${\displaystyle x\mapsto ax}$は等長変換です${\displaystyle (G,d)}$それぞれに${\displaystyle a\in G}$)
• すべてのオープンボールが適切な場合に限り、${\displaystyle B(r)=\{g\in G\mid d(g,\mathbf {1} )<r\}}$のために${\displaystyle r>0}$は、事前に圧縮されています。

バーコフ・カクタニの定理（数学者のギャレット・バーコフと静雄カクタニにちなんで名付けられた）は、位相群に関する次の3つの条件が成り立つことを述べている。${\displaystyle G}$同等である: ^{[ 7 ]}

1. ${\displaystyle G}$（ハウスドルフと）第一可算（同等に：単位元）${\displaystyle \mathbf {1} }$閉鎖中${\displaystyle G}$近隣地域には数えられる基盤があり、${\displaystyle \mathbf {1} }$で${\displaystyle G}$)
2. ${\displaystyle G}$（位相空間として）距離化可能である。
3. 左不変な計量が存在する${\displaystyle G}$与えられたトポロジーを誘導する${\displaystyle G}$。
4. 右不変な計量が存在する${\displaystyle G}$与えられたトポロジーを誘導する${\displaystyle G}$。

さらに、以下のことは任意の位相群に対して同等である。${\displaystyle G}$:

1. ${\displaystyle G}$これは、第2の可算局所コンパクト（ハウスドルフ）空間である。
2. ${\displaystyle G}$ポーランドの、地域的にコンパクトな（ハウスドルフ）空間である。
3. ${\displaystyle G}$（位相空間として）適切に距離化可能である。
4. 左不変で適切な計量が存在する${\displaystyle G}$与えられたトポロジーを誘導する${\displaystyle G}$。

注：この記事の他の部分と同様に、ここではハウスドルフ位相を仮定します。その意味合いは4${\displaystyle \Rightarrow }$3${\displaystyle \Rightarrow }$2${\displaystyle \Rightarrow }$1 任意の位相空間で成り立つ。特に 3${\displaystyle \Rightarrow }$2 は成り立つ。特に、適切に距離化可能な空間は、コンパクト距離化可能で、したがって分離可能な（コンパクト距離空間の性質を参照 ）部分集合の可算和集合である。非自明な含意 1${\displaystyle \Rightarrow }$4 は 1974 年に Raimond Struble によって最初に証明されました。^{[ 8 ]}別のアプローチは2006 年にUffe Haagerupと Agata Przybyszewska によって行われました。 ^{[ 9 ]} そのアイデアは次のとおりです。左不変計量の構成に依存します。${\displaystyle d_{0}}$第一可算空間の場合と同様である。局所コンパクト性により、十分に小さな半径の閉球はコンパクトであり、正規化により、半径に対してこれが成り立つと仮定できる。${\displaystyle 1}$開いたボールを閉じる、${\displaystyle U}$半径${\displaystyle 1}$乗算の下では、開部分群が得られる。${\displaystyle H}$、 の${\displaystyle G}$指標は${\displaystyle d_{0}}$適切です。${\displaystyle H}$開いていて${\displaystyle G}$が第２可算群である場合、部分群は可算個の剰余類を持つ。ここで、この剰余類の列と距離が使用される。${\displaystyle H}$適切な指標を構築する${\displaystyle G}$。

位相群のすべての部分群は、部分空間位相が与えられたとき、それ自体が位相群になります。すべての開部分群Hは、 Gにおいて閉部分群でもあります。なぜなら、 Hの補集合は、 g ∈ G \ Hの剰余類gHの和集合によって与えられる開集合であり、これらは開集合だからです。HがGの部分群である場合、 Hの閉包も部分群になります。同様に、HがGの正規部分群である場合、 Hの閉包はGにおいて正規です。

HがGの部分群である場合、商位相を持つ左剰余類 の集合G / Hは、 Gの同質空間と呼ばれる。商写像${\displaystyle q:G\to G/H}$は常に開いている。例えば、正の整数nに対して、球面S ^{n は}回転群SO( n +1)の同質空間である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$、S ⁿ = SO( n +1)/SO( n )である。同次空間G / Hは、 HがGで閉じている場合に限りハウスドルフである。^{[ 10 ]} 部分的にはこの理由から、位相群を研究する際には閉じた部分群に焦点を当てるのが自然である。

HがGの正規部分群である場合、商群G / H は商位相が与えられたときに位相群になります。HがGにおいて閉群である場合に限り、ハウスドルフ群となります。例えば、商群${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$は円群S ¹と同型である。

