有限体

数学において、有限体またはガロア体（エヴァリスト・ガロアにちなんで名付けられた）は、有限個の元を含む体である。他の体と同様に、有限体は、乗算、加算、減算、除算の演算が定義され、特定の基本規則を満たす集合である。有限体の最も一般的な例は、が素数であるときのを法とする整数である。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

有限体の位数はその元の数であり、素数または素数の累乗のいずれかです。すべての素数とすべての正の整数に対して位数の体があります。与えられた位数の有限体はすべて同型です。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p^{k}}$

有限体は、数論、代数幾何学、ガロア理論、有限幾何学、暗号学、符号理論など、数学とコンピュータサイエンスの多くの分野の基礎となります。

有限体とは、体である有限集合です。つまり、乗算、加算、減算、除算（ゼロ除算を除く）が定義され、体公理と呼ばれる算術規則を満たしています。

有限体の元の数は、その位数または場合によってはその大きさと呼ばれます。 位数の有限体が存在するのは、 が素数累乗である場合のみです(ただし は素数では正の整数)。 位数の体では、任意の元のコピーを追加すると、常に 0 になります。つまり、体の特性は です。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

に対して、すべての位数体は同型である（以下の§ 存在と一意性を参照）。^[1]さらに、体は同じ位数を持つ2つの異なる有限部分体を含むことはできない。したがって、すべての有限体を同じ位数と同一視することができ、それらは明確に、または と表記される。ここで、文字 GF は「ガロア体」を表す。^[2]${\displaystyle q=p^{k}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$

の位数の有限体では、多項式は有限体のすべての元を根として持ちます。有限体の非ゼロ元は乗法群を形成します。この群は巡回的であるため、すべての非ゼロ元は体の原始元と呼ばれる単一の元の累乗として表すことができます。(一般に、特定の体には複数の原始元が存在します。) ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X^{q}-X}$${\displaystyle q}$

有限体の最も単純な例は素数位数の体です。つまり、各素数に対して、 位 数の素体 は、 を法とする整数として構成できます。${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

位数の素体 の元は、範囲 の整数で表すことができます。和、差、積は、対応する整数演算の結果を で割った余りです。元の逆数は、拡張ユークリッド互除法を使用して計算できます (拡張ユークリッド互除法 § モジュラー整数を参照)。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle 0,\ldots ,p-1}$${\displaystyle p}$

を有限体とします。 の任意の元および任意の整数 に対して、のコピーの和を で表します。 となる最小の正値は、体の標数です。これにより、を表す整数を選択することで、の元との元の乗算を定義できます。この乗算により、 は-ベクトル空間になります。したがって、 の元の数は、ある整数 に対して になります。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n\cdot x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\cdot 1=0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (k,x)\mapsto k\cdot x}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle n}$

恒等式 (フレッシュマンの夢と呼ばれることもある) は、特性 の体で真です。これは二項定理から導かれます。の展開の各二項係数は、最初と最後を除いて、 の倍数だからです。 $${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle (x+y)^{p}}$${\displaystyle p}$

フェルマーの小定理により、が素数で体にある場合、となります。これは、 上の多項式について等式を意味します 。より一般的には、 のすべての要素は多項式方程式 を満たします。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle x^{p}=x}$$${\displaystyle X^{p}-X=\prod _{a\in \mathrm {GF} (p)}(X-a)}$$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$${\displaystyle x^{p^{n}}-x=0}$

有限体の任意の有限体拡大は、分離可能かつ単純です。つまり、が有限体で がの部分体である場合、 は、最小多項式が分離可能である単一の要素を付加することによってから得られます。専門用語で言えば、有限体は完全です。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$

体の他のすべての公理を満たすが、その乗法が可換である必要がない、より一般的な代数構造は、除算環（または歪体と呼ばれることもある）と呼ばれます。ウェダーバーンの小定理により、任意の有限除算環は可換であり、したがって有限体です。

を素数ベキ、を 素体 上の多項式の 分解体とします。これは、 が最低位の有限体であり、 が別個の根を持つことを意味します（の形式的微分はであり、これは を意味し、一般に分解体が元の の分離可能な拡大であることを意味します）。上記の恒等式は、 の2つの根の和と積がの根であり、 の根の逆数であることを示しています。言い換えると、 の根はの位数の体を形成し、これは分解体の極小性によって に 等しくなります。${\displaystyle q=p^{n}}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle P=X^{q}-X}$$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle P}$${\displaystyle q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P'=-1}$${\displaystyle \mathrm {gcd} (P,P')=1}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle q}$${\displaystyle F}$

