因数分解

数学において、因数分解（または因数分解、英語の綴りの違いを参照）とは、数やその他の数学的対象を、通常は同じ種類のより小さいまたはより単純な対象である複数の因数の積として表すことです。たとえば、 $3 \times 5$ は $15$ の整数因数分解であり、 $($ $x$ $- 2)($ $x$ $+ 2)は$ $x$ $2$ $- 4$ の多項式因数分解です。

実数や複素数など、除算を持つ数体系では、因数分解は通常意味がないと考えられています。 $x$ は簡単に次のように書ける $(xy)\times (1/y)$ いつでも $y$ はゼロではありません。ただし、有理数または有理関数の意味のある因数分解は、それを既約分数で表し、分子と分母を別々に因数分解することによって得られます。

因数分解は、古代ギリシャの数学者たちが整数に関して初めて考察したものです。彼らは算術の基本定理を証明しました。この定理は、すべての正の整数は素数の積に因数分解でき、その素数は1より大きい整数にさらに因数分解できないと主張しています。さらに、この因数分解は因数の位数を除いて一意です。整数の因数分解は乗算の逆演算のようなものですが、アルゴリズム的にははるかに難しく、この事実はRSA暗号システムにおいて公開鍵暗号を実現するために利用されています。

多項式の因数分解も何世紀にもわたって研究されてきました。初等代数学では、多項式の因数分解は、その根を求める問題を因数の根を求める問題に帰着させます。係数が整数または体である多項式は、一意因数分解性を持ちます。これは、素数を既約多項式に置き換えた算術の基本定理の一種です。特に、複素係数を持つ一変数多項式は、線形多項式への一意の（順序を除いて）因数分解が可能です。これは、代数学の基本定理の一種です。この場合、因数分解は根探索アルゴリズムで行うことができます。整数係数を持つ多項式のケースは、コンピュータ代数にとって基本的です。有理数係数を持つ多項式の環内での（完全な）因数分解を計算するための効率的なコンピュータアルゴリズムがあります（多項式の因数分解を参照）。

一意分解性を持つ可換環を一意分解領域と呼ぶ。代数的整数環など、一意分解領域ではない数体系も存在する。しかし、代数的整数環は、デデキント領域のより弱い性質、すなわちイデアルが素イデアルに一意に分解されるという性質を満たす。

因数分解は、数学的対象をより小さく単純な対象の積に分解する、より一般的な方法を指す場合もあります。たとえば、すべての関数は、全射関数と単射関数の合成に因数分解できます。行列には、多くの種類の行列因数分解があります。たとえば、すべての行列は、対角成分がすべて 1 である下三角行列 $L 、$ 上三角行列 $U$ 、および置換行列 $P$ の積として一意のLUP因数分解を持ちます。これは、ガウス消去法の行列表現です。

整数

算術の基本定理によれば、1より大きいすべての整数は、素数への一意的な因数分解（因数の次数を除いて）を持ち、素数とは、1より大きい整数の積にそれ以上因数分解できない整数のことである。

$整数n$ の因数分解を計算するには、 $n$ の約数 $q を$ 見つけるか、 $nが素数であることを判定する$ アルゴリズムが必要です。そのような約数が見つかったら、このアルゴリズムを因数 $q$ と $n$ $/$ $q$ に繰り返し適用することで、最終的に $n$ の完全な因数分解が得られます。^[¹^]

$n$ の約数 $qを見つけるには、$ $1 <$ $q$ かつ $q$ $2$ $\leq$ $n$ を満たす $q$ のすべての値を調べれば十分です。実際、 $r が$ $n$ の約数で $r$ $2$ $>$ $n$ を満たす場合、 $q$ $=$ $n$ $/$ $r$ $はn$ の約数で $q$ $2$ $\leq$ $n$ を満たします。

$q$ の値を昇順にテストすると、最初に見つかる約数は必ず素数であり、余因子 $r = n / q は$ $q より小さい約数を持つことはできません。したがって、完全な因数分解を得るには、q より小さくなく、\sqrtr$ $より$ 大きく $ない$ r $の$ 約数 $を$ 探すことでアルゴリズムを継続すれば十分です。

$この方法を適用するために、 q$ のすべての値をテストする必要はありません。原則として、素因数のみをテストすれば十分です。そのためには、例えばエラトステネスの篩を用いて生成できる素数の表が必要です。因数分解法は基本的にエラトステネスの篩と同じ作業を行うため、素数か素数かがすぐには分からない数だけを因数としてテストする方が一般的に効率的です。通常、2、3、5、および末尾の桁が 1、3、7、9 で桁の合計が 3 の倍数ではない 5 より大きい数をテストすることから始めます。