任意の位相群において、単位元を含む連結成分（すなわち、単位元を含む連結成分）は閉正規部分群である。Cが単位元であり、aがGの任意の点である場合、左剰余類aC はa を含むGの成分である。したがって、 GにおけるCのすべての左剰余類（または右剰余類）の集合は、Gのすべての成分の集合と等しい。したがって、商群G / Cは完全に不連結である。^{[ 11 ]}

可換位相群では、コンパクト集合Kと閉集合Cの積 (群が乗法的であると仮定) KC は閉集合である。^{[ 4 ]}さらに、 Gの任意の 部分集合RとSに対して、(cl R )(cl S ) ⊆ cl( RS )が成り立つ。^{[ 4 ]}

H が可換位相群Gの部分群であり、N がGにおける単位元の近傍で、 H ∩ cl Nが閉集合であるならば、Hは閉集合である。^{[ 4 ]} ハウスドルフ可換位相群のすべての離散部分群は閉集合である。^{[ 4 ]}

The isomorphism theorems from ordinary group theory are not always true in the topological setting. This is because a bijective homomorphism need not be an isomorphism of topological groups.

For example, a native version of the first isomorphism theorem is false for topological groups: if ${\displaystyle f:G\to H}$ is a morphism of topological groups (that is, a continuous homomorphism), it is not necessarily true that the induced homomorphism ${\displaystyle {\tilde {f}}:G/\ker f\to \mathrm {Im} (f)}$ is an isomorphism of topological groups; it will be a bijective, continuous homomorphism, but it will not necessarily be a homeomorphism. In other words, it will not necessarily admit an inverse in the category of topological groups. For example, consider the identity map from the set of real numbers equipped with the discrete topology to the set of real numbers equipped with the Euclidean topology. This is a group homomorphism, and it is continuous because any function out of a discrete space is continuous, but it is not an isomorphism of topological groups because its inverse is not continuous.

There is a version of the first isomorphism theorem for topological groups, which may be stated as follows: if ${\displaystyle f:G\to H}$ is a continuous homomorphism, then the induced homomorphism from G/ker(f) to im(f) is an isomorphism if and only if the map f is open onto its image.^[12]

The third isomorphism theorem, however, is true more or less verbatim for topological groups, as one may easily check.

本稿では、今後考察する位相群はすべて単位元を持つ加法的可換位相群であると仮定する。${\displaystyle 0.}$

対角線​​${\displaystyle X}$セットは $${\displaystyle \Delta _{X}:=\{(x,x):x\in X\}}$$ そしてどんな${\displaystyle N\subseteq X}$含む${\displaystyle 0,}$正典の周辺または正典の近隣${\displaystyle N}$セットは $${\displaystyle \Delta _{X}(N):=\{(x,y)\in X\times X:x-y\in N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]=\Delta _{X}+(N\times \{0\})}$$

位相群の場合${\displaystyle (X,\tau ),}$正準均一性^{[ 21 ]}${\displaystyle X}$これは、すべての標準的なアントラージュの集合によって誘導される均一な構造である。${\displaystyle \Delta (N)}$として${\displaystyle N}$あらゆる地域に及ぶ${\displaystyle 0}$で${\displaystyle X.}$

つまり、それは次のプリフィルタの上方閉包である。${\displaystyle X\times X,}$$${\displaystyle \left\{\Delta (N):N{\text{ is a neighborhood of }}0{\text{ in }}X\right\}}$$ ここで、この前処理フィルターは、正準均一性の周囲関係の基底として知られているものを形成する。

可換加法群の場合${\displaystyle X,}$基本的な側近システム${\displaystyle {\mathcal {B}}}$は、すべてのに対して、並進不変な均一性と呼ばれる。${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$${\displaystyle (x,y)\in B}$かつその場合に限り${\displaystyle (x+z,y+z)\in B}$すべての人々のために${\displaystyle x,y,z\in X.}$均一性${\displaystyle {\mathcal {B}}}$周囲関係の基底が並進不変である場合、並進不変であると呼ばれる。 ^{[ 22 ]}

