圏論用語集

これは、数学における圏論の性質と概念（トポス理論におけるものを含む ）の用語集です。（圏論の概要も参照してください。）

• 基礎に関する注記：多くの解説（例えば、ヴィストリ）では、集合論的な問題は無視されています。これは、例えば、小さなカテゴリーと大きなカテゴリーを区別せず、カテゴリーの局所化を任意に形成できることを意味します。^{[ 1 ]}これらの解説と同様に、この用語集も、関連する場合（例えば、アクセシビリティに関する議論）を除いて、集合論的な問題は一般的に無視しています。

特に高次の圏においては、代数トポロジーの概念が圏論でも用いられます。詳しくは、代数トポロジーの用語集も参照してください。

この記事全体を通して使用される表記法と慣例は以下のとおりです。

• [ n ] = {0, 1, 2, …, n } はカテゴリとして見なされます（${\displaystyle i\to j\Leftrightarrow i\leq j}$）
• Cat は、(小さな) カテゴリーのカテゴリーであり、その対象は (ある宇宙に関して小さい) カテゴリーと射関数です。
• Fct ( C , D ) 、ファンクター圏:圏Cから圏Dへのファンクターの圏。
• 集合とは、（小さな）集合のカテゴリーのことである。
• s Set 、単体集合の圏。
• デフォルトでは「strict」ではなく「weak」が設定されます。例えば、「n -category」はデフォルトでは「weak n -category」を意味し、「strict」は意味しません。
• ∞圏とは、他のモデルが議論されている場合を除き、最も一般的なモデルである準圏を意味します。
• 数字のゼロ（0）は自然数である。

2カテゴリー

1. 2-圏とは、射の間に2-射が存在するような圏の一般化である。  

2. (2, 1)-圏とは、すべての2-射が可逆である2-圏のことである。  

アーベル的

圏がアーベル圏であるとは、零対象を持ち、すべての引き戻しと押し出しを持ち、すべての単射と全射が正規である場合をいう。

アクセス可能

1.基数κが与えられたとき、あるカテゴリ内のオブジェクトXは、以下の条件を満たす場合にκ-アクセス可能（またはκ-コンパクトまたはκ-表現可能）である。  ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}$κフィルター付き余極限と可換である。

2.正則基数κが与えられたとき、ある圏がκ-アクセス可能であるとは、その圏が κ-フィルター付き余極限を持ち、余極限の下でその圏を生成する κ-コンパクト対象の小さな集合S が存在すること、つまり、すべての対象がS内の対象の図の余極限として記述できることをいう。  

添加剤

圏が加法的であるのは、それが前加法的（正確には、何らかの前加法的構造を持つ）であり、かつすべての有限余積を許容する場合である。「前加法的」は付加的な構造であるが、「加法的」は圏の性質であることを示すことができる。つまり、与えられた圏が加法的であるかどうかを問うことができる。^{[ 2 ]}

十分な

適切なサブカテゴリとは、アンビエントカテゴリの米田埋め込みが依然として完全に忠実であるようなサブカテゴリのことである。

付属物

随伴（随伴ペアとも呼ばれる）とは、自然な全単射が存在するような 関数F : C → D、G : D → Cのペアのことである。

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(F(X),Y)\simeq \operatorname {Hom} _{C}(X,G(Y))}$;

FはGの左随伴であり、GはFの右随伴であると言われる。ここで「自然」とは、自然な同型が存在することを意味する。${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(F(-),-)\simeq \operatorname {Hom} _{C}(-,G(-))}$双関手（最初の変数に関して反変である）の。

モナドの代数

カテゴリーX内のモナドTが与えられたとき、Tの代数またはT代数は、 Tのモノイド作用を持つX内のオブジェクトです(「代数」は誤解を招く可能性があり、「Tオブジェクト」の方が適切な用語かもしれません)。たとえば、標準的な方法でSet内のモナドTを決定する群Gが与えられたとき、T代数はGの作用を持つ集合です。