この方法は小さな整数の因数分解には有効ですが、大きな整数には非効率的です。例えば、ピエール・ド・フェルマーは6番目のフェルマー数を発見できませんでした。

1+2^{2^{5}}=1+2^{32}=4\,294\,967\,297

は素数ではありません。実際、上記の方法を適用するには、 10桁の小数を持つ数の場合、10 000回の分割が必要です。

より効率的な素因数分解アルゴリズムも存在する。しかし、現状では、たとえ高性能なコンピュータを用いても、ランダムに選ばれた2つの素数の積である500桁の10進数を素因数分解することは不可能であり、依然として比較的非効率的である。これは、安全なインターネット通信に広く用いられているRSA暗号システムの安全性を保証するものである。

例

$n = 1386 を$ 素因数分解するには：

まず2で割ります。数は偶数なので、 $n = 2 \times 693$ となります。次に693と、最初の除数の候補として2を使って計算を続けます。
693は奇数（2は約数ではない）ですが、3の倍数です。693 $= 3 \times 231$ 、 $n = 2 \times 3 \times 231$ となります。231と3を最初の約数候補として、計算を続けます。
231 は 3 の倍数でもあります。231 $= 3 \cdot 77$ なので、 $n = 2 \cdot 3 2 \cdot 77$ となります。77 と 3 を最初の約数の候補として続けて計算します。
77 は 3 の倍数ではありません。なぜなら、その桁の合計は 14 であり、3 の倍数ではないからです。また、最後の桁が 7 なので、5 の倍数でもありません。次にテストする奇数の約数は 7 です。77 $= 7 \cdot 11$ なので、 $n = 2 \cdot 3 2 \cdot 7 \cdot 11$ となります。これは 7 が素数であることを示しています (直接テストするのは簡単です)。11 と 7 を最初の約数候補として続けます。
$72 > 11$ なので、1 は終了しました。したがって 11 は素数であり、素因数分解は

1386 = 2 \cdot 3 2 \cdot 7 \cdot 11

。

表現

式を操作することは代数学の基礎です。因数分解は、いくつかの理由から、式を操作する最も重要な方法の 1 つです。方程式を因数分解された形式 $E \cdot F = 0$ にできる場合、方程式を解く問題は、2 つの独立した (そして一般的に簡単な) 問題 $E = 0$ と $F = 0$ に分割されます。式が因数分解できる場合、因数は多くの場合はるかに単純であり、したがって問題に対する何らかの洞察が得られる可能性があります。たとえば、

x^{3}-ax^{2}-bx^{2}-cx^{2}+abx+acx+bcx-abc

16回の乗算、4回の減算、3回の加算を含む式は、より単純な式に因数分解できます。

(xa)(xb)(xc),

わずか2回の乗算と3回の減算だけで済みます。さらに、因数分解された形式は、多項式の根としてx = a、b、cを即座に与えます。

一方、因数分解は常に可能とは限らず、可能な場合でも、因数が必ずしも単純になるとは限りません。例えば、 $x^{10}-1$ 2つの既約因子に分解できる $x-1$ そして $x^{9}+x^{8}+\cdots +x^{2}+x+1$ 。

因数分解を見つけるためのさまざまな方法が開発されており、そのいくつかを以下に説明します。

代数方程式を解くことは、多項式の因数分解の問題と見なすことができる。実際、代数学の基本定理は次のように述べることができる。複素係数を持つ次数 $n$ $のx$ に関するすべての多項式は、 $n個の$ 線形因子に因数分解できる。 $x-a_{i},$ $i = 1, ..., n$ の場合、 $a は$ 多項式の根です。^{[ 2 ]}これらの場合、因数分解の構造はわかっていますが、一般に、 Abel–Ruffini の定理によって $a を$ 根号 ( n^乗根)で計算することはできません。ほとんどの場合、できる最善のことは、根探索アルゴリズムを使用して根の近似値を計算することです。

式の因数分解の歴史

式（より具体的には方程式）を簡略化するための代数操作の体系的な使用は、9世紀に遡ることができ、アル・フワーリズミーの著書『補完とバランスによる計算に関する簡潔な書』には、そのような操作の2つのタイプがタイトルに付けられています。

しかし、二次方程式を解く場合でも、因数分解法は、ハリオットの死後10年後の1631年に出版された彼の著作以前には使用されていなかった。^{[ 3 ]}ハリオットは著書『Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas』の中で、単項式、二項式、三項式の加算、減算、乗算、除算の表を作成した。そして、第2節で、方程式 $aa$ $-$ $ba$ $+$ $ca$ $= +$ $bc を$ 設定し、これが以前に提示した乗算の形式と一致することを示し、因数分解 $($ $a$ $-$ $b$ $)($ $a$ $+$ $c$ $)$ を得た。^[⁴^]