• 任意の可換位相群における正準一様性は、並進不変である。
• 原点のすべての近傍をフィルターとして用いるのではなく、原点の近傍を基底として用いることによっても、同様の正準的な均一性が得られる。
• すべての取り巻き${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$対角線を含む${\displaystyle \Delta _{X}:=\Delta _{X}(\{0\})=\{(x,x):x\in X\}}$なぜなら${\displaystyle 0\in N.}$
• もし${\displaystyle N}$対称である（つまり、${\displaystyle -N=N}$） それから${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$対称である（つまり、${\displaystyle \Delta _{X}(N)^{\operatorname {op} }=\Delta _{X}(N)}$） そして ${\displaystyle \Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)=\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]=\Delta _{X}+(N\times N).}$
• 誘導されたトポロジー${\displaystyle X}$正準一様性によって、それは位相と同じである。${\displaystyle X}$（つまり、それは${\displaystyle \tau }$)

一様空間の一般理論には、「コーシー前フィルター」と「コーシーネット」の独自の定義があります。${\displaystyle X,}$これらは、以下に説明する定義に集約されます。

仮定する${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ネットは${\displaystyle X}$そして${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}}$ネットは${\displaystyle Y.}$作る${\displaystyle I\times J}$宣言することで有向集合にする${\displaystyle (i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)}$かつその場合に限り${\displaystyle i\leq i_{2}{\text{ and }}j\leq j_{2}.}$そして^{[ 23 ]}${\displaystyle x_{\bullet }\times y_{\bullet }:=\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$正味の製品を表します。${\displaystyle X=Y}$次に、加算マップの下にあるこのネットの画像${\displaystyle X\times X\to X}$これは、これら2つのネットの 合計を表します。$${\displaystyle x_{\bullet }+y_{\bullet }:=\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$ 同様に、それらの差は、減算マップによる積ネットの像として定義される。 $${\displaystyle x_{\bullet }-y_{\bullet }:=\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.}$$

ネット​${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$加法的位相群において${\displaystyle X}$がコーシーネットと呼ばれる場合^{[ 24 ]}$${\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0{\text{ in }}X}$$ または同等に、すべての近隣地域について${\displaystyle N}$の${\displaystyle 0}$で${\displaystyle X,}$いくつか存在する${\displaystyle i_{0}\in I}$そのため ${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in N}$すべてのインデックスについて${\displaystyle i,j\geq i_{0}.}$

コーシー列とは、列であるコーシーネットのことである。

もし${\displaystyle B}$加法群の部分集合である${\displaystyle X}$そして${\displaystyle N}$は、${\displaystyle 0,}$それから${\displaystyle B}$と言われている${\displaystyle N}$-少量セットまたは少量の注文${\displaystyle N}$もし${\displaystyle B-B\subseteq N.}$^{[ 25 ]}

プレフィルター${\displaystyle {\mathcal {B}}}$加法的位相群について${\displaystyle X}$以下のいずれかの条件を満たす場合、コーシー前フィルタと呼ばれます。

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$で${\displaystyle X,}$どこ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}:=\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}}$これはプリフィルターです。
2. ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$で${\displaystyle X,}$どこ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}}$は、以下のプリフィルターと同等です。${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}.}$
3. すべての地域${\displaystyle N}$の${\displaystyle 0}$で${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$いくつか含まれています${\displaystyle N}$-小さな集合（つまり、いくつかの${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$そのため${\displaystyle B-B\subseteq N}$) ^{[ 25 ]}

そしてもし${\displaystyle X}$可換性も成り立つ。

4. すべての地域${\displaystyle N}$の${\displaystyle 0}$で${\displaystyle X,}$いくつか存在する${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$そしていくつか${\displaystyle x\in X}$そのため${\displaystyle B\subseteq x+N.}$^{[ 25 ]}

• 任意の近隣ベースで上記の条件のいずれかをチェックすれば十分です。${\displaystyle 0}$で${\displaystyle X.}$

仮定する${\displaystyle {\mathcal {B}}}$可換位相群上の前置フィルターである${\displaystyle X}$そして${\displaystyle x\in X.}$それから${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$で${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}}$そして${\displaystyle {\mathcal {B}}}$コーシーである。^{[ 23 ]}

任意の${\displaystyle S\subseteq X,}$プレフィルター${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の上${\displaystyle S}$は必然的に の部分集合である${\displaystyle \wp (S)}$つまり、${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).}$