分割体の同型性までの一意性は、したがって、すべての順序体が同型であることを意味します。また、体が順序体をサブ体として持つ場合、その元はの根であり、順序 の別のサブ体を含むことはできません。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle F}$${\displaystyle q=p^{k}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X^{q}-X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle q}$

まとめると、1893年にEHムーアによって最初に証明された次の分類定理がある：^[1]

有限体の位数は素数冪である。すべての素数冪に対して 位数の体が存在し、それらはすべて同型である。これらの体では、すべての元が${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle x^{q}=x,}$$ そして多項式の 因数は${\displaystyle X^{q}-X}$

$${\displaystyle X^{q}-X=\prod _{a\in F}(X-a).}$$

したがって、が の約数である場合に限り、 には と同型な部分体が含まれます。その場合、この部分体は一意です。実際、が の約数である場合に限り、多項式がを割り切ります。 ${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{m})}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X^{p^{m}}-X}$${\displaystyle X^{p^{n}}-X}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

が素数で である素数冪が与えられた場合、体は次の方法で明示的に構築できます。まず、 次数の既約多項式を選択します(このような既約多項式は常に存在します)。次に、によって生成されたイデアルによる 多項式環の商環は、位数 の体になります。 ${\displaystyle q=p^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)[X]}$${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \mathrm {GF} (q)=\mathrm {GF} (p)[X]/(P)}$$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)[X]}$${\displaystyle P}$${\displaystyle q}$

より明確に言えば、 の元は上の多項式であり、その次数は より確実に小さい。の加算と減算は 上の多項式の加算と減算である。 2 つの元の積はの積を で割った余りである。 非ゼロ元の逆数は拡張ユークリッドアルゴリズムで計算できる。拡張ユークリッドアルゴリズム § 単純な代数体拡張を参照。 ${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)[X]}$

しかし、この表現では、 の要素を対応する多項式と区別するのが難しい場合があります。したがって、多項式 に対応する の要素に名前を付けるのが一般的です。したがって、 の要素はの多項式になります(ただし)。また、 の多項式で以上の次数の多項式に遭遇した場合(たとえば乗算後)、関係を使用して次数を減らす必要があることがわかります (ユークリッド除算が行っていることと同じです)。 ${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle P(\alpha )=0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle n}$${\displaystyle P(\alpha )=0}$

の構築を除いて、 には同型な結果をもたらすいくつかの可能な選択肢があります。ユークリッド除算を簡略化するために、一般には の形式の多項式 を選択して 、必要なユークリッド除算を非常に効率的にします。しかし、一部の体、典型的には特性 では、形式の既約多項式が存在しない場合があります。特性 で多項式が既約である場合、多項式を既約にする可能な限り最小の を選択することが推奨されます。これらの三項式がすべて既約である場合、「五項式」 を選択します。なぜなら、 より大きい次数で項数が偶数である多項式は、特性 で既約になることはなく、根として を持つからです。^[3]${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle X^{n}+aX+b,}$$${\displaystyle 2}$${\displaystyle X^{n}+aX+b}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle X^{n}+X+1}$${\displaystyle X^{n}+X^{k}+1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X^{n}+X^{a}+X^{b}+X^{c}+1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 1}$

このような多項式の可能な選択肢は、コンウェイ多項式によって与えられます。これらは、体の表現とその部分体の表現との間の一定の互換性を保証します。

次のセクションでは、上で概説した一般的な構築方法が小さな有限体に対してどのように機能するかを示します。

最小の非素体とは、4 つの元を持つ体で、一般にまたは と表記されます。これは、、、、となる4つの元で構成され、任意の に対して、その他の演算結果は分配法則から簡単に推測できます。完全な演算表については、以下を参照してください。 ${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{4}.}$${\displaystyle 0,1,\alpha ,1+\alpha }$${\displaystyle \alpha ^{2}=1+\alpha }$${\displaystyle 1\cdot \alpha =\alpha \cdot 1=\alpha }$${\displaystyle x+x=0}$${\displaystyle x\cdot 0=0\cdot x=0}$${\displaystyle x\in \mathrm {GF} (4)}$