一般的な方法

以下の方法は、和である式、または和に変換できる式であれば、どのような式にも適用できます。したがって、これらの方法は多項式に最もよく適用されますが、和の項が単項式でない場合、つまり和の項が変数と定数の積である場合にも適用できます。

共通要因

和のすべての項が積であり、かつすべての項に共通する因数が存在する場合があります。この場合、分配法則によってこの共通因数を因数分解することができます。共通因数が複数ある場合は、最大の共通因数を因数分解するのが望ましいです。また、係数が整数である場合は、それらの係数の最大公約数を因数分解することができます。

例えば、^{[ 5 ]} $6x^{3}y^{2}+8x^{4}y^{3}-10x^{5}y^{3}=2x^{3}y^{2}(3+4xy-5x^{2}y),$ 2は6、8、10の最大公約数であり、 $x^{3}y^{2}$ すべての項を割ります。

グループ分け

項をグループ化することで、他の方法で因数分解を行うことができるようになる場合があります。

例えば、因数分解するには $4x^{2}+20x+3xy+15y,$ 最初の2項は共通因数 $x$ を持ち、最後の2項は共通因数 $y$ を持つことがわかる。したがって $4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x^{2}+20x)+(3xy+15y)=4x(x+5)+3y(x+5).$ すると、簡単な検査で共通因数 $x + 5$ が見つかり、因数分解が行われます。 $4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x+3y)(x+5).$

一般的に、これは2つの二項式の積として得られる4項の和に対して有効です。頻繁ではありませんが、より複雑な例にも有効な場合があります。

項の加算と減算

時として、いくつかの用語をグループ化することで、認識可能なパターンの一部が明らかになることがあります。その場合、用語を追加したり削除したりして、パターンを完成させることが有効です。

この典型的な使用例は、平方完成法を用いて二次方程式の解の公式を求める方法です。

別の例としては、 $x^{4}+1.$ -1 の非実数平方根(一般に $iと表記される) を導入すると、$ 平方の差が得られます。 $x^{4}+1=(x^{2}+i)(x^{2}-i).$ しかし、実数係数による因数分解も必要となる場合があります。加算と減算により、 $2x^{2},$ そして3つの項をまとめて考えると、二項式の2乗であることがわかる。 $x^{4}+1=(x^{4}+2x^{2}+1)-2x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-\left(x{\sqrt {2}}\right)^{2}=\left(x^{2}+x{\sqrt {2}}+1\right)\left(x^{2}-x{\sqrt {2}}+1\right).$ 引き算と足し算 $2x²$ また、以下の因数分解も得られます。 $x^{4}+1=(x^{4}-2x^{2}+1)+2x^{2}=(x^{2}-1)^{2}+\left(x{\sqrt {2}}\right)^{2}=\left(x^{2}+x{\sqrt {-2}}-1\right)\left(x^{2}-x{\sqrt {-2}}-1\right).$ これらの因数分解は複素数だけでなく、-1、2、または-2のいずれかが平方数である任意の体上でも機能します。有限体では、2つの非平方数の積は平方数になります。これは、多項式が $x^{4}+1,$ これは整数全体で既約であり、すべての素数を法として既約である。例えば、 $x^{4}+1\equiv (x+1)^{4}{\pmod {2}};$ $x^{4}+1\equiv (x^{2}+x-1)(x^{2}-x-1){\pmod {3}},$ 以来 $1^{2}\equiv -2{\pmod {3}};$ $x^{4}+1\equiv (x^{2}+2)(x^{2}-2){\pmod {5}},$ 以来 $2^{2}\equiv -1{\pmod {5}};$ $x^{4}+1\equiv (x^{2}+3x+1)(x^{2}-3x+1){\pmod {7}},$ 以来 $3^{2}\equiv 2{\pmod {7}}.$

認識可能なパターン

多くの恒等式は、和と積の間の等式を示します。上記の方法を用いることで、恒等式の和の部分を式の中に現れさせ、それを積に置き換えることができます。

以下は、左辺がパターンとしてよく使われる恒等式です（つまり、これらの恒等式に現れる変数 $E$ と $F$ は、因数分解する必要のある式の任意の部分式を表すことができます）。^{[ 6 ]}

2乗の差

E^{2}-F^{2}=(E+F)(E-F)

例えば、

(a+b)^{2}-(x-y)^{2}=(a+b+x-y)(a+b-x+y).