代数的

代数的圏とは、集合上の単項的圏のことである。

記憶喪失

ファンクターは、k が同型写像であり、F ( k ) が恒等写像であるならば、k は恒等写像である、という性質を持つ場合、記憶保持的である。

鎮痛剤

鎮痛剤の延長

バランスの取れた

カテゴリーは、すべての双射（つまり、単射と全射の両方）が同型である場合にバランスが取れているという。

ベックの定理

ベックの定理は、与えられたモナドに対する代数の圏を特徴づける。

二カテゴリ

双圏は弱い2圏のモデルである。

双関数

2 つのカテゴリCとDからカテゴリEへの双関手は、関手C × D → Eです。たとえば、任意のカテゴリCに対して、${\displaystyle \operatorname {ホム} (-,-)}$はC ^opとCからSetへの双関数です。

二単線

双モノイド圏とは、2つのモノイド構造を持ち、一方のモノイド構造が他方のモノイド構造を上回っている圏のことである。

二形態

双射とは、全射であると同時に単射でもある射のことである。

バウスフィールドのローカライズ

Bousfieldのローカライズを参照してください。

関数の計算

関数の計算とは、関数をテイラー級数展開によって研究する方法と同様の方法で関数を研究する手法であり、そこから「計算」という用語が生まれた。

分数の微積分

分数の微積分。

直交座標系を閉じる

ある圏がデカルト閉であるとは、その圏が終端対象を持ち、かつ任意の2つの対象が積と指数を持つ場合をいう。

直交関数

相対的なカテゴリーが与えられた場合${\displaystyle p:F\to C,q:G\to C}$同じ基底圏C上で、ファンクター${\displaystyle f:F\to G}$C上の写像がデカルト写像をデカルト写像に写す場合、C上の写像はデカルト写像である。

デカルト射

1.ファンクター π: C → D (例えば、スキーム上のプレスタック) が与えられたとき、Cの射f : x → yは、 Cの各オブジェクトz、C の各射g : z → y 、およびDの各射v : π( z ) → π( x )に対して π( g ) = π( f ) ∘ vとなる場合、π( u ) = vかつ g = f ∘ uとなる一意の射u : z → xが存在する場合に π-デカルトであるという。  

2.ファンクター π: C → D (例えば、環上のプレスタック) が与えられたとき、Cの射f : x → yは、 Cの各対象z 、 Cの各射g : x → z 、およびDの各射v : π( y ) → π( z )に対して、π( g ) = v ∘ π( f ) となるような一意の射u : y → zが存在し、π( u ) = vかつg = u ∘ fとなる場合、π-コデカルトであるという。(つまり、fは π-コデカルト射の双対である。)  

デカルト正方形

ファイバー積として与えられた図式と同型な可換図式。

カテゴリー論理

圏論的論理とは、圏論を用いる数理論理学の手法である。

カテゴリー確率

カテゴリー確率

分類

カテゴリー化とは、集合と集合論的概念を、カテゴリーと圏論的概念に何らかの非自明な方法で置き換えることで、カテゴリー的なニュアンスを捉えるプロセスである。脱カテゴリー化は、カテゴリー化の逆である。

圏論は、空間からホモトピー的／ホモロジー的対象への質的な飛躍の研究において、極限への移行を伴う複雑な計算を導く必要性から生まれた。…しかし、圏論は、ウォルフの形而上学の精神に基づく単なる分類に満足するものではない（もっとも、その実践者の中にはそうする者もいるかもしれないが）。むしろ、圏論の本質的な内容は、射による数学的に正確な構造の可変性である。

—ウィリアム・ローヴェア、^{[ 3 ]}

カテゴリ

カテゴリは以下のデータで構成されます。

1. オブジェクトのクラス、
2. オブジェクトの各ペアX、Yに対して、セット${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$その要素はXからYへの射と呼ばれ、
3. オブジェクトX、Y、Zの各三重項に対して、マップ (合成と呼ばれる)

   ${\displaystyle \circ$ :\operatorname {Hom} (Y,Z)\times \operatorname {Hom} (X,Y)\to \operatorname {Hom} (X,Z),\,(g,f)\mapsto g\circ f} ,

4. 各オブジェクトXに対して、恒等射${\displaystyle \operatorname {id} _{X}\in \operatorname {Hom} (X,X)}$