これは、前のセクションの結果から次のように推測できます。

上では、次数の既約多項式は1 つしかありません。 したがって、 については、前のセクションの構築にこの多項式を含める必要があり、 は におけるこの多項式の根を表すものとし ます。これは 、およびが に含まれないの元であることを意味します。このことから、 における演算の表が得られます。 および は次のとおりです。 ${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle 2}$$${\displaystyle X^{2}+X+1}$$${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$$${\displaystyle \mathrm {GF} (4)=\mathrm {GF} (2)[X]/(X^{2}+X+1).}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$$${\displaystyle \alpha ^{2}=1+\alpha ,}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 1+\alpha }$${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$

減算の表は示されていません。なぜなら、減算は加算と同じであり、これは標数 2 のすべての体の場合と同様だからです。3 番目の表では、を で割る場合、 の値は左の列で読み、 の値は最上行で読み取る必要があります。(すべての環のすべての に対して、 0 による除算は未定義のままにしておく必要があるためです。) 表から、 の加法構造はクラインの 4 元群と同型であり、非ゼロの乗法構造は群 と同型であることがわかります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle 0\cdot z=0}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$${\displaystyle Z_{3}}$

この写像は 、フロベニウス自己同型と呼ばれる非自明な体自己同型であり、 を前述の既約多項式 の2 番目の根に代入します。 $${\displaystyle \varphi :x\mapsto x^{2}}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 1+\alpha }$${\displaystyle X^{2}+X+1}$

の場合に上記の有限体の一般的な構成を適用するには、次数 2 の既約多項式を見つける必要があります。 については、これは前のセクションで行われています。 が奇数の素数である場合、 の範囲内で、形式 の既約多項式が常に存在します。 ${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{2})}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X^{2}-r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$

より正確には、多項式 が上で既約である場合、かつ が を法とする二次非剰余である場合に限ります(これはほぼ二次非剰余の定義です)。 を法とする二次非剰余が存在します。たとえば、は に対して二次非剰余であり、は に対して二次非剰余です。つまり の場合、 を二次非剰余として選択することができ、これにより非常に単純な既約多項式 を得ることができます。 ${\displaystyle X^{2}-r}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\frac {p-1}{2}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle p=3,5,11,13,\ldots }$${\displaystyle 3}$${\displaystyle p=5,7,17,\ldots }$${\displaystyle p\equiv 3\mod 4}$${\displaystyle p=3,7,11,19,\ldots }$${\displaystyle -1\equiv p-1}$${\displaystyle X^{2}+1}$

2次の非剰余 を選んだ後、を の記号平方根、つまり という特性を持つ記号とします。これは、複素数が の記号平方根であるのと同じです。すると、 の要素は、 においておよび を伴うすべての線形式になります 。 上の演算は次のように定義されます (ラテン文字で表される の要素間の演算は、における演算です)。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle r}$${\displaystyle \alpha ^{2}=r}$${\displaystyle i}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{2})}$$${\displaystyle a+b\alpha ,}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{2})}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}-(a+b\alpha )&=-a+(-b)\alpha \\(a+b\alpha )+(c+d\alpha )&=(a+c)+(b+d)\alpha \\(a+b\alpha )(c+d\alpha )&=(ac+rbd)+(ad+bc)\alpha \\(a+b\alpha )^{-1}&=a(a^{2}-rb^{2})^{-1}+(-b)(a^{2}-rb^{2})^{-1}\alpha \end{aligned}}}$$

多項式は および 上で既約、つまり およびを法として既約です（これを示すには、 にも にも根がないことを示すだけで十分です）。したがって、 および の要素は、またはの要素（それぞれ） である式で表すことができ、 は次のような記号です 。$${\displaystyle X^{3}-X-1}$$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (3)}$ ${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (3)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (8)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (27)}$ $${\displaystyle a+b\alpha +c\alpha ^{2},}$$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (3)}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \alpha ^{3}=\alpha +1.}$$