2つの立方数の和／差

E^{3}+F^{3}=(E+F)(E^{2}-EF+F^{2})

E^{3}-F^{3}=(E-F)(E^{2}+EF+F^{2})

コーシー恒等式

a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)=(a+b)^{3}

a^{3}-b^{3}-3ab(a-b)=(a-b)^{3}

2つの4乗の差

{\begin{aligned}E^{4}-F^{4}&=(E^{2}+F^{2})(E^{2}-F^{2})\\&=(E^{2}+F^{2})(E+F)(E-F)\end{aligned}}

$2つのn$ 乗の和/差

以下の恒等式では、因数はさらに因数分解できる場合が多い。

差、偶数指数

E^{2n}-F^{2n}=(E^{n}+F^{n})(E^{n}-F^{n})

これらの因数は、以下の式を用いてさらに因数分解することができます。また、次の式をに適用することもできます。

(E^{2})^{n}-(F^{2})^{n}

係数を取得するために

E^{2}-F^{2}=(E+F)(E-F)

⁠ .

差、偶数指数または奇数指数

E^{n}-F^{n}=(E-F)(E^{n-1}+E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}+\cdots +EF^{n-2}+F^{n-1})=(E-F)\sum _{k=0}^{n-1}{E^{n-1-k}F^{k}}

これは、因数が因数分解された和よりもはるかに大きくなる可能性があることを示す例です。

合計、奇数指数

E^{n}+F^{n}=(E+F)(E^{n-1}-E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}-\cdots -EF^{n-2}+F^{n-1})=(E+F)\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}{E^{n-1-k}F^{k}}

（前述の式において

Fを

－F

に

置き換えることで得られる）

合計、偶数指数

指数が2 のべき乗である場合、一般に複素数を導入せずに式を因数分解することはできません(

E

と

F

に複素数が含まれている場合は、そうでない場合があります)。n に奇数の約数がある場合、つまり

n = pq

( p

が奇数) の場合は、前述の式 (「奇数指数の和」) を適用して使用できます。

(E^{q})^{p}+(F^{q})^{p}.

三項式と三次式

{\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^{2}\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}+3x^{2}(y+z)+3y^{2}(x+z)+3z^{2}(x+y)+6xyz=(x+y+z)^{3}\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}+3(x+y)(y+z)(x+z)=(x+y+z)^{3}\\\end{aligned}}

アルガンのアイデンティティ

x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2})

x^{4}+x^{2}+1=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)

二項展開

二項定理は、そこに現れる整数から容易に認識できるパターンを提供する。

低い程度では：

a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}

a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}

a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}

a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}

より一般的には、展開形の係数は

(a+b)^{n}

そして

(a-b)^{n}

は、パスカルの三角形の

n

行目に現れる二項係数です。

団結の根源

$1のn$ 乗根は、それぞれが多項式の根である複素数である。 $x^{n}-1.$ つまり、それらは数字である $e^{2ik\pi /n}=\cos {\tfrac {2\pi k}{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi k}{n}}$ のために $k=0,\ldots ,n-1.$

したがって、任意の2つの式 $E$ と $F$ について、次のことが成り立つ。 $E^{n}-F^{n}=(E-F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E-Fe^{2ik\pi /n}\right)$ $E^{n}+F^{n}=\prod _{k=0}^{n-1}\left(E-Fe^{(2k+1)i\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is even}}$ $E^{n}+F^{n}=(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E+Fe^{2ik\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is odd}}$

$E$ と $Fが$ 実数式で、実数因子が必要な場合は、複素共役因子のペアをその積に置き換える必要があります。 $e^{i\alpha }$ は $e^{-i\alpha },$ そして $\left(a-be^{i\alpha }\right)\left(a-be^{-i\alpha }\right)=a^{2}-ab\left(e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }\right)+b^{2}e^{i\alpha }e^{-i\alpha }=a^{2}-2ab\cos \,\alpha +b^{2},$ $次のような実数の因数分解が得られます（ k を$ $n - k$ または $n + 1 - k$ に変更し、通常の三角関数の公式を適用することで、一方から他方へ移行できます）。 ${\begin{aligned}E^{2n}-F^{2n}&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\\&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}E^{2n}+F^{2n}&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\\&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}$

これらの因数分解に現れるコサインは代数的数であり、根号を用いて表現することができます（これは、それらのガロア群が巡回群であるため可能です）。ただし、これらの根号表現は、 $n$ の値が小さい場合を除いて、複雑すぎて使用できません。たとえば、 $a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2}).$ $a^{5}-b^{5}=(a-b)\left(a^{2}+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),$ $a^{5}+b^{5}=(a+b)\left(a^{2}-{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),$