以下の条件に従う：任意の射について${\displaystyle f:X\to Y}$、${\displaystyle g:Y\to Z}$そして${\displaystyle h:Z\to W}$、

• ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$そして${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}\circ f=f\circ \operatorname {id} _{X}=f}$。

例えば、半順序集合は圏と見なすことができる。対象は集合の要素であり、対象xとyの任意のペアに対して一意の射が存在する。${\displaystyle x\to y}$かつその場合に限り${\displaystyle x\leq y}$合成の結合性とは推移性を意味する。

カテゴリー

1. Catで表される(小さな) カテゴリーのカテゴリーは、対象が何らかの固定された宇宙に関して小さいすべてのカテゴリーであり、射がすべてのファンクターであるカテゴリーです。  

2.モジュールのカテゴリ、位相空間のカテゴリ、群のカテゴリ、距離空間のカテゴリなど。  

空間の分類

カテゴリーCの分類空間は、 Cの神経の幾何学的実現である。

共同

op- と同義語として使われることが多い。例えば、colimit は、反対のカテゴリーの極限という意味で op-limit を指す。しかし、区別がある場合もある。例えば、op-fibration はcofibrationとは異なる。

共密度モナド

共密度モナド。

終了

ファンクターのコエンド${\displaystyle F:C^{\text{op}}\times C\to X}$はFの終端の双対であり、 で表される。

${\displaystyle \int ^{c\in C}F(c,c)}$。

例えば、Rが環、M が右R加群、Nが左R加群である場合、MとNのテンソル積は次のようになります。

${\displaystyle M\otimes _{R}N=\int ^{R}M\otimes _{\mathbb {Z} }N}$

ここで、RはRの要素である射を持つ 1 つのオブジェクトを持つカテゴリと見なされます。

共イコライザー

一対の射の共等化子${\displaystyle f,g:A\to B}$これは、そのペアの余極限です。これは、イコライザーの双対です。

コヒーレーター

コヒーレーター

整合性定理

整合性定理とは、弱い構造が厳密な構造と等価であることを述べる形式の定理である。

筋の通った

1.一貫性のあるカテゴリ（現時点では、https://ncatlab.org/nlab/show/coherent+categoryを参照）。  

2.首尾一貫したトポス。  

結束力のある

まとまりのあるカテゴリー。

共像

射f : X → Yの余像は、${\displaystyle X\times _{Y}X\rightrightarrows X}$。

色付きオペラ

多圏の別の用語で、射が複数の領域を持つことができる一般化された圏です。「彩色オペラド」の概念はオペラドの概念よりも原始的です。実際、オペラドは単一の対象を持つ彩色オペラドとして定義できます。

コンマ

与えられたファンクター${\displaystyle f:C\to B,g:D\to B}$コンマカテゴリ${\displaystyle (f\downarrow g)}$は、(1)対象が射であるような圏である。${\displaystyle f(c)\to g(d)}$（２）${\displaystyle \alpha :f(c)\to g(d)}$に${\displaystyle \beta :f(c')\to g(d')}$構成する${\displaystyle c\to c'}$そして${\displaystyle d\to d'}$そのため${\displaystyle f(c)\to f(c'){\overset {\beta }{\to }}g(d')}$は${\displaystyle f(c){\overset {\alpha }{\to }}g(d)\to g(d').}$例えば、fが恒等関手であり、g が値bを持つ定数関手である場合、それは対象b上のBのスライス圏である。

コモナド

カテゴリーXにおけるコモナドは、 Xの自己関手のモノイドカテゴリーにおけるコモノイドである。

コンパクト

おそらく「アクセスしやすい」と同義語でしょう。

完了

すべての小さな制限が存在する場合、そのカテゴリは完全である。

完全

ドリーニュの完全性定理；参照。

構成

1.ある圏における射の合成は、その圏を定義するデータの一部である。  

2.もし  ${\displaystyle f:C\to D,\,g:D\to E}$ファンクターである場合、合成${\displaystyle g\circ f}$または${\displaystyle gf}$は、 Cのオブジェクトxと射uに対して、次のように定義されるファンクターです。${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)),\,(g\circ f)(u)=g(f(u))}$。