および上の加算、加法逆、乗算は次のように定義されます。次の式では、ラテン文字で表されるまたはの要素間の演算は、それぞれまたはにおける演算です。 ${\displaystyle \mathrm {GF} (8)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (27)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (3)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (3)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}-(a+b\alpha +c\alpha ^{2})&=-a+(-b)\alpha +(-c)\alpha ^{2}\qquad {\text{(for }}\mathrm {GF} (8),{\text{this operation is the identity)}}\\(a+b\alpha +c\alpha ^{2})+(d+e\alpha +f\alpha ^{2})&=(a+d)+(b+e)\alpha +(c+f)\alpha ^{2}\\(a+b\alpha +c\alpha ^{2})(d+e\alpha +f\alpha ^{2})&=(ad+bf+ce)+(ae+bd+bf+ce+cf)\alpha +(af+be+cd+cf)\alpha ^{2}\end{aligned}}}$$

多項式は 上で既約、つまり を法として既約です。したがって、の要素はまたは( の要素)の式で表すことができます。 また、はとなる記号です (つまり、 は与えられた既約多項式の根として定義されます)。 の特性はであるため、各要素は におけるその加法逆元です。 上の加算と乗算は次のように定義できます。次の式で、ラテン文字で表される の要素間の演算はにおける演算です。 $${\displaystyle X^{4}+X+1}$$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathrm {GF} (16)}$ $${\displaystyle a+b\alpha +c\alpha ^{2}+d\alpha ^{3},}$$${\displaystyle a,b,c,d}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \alpha ^{4}=\alpha +1}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathrm {GF} (16)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (16)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\alpha +c\alpha ^{2}+d\alpha ^{3})+(e+f\alpha +g\alpha ^{2}+h\alpha ^{3})&=(a+e)+(b+f)\alpha +(c+g)\alpha ^{2}+(d+h)\alpha ^{3}\\(a+b\alpha +c\alpha ^{2}+d\alpha ^{3})(e+f\alpha +g\alpha ^{2}+h\alpha ^{3})&=(ae+bh+cg+df)+(af+be+bh+cg+df+ch+dg)\alpha \;+\\&\quad \;(ag+bf+ce+ch+dg+dh)\alpha ^{2}+(ah+bg+cf+de+dh)\alpha ^{3}\end{aligned}}}$$

体には8 つの原始元（ の非ゼロ元がすべて整数乗である元）があります。これらの元は の 4 つの根とその逆元です。特に、は原始元であり、原始元はより小さく と互いに素です（つまり、1、2、4、7、8、11、13、14）。 ${\displaystyle \mathrm {GF} (16)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (16)}$${\displaystyle X^{4}+X+1}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha ^{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 15}$

の非ゼロ元の集合は、 の位数の乗法の下でアーベル群である。ラグランジュの定理により、 の任意の非ゼロ元に対してとなる の約数が存在する。この方程式は任意の体で最大 個の解を持つため、は に対して可能な最低値である。有限アーベル群の構造定理は、この乗法群が巡回 であること、つまりすべての非ゼロ元が単一の元のべき乗であることを意味する。まとめると、 ${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle q-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle q-1}$${\displaystyle x^{k}=1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle x^{k}=1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle q-1}$${\displaystyle k}$

の非ゼロ元の乗法群は 巡回的です。つまり、の非ゼロ元がとなるような元 が存在します。${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q-1}$ ${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$ ${\displaystyle a,a^{2},\ldots ,a^{q-2},a^{q-1}=1}$

このような元はの原始元と呼ばれます。 でない限り、原始元は一意ではありません。原始元の数はで、 はオイラーのトーティエント関数です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle q=2,3}$${\displaystyle \phi (q-1)}$${\displaystyle \phi }$

上記の結果は、 の任意の に対して が成り立つことを意味します。が素数である特別なケースは、フェルマーの小定理です。 ${\displaystyle x^{q}=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle q}$

が の原始元である場合、 の任意の非ゼロ元に対して、となる唯一の整数が存在します。この整数はを底とするの離散対数と呼ばれます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0\leq n\leq q-2}$${\displaystyle x=a^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$

は、たとえばを二乗して累乗するなどして非常に高速に計算できますが、逆演算である離散対数を計算する効率的なアルゴリズムは知られていません。これはさまざまな暗号化プロトコルで使用されています。詳細については、 離散対数を参照してください。${\displaystyle a^{n}}$