多くの場合、有理係数による因数分解が求められます。このような因数分解には円分多項式が含まれます。和や差、べき乗の有理因数分解を表現するには、多項式の同次化を表す記号が必要です。 $P(x)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}+\cdots +a_{n},$ その均質化は二変数多項式である ${\overline {P}}(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}.$ すると、 $E^{n}-F^{n}=\prod _{k\mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),$ $E^{n}+F^{n}=\prod _{k\mid 2n,k\not \mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),$ ここで、積は $n$ のすべての約数、またはnを割り切らない2nのすべての $約数$ $について$ 取ら $れ$ 、 $Q_{n}(x)$ $はn$ 番目の円分多項式です。

例えば、 $a^{6}-b^{6}={\overline {Q}}_{1}(a,b){\overline {Q}}_{2}(a,b){\overline {Q}}_{3}(a,b){\overline {Q}}_{6}(a,b)=(a-b)(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2}),$ $a^{6}+b^{6}={\overline {Q}}_{4}(a,b){\overline {Q}}_{12}(a,b)=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}),$ 6の約数は1、2、3、6であり、6を割り切れない12の約数は4と12である。

多項式

多項式の場合、因数分解は代数方程式を解く問題と密接に関係しています。代数方程式は次の形式をとります。

P(x)\ \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\ \,a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}=0,

ここで、 $P (x)は$ $x$ に関する多項式であり、 $a_{0}\neq 0.$ この方程式の解（多項式の根とも呼ばれる）は、次の条件を満たす $x$ の値 $rである。$

P(r)=0.

もし $P(x)=Q(x)R(x)$ $P (x) = 0$ を2 つの多項式の積として因数分解すると、 $P (x)の根は$ $Q$ $($ $x$ $)$ の根と $R$ $($ $x$ $)$ の根の和集合になります。したがって、 $P$ $($ $x$ $) = 0$ を解くことは、 $Q$ $($ $x$ $) = 0$ と $R$ $($ $x$ $) = 0$ を解くというより簡単な問題に帰着します。

逆に、因数定理によれば、 $rが$ $P (x) = 0$ の根である場合、 $P (x) は$ 次のように因数分解できる。

P(x)=(x-r)Q(x),

ここで、 $Q (x)は$ $P$ $($ $x$ $)=0を$ 線形（1次）因子 $x$ $-$ $r$ で割ったユークリッド除算の商である。

$P (x)$ の係数が実数または複素数である場合、代数学の基本定理によれば、 $P (x)$ は実数または複素数の根を持つ。因数定理を再帰的に用いると、次のようになる。

P(x)=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),

どこ $r_{1},\ldots ,r_{n}$ $これらはP$ の実根または複素根であり、一部は重複する可能性がある。この完全な因数分解は、因数の次数を除いて一意である。

$P (x)$ の係数が実数である場合、一般的には係数が実数である因数分解が求められます。この場合、完全な因数分解にはいくつかの二次（2次）因子が含まれる可能性があります。この因数分解は、上記の完全な因数分解から容易に導き出すことができます。実際、 $r = a + ibが$ $P (x)$ の非実数根である場合、その複素共役 $s = a - ibも$ $P (x)$ の根となります。したがって、積は

(x-r)(x-s)=x^{2}-(r+s)x+rs=x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}

$これは、実数係数を持つP (x)$ の因数です。これをすべての非実数因数に対して繰り返すと、線形または二次実数因数を持つ因数分解が得られます。

これらの実数または複素数の因数分解を計算するには、多項式の根が必要ですが、根は正確に計算できない場合があり、根探索アルゴリズムを使用して近似するしかありません。

実際には、関心のあるほとんどの代数方程式は整数または有理数の係数を持ち、同じ種類の因数による因数分解を求める場合があります。算術の基本定理はこの場合にも一般化でき、整数または有理数の係数を持つ多項式は一意の因数分解特性を持つと述べています。より正確には、有理数の係数を持つすべての多項式は、積に因数分解できます。

P(x)=q\,P_{1}(x)\cdots P_{k}(x),

ここで、 $q$ は有理数であり、 $P_{1}(x),\ldots ,P_{k}(x)$ は、整数係数を持つ非定数多項式であり、既約かつ原始的です。つまり、 $P_{i}(x)$ これは、1でも-1でもない2つの多項式（整数係数を持つ）の積として表すことができます（整数は0次多項式とみなされます）。さらに、この因数分解は、因数の次数と符号を除いて一意です。

この因数分解を計算するための効率的なアルゴリズムが存在し、ほとんどの数式処理システムに実装されています。詳しくは「多項式の因数分解」を参照してください。残念ながら、これらのアルゴリズムは複雑すぎるため、手計算には適していません。上記のヒューリスティックな方法の他に、手計算に適した方法はごくわずかしかなく、それらは一般的に次数が低く、非ゼロ係数が少ない多項式にしか適用できません。主な手計算方法については、次の節で説明します。