3.自然変換は点ごとに合成されます。  ${\displaystyle \varphi :f\to g,\,\psi :g\to h}$自然な変化であれば、${\displaystyle \psi \circ \varphi }$は自然変換によって与えられる${\displaystyle (\psi \circ \varphi )_{x}=\psi _{x}\circ \varphi _{x}}$。

コンピュータ

コンピューター。

コンクリート

具体的な圏 Cとは、 CからSetへの忠実な関手が存在する圏のことである。例えば、Vec、Grp 、 Topなどである。

円錐

円錐は、余極限（または双対的に極限）の普遍性を表現する方法である。 ^{[ 4 ]}余極限が${\displaystyle \varinjlim }$は対角関手の左随伴関手である。${\displaystyle \Delta :C\to \operatorname {Fct} (I,C)}$これは、オブジェクトXを値Xを持つ定数ファンクタに送ります。つまり、任意のXと任意のファンクタに対して、${\displaystyle f:I\to C}$、

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\varinjlim f,X)\simeq \operatorname {Hom} (f,\Delta _{X}),}$

問題の余極限が存在する場合。右辺は頂点Xを持つ錐の集合である。^{[ 5 ]}

接続済み

あるカテゴリーが連結であるとは、任意のオブジェクトのペアx、yに対して、次の条件を満たすオブジェクトの有限列z _{i が}存在する場合をいう。${\displaystyle z_{0}=x,z_{n}=y}$そしてどちらか${\displaystyle \operatorname {Hom} (z_{i},z_{i+1})}$または${\displaystyle \operatorname {Hom} (z_{i+1},z_{i})}$任意のiに対して空ではない。

保守的な関数

保存的ファンクターとは、同型写像を反映するファンクターのことである。多くの忘却ファンクターは保存的であるが、 TopからSetへの忘却ファンクターは保存的ではない。

絶え間ない

ファンクターは、圏内のすべての対象を同じ対象Aに写像し、すべての射をA上の恒等写像に写像する場合に定数である。言い換えれば、ファンクターは${\displaystyle f:C\to D}$定数となるのは、それが次のように因数分解される場合である。${\displaystyle C\to \{A\}{\overset {i}{\to }}D}$D内の何らかのオブジェクトAに対して、iは離散カテゴリ { A } の包含関係を表す。

反変関数

圏Cから圏Dへの反変関手 Fは、 C ^opからDへの（共変）関手です。特にDがSetまたは変種である場合、前層とも呼ばれます。例えば、各集合Sに対して、${\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)}$Sの冪集合とし、各関数について${\displaystyle f:S\to T}$、 定義する

${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f):{\mathfrak {P}}(T)\to {\mathfrak {P}}(S)}$

Tの サブセットA を前像に送信することによって${\displaystyle f^{-1}(A)}$これにより、${\displaystyle {\mathfrak {P}}:\mathbf {集合} \to \mathbf {集合} }$は反変関手である。

副産物

集合Iによって添え字付けられたカテゴリC内のオブジェクトの族X _iの余積は帰納的極限である${\displaystyle \varinjlim }$ファンクターの${\displaystyle I\to C,\,i\mapsto X_{i}}$ここで、Iは離散的なカテゴリと見なされます。これは、ファミリーの積の双対です。たとえば、Grpのコプロダクトは自由プロダクトです。

コア

圏の核とは、その圏に含まれる最大の群圏のことである。

立方体

立方体集合は単体集合の代替概念であり、単体は立方体に置き換えられる。

ダガーコンパクトカテゴリー

ダガーコンパクトカテゴリ。

デイ畳み込み

群またはモノイドMが与えられたとき、デイ畳み込みはテンソル積である。${\displaystyle \mathbf {Fct} (M,\mathbf {Set} )}$[ ^{6 ]​}