サブセット${\displaystyle S}$位相群の${\displaystyle X}$以下のいずれかの条件を満たす場合、完全部分集合と呼ばれる。

1. すべてのコーシー前フィルター${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)}$の上${\displaystyle S}$少なくとも１つの点に収束する${\displaystyle S.}$
   • もし${\displaystyle X}$ハウスドルフであれば、すべてのプリフィルターは${\displaystyle S}$最大で 1 つの点に収束します${\displaystyle X.}$しかしもし${\displaystyle X}$ハウスドルフ空間でない場合、プリフィルターは複数の点に収束する可能性がある。${\displaystyle X.}$ネットについても同様です。
2. すべてのコーシーネット${\displaystyle S}$少なくとも１つの点に収束する${\displaystyle S}$;
3. すべてのコーシーフィルター${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の上${\displaystyle S}$少なくとも１つの点に収束する${\displaystyle S.}$
4. ${\displaystyle S}$は、（点集合トポロジーにおける「完全一様空間」の定義の下で）完全一様空間である。${\displaystyle S}$は、正準均一性によってもたらされる均一性を備えている。${\displaystyle X}$;

サブセット${\displaystyle S}$は、 のすべてのコーシー列が である場合、逐次完全部分集合と呼ばれます。${\displaystyle S}$（あるいは同等に、すべての基本的なコーシーフィルター/プリフィルター${\displaystyle S}$) は少なくとも 1 つの点に収束する${\displaystyle S.}$

• 重要なことに、${\displaystyle S}$許可されています: もし${\displaystyle X}$ハウスドルフではなく、すべてのコーシー前フィルターが${\displaystyle S}$ある一点に収束する${\displaystyle S,}$それから${\displaystyle S}$コーシー前フィルターの一部または全部が${\displaystyle S}$また、補集合内の点にも収束する${\displaystyle X\setminus S.}$要するに、これらのコーシー前フィルターが${\displaystyle S}$のみに収束する${\displaystyle S.}$コーシーネットの収束についても同じことが言える。${\displaystyle S.}$
  • その結果、可換位相群の場合${\displaystyle X}$がハウスドルフでない ならば、${\displaystyle \{0\},}$言う${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} \{0\},}$は完全である（明らかにコンパクトであり、すべてのコンパクト集合は必然的に完全であるため）。したがって、特に、${\displaystyle S\neq \varnothing }$（例えば、${\displaystyle S}$a は、次のような単一要素集合です。${\displaystyle S=\{0\}}$） それから${\displaystyle S}$コーシーネットはすべて完成するだろう${\displaystyle S}$（そしてすべてのコーシー前フィルター${\displaystyle S}$) は、のすべての点に収束します。${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$（これらのポイントを含める）${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$含まれていないもの${\displaystyle S}$)
  • この例は、非ハウスドルフ空間の完全部分集合（実際にはコンパクト部分集合でさえも）が閉じていない可能性があることも示しています（例えば、${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} \{0\}}$それから${\displaystyle S}$が閉じているのは、${\displaystyle S=\operatorname {cl} \{0\}}$)

可換位相群${\displaystyle X}$以下のいずれかの同値条件が満たされる場合、完全群と呼ばれる。

1. ${\displaystyle X}$は、それ自身に関する部分集合として完全である。
2. すべてのコーシーネット${\displaystyle X}$少なくとも１つの点に収束する${\displaystyle X.}$
3. 近隣には${\displaystyle 0}$で${\displaystyle X}$それはまた完全な部分集合でもある${\displaystyle X.}$^{[ 25 ]}
   • これは、すべての局所コンパクト可換位相群が完備であることを意味する。
4. その規範的な均一性を備えているとき、${\displaystyle X}$は完全な均一空間になります。
   • 一様空間の一般理論において、一様空間は、各コーシーフィルターが${\displaystyle X}$収束する${\displaystyle (X,\tau )}$ある時点で${\displaystyle X.}$

位相群が、それ自身の部分集合として順次完全である場合、その位相群は順次完全であると呼ばれる。

近隣ベース：${\displaystyle C}$可換位相群の完備化である${\displaystyle X}$と${\displaystyle X\subseteq C}$そしてそれは${\displaystyle {\mathcal {N}}}$は、起源の近隣拠点です。${\displaystyle X.}$次に集合の族 $${\displaystyle \left\{\operatorname {cl} _{C}N:N\in {\mathcal {N}}\right\}}$$ 起源は近隣ベースです${\displaystyle C.}$^{[ 23 ]}

均一な連続性

させて${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$位相群である、${\displaystyle D\subseteq X,}$そして${\displaystyle f:D\to Y}$地図になる。それから${\displaystyle f:D\to Y}$すべての近傍に対して、一様連続である。${\displaystyle U}$起源の${\displaystyle X,}$近隣地域が存在する${\displaystyle V}$起源の${\displaystyle Y}$すべての${\displaystyle x,y\in D,}$もし${\displaystyle y-x\in U}$それから${\displaystyle f(y)-f(x)\in V.}$