基本要素と内容の因数分解

有理係数を持つすべての多項式は、有理数と整数係数を持つ多項式の積として一意に因数分解できます。この積は原始的（つまり、係数の最大公約数が 1 である）であり、最高次係数（最高次数の項の係数）が正です。例：

-10x^{2}+5x+5=(-5)\cdot (2x^{2}-x-1)

{\frac {1}{3}}x^{5}+{\frac {7}{2}}x^{2}+2x+1={\frac {1}{6}}(2x^{5}+21x^{2}+12x+6)

この因数分解では、有理数を内容、原始多項式を原始部分と呼びます。この因数分解の計算は次のように行います。まず、すべての係数を共通分母に還元し、整数係数の多項式を整数 $q$ で割った商を求めます。次に、この多項式の係数の最大公約数 $p$ で割って原始部分を求めます。内容はです。 $p/q.$ $最後に、必要に応じて、 p$ と原始部分のすべての係数の符号を反転させる。

この因数分解の結果は、元の多項式よりも大きくなる可能性があります（通常は互いに素な分母が多数ある場合）。しかし、そのような場合でも、原始部分は一般的に、さらなる因数分解のために操作しやすいです。

因数定理を用いて

因数定理によれば、 $rが$ 多項式の根である場合、

P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},

つまり、 $P (r) = 0$ の場合、因数分解が存在します。

P(x)=(x-r)Q(x),

どこ

Q(x)=b_{0}x^{n-1}+\cdots +b_{n-2}x+b_{n-1},

と $a_{0}=b_{0}$ すると、多項式の長除法または合成除法は次のようになります。

b_{i}=a_{0}r^{i}+\cdots +a_{i-1}r+a_{i}\ {\text{ for }}\ i=1,\ldots ,n{-}1.

これは、多項式の根がわかっている場合、または推測できる場合に役立つ可能性があります。

例えば、 $P(x)=x^{3}-3x+2,$ 係数の合計が 0 であることは容易にわかるので、 $r = 1$ は根である。r $+ 0 = 1$ なので、 $r^{2}+0r-3=-2,$ 1つは

x^{3}-3x+2=(x-1)(x^{2}+x-2).

有理根

有理数係数を持つ多項式の場合、有理数である根を探索することができます。原始部分内容因数分解（上記参照）は、有理根を探索する問題を、非自明な共通約数を持たない整数係数の多項式の場合に帰着させます。

もし $x={\tfrac {p}{q}}$ このような多項式の有理根は

P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},

因数定理は、因数分解が存在することを示している。

P(x)=(qx-p)Q(x),

$ここで、両方の因子は整数係数を持つ（ Q が$ 整数係数を持つという事実は、 $P (x)$ の商の上記の式から得られる）。 $x-p/q$ )

$上記の等式における次数n$ の係数と定数係数を比較すると、 ${\tfrac {p}{q}}$ が既約形の有理根である場合、 $q$ はの約数である $a_{0},$ そして $p$ は $a_{n}.$ $したがって、 p$ と $q$ には有限個の可能性があり、それらを体系的に調べることができる。^{[ 7 ]}

例えば、多項式が

P(x)=2x^{3}-7x^{2}+10x-6

合理的な根拠がある ${\tfrac {p}{q}}$ $q > 0$ の場合、 $p は$ 6 を割り切る必要があります。つまり、 $p\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\},$ そして $qは$ 2を割り切らなければならない、つまり $q\in \{1,2\}.$ さらに、 $x < 0$ の場合、多項式のすべての項は負であり、したがって、根は負にはなり得ません。つまり、

{\tfrac {p}{q}}\in \{1,2,3,6,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}}\}.

直接計算すると、 ${\tfrac {3}{2}}$ は根なので、他に有理根は存在しない。因数定理を適用すると、最終的に因数分解が得られる。 $2x^{3}-7x^{2}+10x-6=(2x-3)(x^{2}-2x+2).$

二次方程式法

上記の方法は二次多項式にも適用でき、因数分解のac法につながる。^{[ 8 ]}

二次多項式を考える

P(x)=ax^{2}+bx+c

整数係数を持つ。有理根を持つ場合、分母は $aを$ 割り切る必要があり、約分可能な分数として表すことができる。 $r_{1}={\tfrac {r}{a}}.$ ヴィエタの公式によれば、もう一方の根は $r_{2}$ は

r_{2}=-{\frac {b}{a}}-r_{1}=-{\frac {b}{a}}-{\frac {r}{a}}=-{\frac {b+r}{a}}={\frac {s}{a}},

と $s=-(b+r).$ したがって、2番目の根も有理数であり、ヴィエタの2番目の公式は $r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}$ 与える

{\frac {s}{a}}{\frac {r}{a}}={\frac {c}{a}},

それは

rs=ac\quad {\text{and}}\quad r+s=-b.