の非ゼロ要素が離散対数で表される場合、乗算と除算は を法とする加算と減算に簡約されるため簡単です。ただし、加算は の離散対数を計算することになります。この恒等式 により、 の離散対数の表、つまりZech の対数を作成することでこの問題を解決できます(ゼロの離散対数を と定義すると便利です)。 ${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle q-1}$${\displaystyle a^{m}+a^{n}}$$${\displaystyle a^{m}+a^{n}=a^{n}\left(a^{m-n}+1\right)}$$${\displaystyle a^{n}+1}$${\displaystyle n=0,\ldots ,q-2}$${\displaystyle -\infty }$

ゼックの対数は、中規模体上の線型代数などの大規模な計算に役立ちます。中規模体とは、自然なアルゴリズムを非効率的にするのに十分な大きさですが、体の位数と同じサイズのテーブルを事前に計算する必要があるため大きすぎない体です。

有限体のすべての非ゼロ要素は1 の根であり、のすべての非ゼロ要素も同様です。 ${\displaystyle x^{q-1}=1}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$

が正の整数である場合、番目の原始単位根は、任意の正の整数 に対する方程式の解ではない方程式の解です。 が体 における 番目の原始単位根である場合、 には であるすべての単位根が含まれます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x^{n}=1}$${\displaystyle x^{m}=1}$${\displaystyle m<n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}}$

体がの約数である場合に限り、 の 番目の原始単位根を含みます。が の約数である場合、における の番目の原始単位根の数はです(オイラーのトーティエント関数)。における の番目の原始単位根の数は です。 ${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle \phi (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle \mathrm {gcd} (n,q-1)}$

特性 の体では、任意の 分の 1 根は 分の 1 根でもあります。したがって、原始分の 1 根は特性 の体には存在しません。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle np}$${\displaystyle n}$${\displaystyle np}$${\displaystyle p}$

一方、がと互いに素である場合、番目の円分多項式の根はの特性 のすべての体で別々になります。これは、この多項式が の約数であり、その判別式がを法として非ゼロになるからです。したがって、番目の円分多項式は を因数分解して、すべて同じ次数、たとえば を持つ別々な既約多項式になり、それが番目の原始根を 含む最小の特性体になります。${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X^{n}-1}$ ${\displaystyle n^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{d})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$

Brauer 指標を計算するときは、写像を使用して表現行列の固有値を複素数に写像します。この写像では、基本サブフィールドは単位円 (ゼロを除く) の周囲に等間隔に配置された点で構成されます。 ${\displaystyle \alpha ^{k}\mapsto \exp(2\pi ik/(q-1))}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$

体には、より小さな体が共有しない興味深い特性がいくつかあります。体には、どちらも他方に含まれない 2 つの部分体があります。すべての生成元 ( 上の次数の最小多項式を持つ元) が原始元であるとは限らず、原始元はすべてガロア群の下で共役であるとは限らない、などです。 ${\displaystyle \mathrm {GF} (64)}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$

この体の位数は2 ⁶で、6の約数は1、2、3、6なので、 GF(64)の部分体はGF(2)、GF(2 ² ) = GF(4)、GF(2 ³ ) = GF(8)、GF(64)自身です。2と3は互いに素なので、 GF(64)におけるGF(4)とGF(8)の交点は素体GF(2)です。

GF(4)とGF(8)の和集合には10個の元がある。GF (64)の残りの54個の元は、他のどの部分体にも含まれないという意味でGF(64) を生成する。従って、それらはGF(2)上の6次既約多項式の根である。これは、GF(2)上に、ちょうど9 個の = ⁠が存在することを意味する。54/6⁠ 6次の既約単項式。これはX ⁶⁴ − XをGF(2)で因数分解することで検証できる。

GF(64)の元は、を割り切る何らかの に対する原始n 乗根です。 3 乗と 7 乗根はそれぞれGF(4)とGF(8)に属するため、54 個の生成元は、 {9, 21, 63}内の何らかのnに対する原始n乗根です。オイラーのトーティエント関数は、の原始9乗根、の原始1 乗根、 の原始63乗根が6 個あることを示しています。これらの数を合計すると、再び元が見つかります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 63}$${\displaystyle 12}$${\displaystyle 21}$${\displaystyle 36}$${\displaystyle 54}$

円分多項式を因数分解すると、次のことがわかります。 ${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$