積が $ac$ となるすべての整数のペアを調べると、有理根が存在する場合はそれが得られます。

要約すると、もし $ax^{2}+bx+c$ 有理根を持つ、整数 $r$ と $s$ が存在する。 $rs=ac$ そして $r+s=-b$ （テストするケースの数は有限）そして根は ${\tfrac {r}{a}}$ そして ${\tfrac {s}{a}}.$ 言い換えれば、因数分解が

a(ax^{2}+bx+c)=(ax-r)(ax-s).

例えば、二次多項式を考えてみましょう。

6x^{2}+13x+6.

$ac = 36$ の因数を調べると $4 + 9 = 13 = b$ となり、2 つの根が得られます。

r_{1}=-{\frac {4}{6}}=-{\frac {2}{3}}\quad {\text{and}}\quad r_{2}=-{\frac {9}{6}}=-{\frac {3}{2}},

そして因数分解

6x^{2}+13x+6=6(x+{\tfrac {2}{3}})(x+{\tfrac {3}{2}})=(3x+2)(2x+3).

多項式の根を求める公式を用いる

任意の単変数二次多項式 $ax^{2}+bx+c$ 二次方程式の解の公式を用いて因数分解できます。

ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right),

どこ $\alpha$ そして $\beta$ これらは多項式の2つの根です。

$a、b、c$ がすべて実数である場合、判別式が $b^{2}-4ac$ は非負である。そうでなければ、二次多項式は定数でない実数因数に因数分解できない。

二次方程式の解の公式は、係数が2以外の標数の任意の体に属する場合、特に奇数個の要素を持つ有限体の係数に対して有効である。 ^[⁹^]

3次および4次多項式の根を求める公式も存在するが、一般的に実用には複雑すぎる。アーベル・ルフィニの定理によれば、5次以上の多項式には根号を用いた一般的な根の公式は存在しない。

ルート間の関係を利用する

多項式の根とその係数の間に何らかの関係が分かっている場合がある。この知識を利用することで、多項式を因数分解して根を求めることができる。ガロア理論は、ヴィエタの公式を含む、根と係数の関係を体系的に研究したものである。

ここでは、2 つの根があるより単純なケースを検討します。 $x_{1}$ そして $x_{2}$ 多項式の $P(x)$ 関係を満たす

x_{2}=Q(x_{1}),

ここで、 $Q$ は多項式である。

これは、 $x_{1}$ は共通の語源です $P(Q(x))$ そして $P(x).$ したがって、これはこれら2つの多項式の最大公約数の根である。このことから、この最大公約数は定数ではない因数であることがわかる。 $P(x).$ 多項式に対するユークリッドの互除法を用いると、この最大公約数を計算できる。

例えば、^{[ 10 ]}もし次のようなことがわかっているか、あるいは推測できる場合： $P(x)=x^{3}-5x^{2}-16x+80$ 2 つの根の合計がゼロになるので、ユークリッドアルゴリズムを適用できます。 $P(x)$ そして $P(-x).$ 最初の除算ステップは、 $P(x)$ に $P(-x),$ 残りの

-10(x^{2}-16).

次に、分割します $P(x)$ による $x^{2}-16$ 新たな剰余としてゼロ、商として $x - 5が得られ、完全な因数分解が達成される。$

x^{3}-5x^{2}-16x+80=(x-5)(x-4)(x+4).

固有の因数分解領域

体上の整数と多項式は、一意分解性という性質を共有しています。つまり、すべての非零元は、可逆元（整数の場合は単位元、±1）と既約元（整数の場合は素数）の積に分解でき、この分解は、因数の並べ替えと因数間の単位元の移動を除いて一意です。この性質を共有する整域は、一意分解領域（UFD）と呼ばれます。

UFDには最大公約数が存在するが、最大公約数が存在する整域（GCD整域と呼ばれる）すべてがUFDであるとは限らない。すべての主イデアル整域はUFDである。

ユークリッド整域とは、整数と同様のユークリッド除法が定義される整域のことである。すべてのユークリッド整域は主イデアル整域であり、したがってUFD（統一整域）である。

ユークリッド領域では、ユークリッド除法によって最大公約数を計算するユークリッドアルゴリズムを定義できます。しかし、これは因数分解アルゴリズムの存在を意味するものではありません。体 F のユークリッド領域 $F$ $[$ $x$ $]$ 上の単変数多項式の $因数$ 分解アルゴリズムが存在しないような体 $F$ の具体的な例があります。