• 6 つの原始th 根は の根であり、すべてガロア群の作用の下で共役です。${\displaystyle 9}$$${\displaystyle X^{6}+X^{3}+1,}$$
• 12 個の原始st 根は の根であり、ガロア群の作用により 2 つの軌道を形成します。2 つの因数は相互に逆数であるため、根とその (乗法的) 逆根は同じ軌道には属しません。${\displaystyle 21}$$${\displaystyle (X^{6}+X^{4}+X^{2}+X+1)(X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{2}+1).}$$
• の原始元は の根です。これらはガロア群の作用により、それぞれ 6 つの元からなる 6 つの軌道に分割されます。${\displaystyle 36}$${\displaystyle \mathrm {GF} (64)}$$${\displaystyle (X^{6}+X^{4}+X^{3}+X+1)(X^{6}+X+1)(X^{6}+X^{5}+1)(X^{6}+X^{5}+X^{3}+X^{2}+1)(X^{6}+X^{5}+X^{2}+X+1)(X^{6}+X^{5}+X^{4}+X+1).}$$

これは、構築するための最良の選択は、これをGF(2)[ X ] / ( X ⁶ + X + 1)として定義することであることを示しています。実際、この生成子は原始要素であり、この多項式は最も簡単なユークリッド除算を生成する既約多項式です。 ${\displaystyle \mathrm {GF} (64)}$

このセクションでは、は素数であり、は の累乗です。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q=p^{n}}$${\displaystyle p}$

において、恒等式( x + y ) ^p = x ^p + y ^pは、写像 が の-線型自己準同型 であり、部分体 のすべての要素を固定する体自己同型であることを意味します。これは、フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスにちなんでフロベニウス自己同型と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$$${\displaystyle \varphi :x\mapsto x^{p}}$$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$

φ をそれ自身とk回合成したものをφ kと^表記すると、次の式が得られます 。 φ ⁿが恒等写像である ことは前の節で示しました。 0 < k < nの場合、自己同型φ ^{k は}恒等写像ではありません。そうでない場合、多項式は p ^k個を 超える根を持つことになります。 $${\displaystyle \varphi ^{k}:x\mapsto x^{p^{k}}.}$$$${\displaystyle X^{p^{k}}-X}$$

GF( q )には他のGF( p )自己同型は存在しない。言い換えれば、GF( p ⁿ )にはちょうどn 個のGF( p )自己同型があり、それらは $${\displaystyle \mathrm {Id} =\varphi ^{0},\varphi ,\varphi ^{2},\ldots ,\varphi ^{n-1}.}$$

ガロア理論の観点では、これはGF( p ⁿ )がGF( p )のガロア拡大であり、巡回ガロア群を持つことを意味します。

フロベニウス写像が射影的であるという事実は、すべての有限体が完全であることを意味します。

Fが有限体である場合、 Fに係数を持つ非定数モニック多項式は、それがFに係数を持つ 2 つの非定数モニック多項式の積でなければ、F上で既約です。

体上のすべての多項式環は一意の因数分解領域であるため、有限体上のすべてのモニック多項式は一意の方法（因数の順序まで）で既約モニック多項式の積に因数分解できます。

多項式の既約性をテストし、有限体上で多項式を因数分解するための効率的なアルゴリズムがあります。これらは、整数または有理数上で多項式を因数分解するための重要なステップです。少なくともこの理由から、すべてのコンピュータ代数システムには、有限体上、または少なくとも有限素数体上で多項式を因数分解する関数があります。

多項式は 、 q 位の体上の線形因子に因数分解されます。より正確には、この多項式は、 q位の体上の 1 次すべての単項多項式の積です。 $${\displaystyle X^{q}-X}$$

これは、q = p ⁿの場合、X ^q − X はGF( p )上の次数がnを割り切るすべての単数既約多項式の積であることを意味します。実際、PがX q − ^XのGF( p )上の既約因子である場合、その分解体はGF( p ⁿ )に含まれるため、その次数はn を割り切ります。逆に、P がnを割り切る次数dのGF( p )上の既約単数多項式である場合、それはGF( p ⁿ )に含まれる次数dの体拡大を定義し、Pのすべての根はGF( p ⁿ )に属し、X ^q − Xの根です。したがって、P はX ^q − X を割り切ります。X ^q − Xには倍数因数がないため、それを割り切るすべての既約単数多項式の積です。