理想

代数的整数論において、ディオファントス方程式の研究は、19 世紀に数学者たちに代数的整数と呼ばれる整数の一般化を導入させることにつながった。最初に検討された代数的整数の環はガウス整数とアイゼンシュタイン整数であり、これらは通常の整数と同様に主イデアル領域であるという性質を持ち、したがって一意分解性を持つ。

残念ながら、代数的整数環のほとんどは主環ではなく、一意分解を持たないことがすぐに明らかになった。最も単純な例は $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}],$ その中で

9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}),

そして、これらの要因はすべて還元不可能である。

一意因数分解が不可能であることは、ディオファントス方程式を解く上で大きな障害となる。例えば、フェルマーの最終定理の多くの誤った証明（おそらくフェルマー自身の「この余白では書ききれないほど素晴らしい証明」も含む）は、一意因数分解が可能であるという暗黙の仮定に基づいていた。

この難題はデデキントによって解決されました。彼は代数的整数環のイデアルの因数分解が一意であることを証明しました。これらの環では、すべてのイデアルは素イデアルの積であり、この因数分解は因数の位数まで一意です。この一意因数分解の性質を持つ整域は現在、デデキント整域と呼ばれています。これらは代数的整数論において基礎となる多くの優れた性質を持っています。

行列

行列環は非可換であり、一意の因数分解を持ちません。一般に、行列を行列の積として表す方法は複数存在します。したがって、因数分解の問題は、特定の型の因数を見つけることにあります。例えば、LU分解では、行列を下三角行列と上三角行列の積として表すことができます。しかし、これは常に可能とは限らないため、一般的には、第3の因数として置換行列を持つ「LUP分解」が考えられます。

最も一般的な行列分解の種類については、「行列分解」を参照してください。

論理行列は二項関係を表し、行列の乗算は関係の合成に対応します。因数分解による関係の分解は、二項関係などの関係の性質を明らかにするのに役立ちます。

注記

↑ハーディ、ライト（1980）『数論入門』（第5 版）、オックスフォード・サイエンス出版、ISBN 978-0198531715
↑クライン 1925 、pp. 101–102
↑サンフォード、ヴェラ (2008) [1930]、『数学の短い歴史』、Read Books、ISBN 9781409727101著者は、「因数分解による二次方程式の解法が現在重視されていることを考えると、この方法が1631年のハリオットの研究まで使用されていなかったことは興味深い」と述べている。
↑ Harriot, T. (1631)、Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas (ラテン語)、Apud Robertum Barker、typographum regium
↑フィテ1921 、p.19
↑セルビー 1970 、p.101
↑ディクソン 1922 、p.27
↑ストーバー、クリストファー、「ACメソッド」、Mathworld、2014年11月12日にオリジナルからアーカイブ済み
↑標数2の体では、2 = 0となり、式はゼロ除算になります。
↑バーンサイド＆パントン1960 、p.38

参考文献

バーンサイド、ウィリアム・スノー、パントン、アーサー・ウィリアム (1960) [1912]、『方程式論と二項代数形式の理論入門（第1巻）』、ドーバー出版
ディクソン、レナード・ユージン（1922）、「方程式論入門」、ネイチャー、109（2746）、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ：773、Bibcode：1922Natur.109R.773、doi：10.1038/109773c0
Fite, William Benjamin (1921), College Algebra (Revised) , Boston: DC Heath & Co.
クライン、フェリックス（1925）、『高度な視点からの初等数学；算術、代数、解析』、ドーバー出版
セルビー、サミュエル M. (1970)、CRC 標準数学表(第 18 版)、The Chemical Rubber Co.

外部リンク

Wolfram Alphaも因数分解ができます。

[1] ハーディ、ライト（1980）『数論入門』（第5 版）、オックスフォード・サイエンス出版、ISBN 978-0198531715

[2] クライン 1925 、pp. 101–102

[3] サンフォード、ヴェラ (2008) [1930]、『数学の短い歴史』、Read Books、ISBN 9781409727101著者は、「因数分解による二次方程式の解法が現在重視されていることを考えると、この方法が1631年のハリオットの研究まで使用されていなかったことは興味深い」と述べている。

[4] Harriot, T. (1631)、Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas (ラテン語)、Apud Robertum Barker、typographum regium

[5] フィテ1921 、p.19

[6] セルビー 1970 、p.101

[7] ディクソン 1922 、p.27

[8] ストーバー、クリストファー、「ACメソッド」、Mathworld、2014年11月12日にオリジナルからアーカイブ済み

[9] 標数2の体では、2 = 0となり、式はゼロ除算になります。

[10] バーンサイド＆パントン1960 、p.38

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