樹状

樹状集合。

密集

密なサブカテゴリは、適切なサブカテゴリの別名です。

密度定理

稠密定理は、すべての前層（集合値反変関手）が表現可能な前層の余極限であることを述べている。米田の補題は、圏CをC上の前層の圏に埋め込む。そして稠密定理によれば、その像は「稠密」である。この「稠密」という名称は、抽象代数学におけるヤコブソン稠密定理（あるいは他の変形）との類似性に基づいている。

対角ファンクター

1.カテゴリーI、Cが与えられたとき、対角関手は関手である。   

${\displaystyle \Delta :C\to \mathbf {Fct} (I,C),\,A\mapsto \Delta _{A}}$

各オブジェクトAを値Aを持つ定数ファンクターに 送り、各射を${\displaystyle f:A\to B}$自然な変化へ${\displaystyle \Delta _{f,i}:\Delta _{A}(i)=A\to \Delta _{B}(i)=B}$つまり、各iにおいてfである。

図

1.カテゴリーCが与えられたとき、Cの図式はファンクターである。  ${\displaystyle f:I\to C}$カテゴリIから。たとえば、${\displaystyle I=\mathbb {N} }$恒等写像以外の射が存在しない場合、図式は単にオブジェクトの列に相当します。一般的なIに対しては、通常、 fによるI内のオブジェクトの像の間に射が存在します（これが図式という用語の由来です）。

2.単体図、反対の図  ${\displaystyle \Delta ^{\textrm {op}}}$単体カテゴリーに属する。

図解セット

図式集合は、単体集合や立方体集合の代替となるものである。

段階別カテゴリー

微分次数付き圏とは、そのHom集合が微分次数付き加群の構造を備えている圏のことである。特に、対象が1つしかない圏は、微分次数付き加群と同じである。

直接制限

直接極限は、直接系の余極限です。

離散

圏が離散的であるとは、各射が（ある対象の）恒等射である場合をいう。例えば、集合は離散圏とみなすことができる。

卸売業者

「プロファンクター」の別称。

ダブル

ダブルカテゴリ。

ドワイヤー・カン等価性

ドワイヤー・カン同値性とは、単体の文脈におけるカテゴリーの同値性の一般化である。^{[ 7 ]}

小学校

1.抽象圏の初等理論  

2.集合の圏の初等理論。  

3.カテゴリーのカテゴリーの基本理論。  

アイレンバーグ・ムーア分類

与えられたモナドに対する代数の圏の別の名称。

アイレンベルク・ジルバー分類

アイレンベルク・ジルバー分類。

空の

空圏とは、対象を持たない圏のことである。空集合を離散的な圏とみなした場合、空圏は空集合と同じものとなる。

終わり

ファンクターの終了${\displaystyle F:C^{\text{op}}\times C\to X}$限界

${\displaystyle \int _{c\in C}F(c,c)=\varprojlim (F^{\#}:C^{\#}\to X)}$

どこ${\displaystyle C^{\#}}$は、対象が記号である圏（Cの細分圏と呼ばれる）である。${\displaystyle c^{\#},u^{\#}}$Cのすべてのオブジェクトcと、射が次のようになるすべての射uについて$\displaystyle b^{\#}\to u^{\#}}$そして$\displaystyle u^{\#}\to c^{\#}}$もし${\displaystyle u:b\to c}$そしてどこで$\displaystyle F^{\#}}$Fによって誘導されるため、${\displaystyle c^{\#}}$行くでしょう${\displaystyle F(c,c)}$そして${\displaystyle u^{\#},u:b\to c}$行くでしょう${\displaystyle F(b,c)}$例えば、ファンクターの場合${\displaystyle F,G:C\to X}$、

${\displaystyle \int _{c\in C}\operatorname {Hom} (F(c),G(c))}$

は、 FからGへの 自然変換の集合です。その他の例については、この mathoverflow のスレッドを参照してください。端の双対は、余端です。

エンドファンクター

同一圏間の関手。

充実したカテゴリ

モノイド圏 ( C , ⊗, 1) が与えられたとき、C上で豊かにされた圏とは、非公式には、Hom 集合がCに含まれる圏のことである。より正確には、 C上で豊かにされた圏Dとは、以下のデータからなるものである。

1. オブジェクトのクラス、
2. D内のオブジェクトX、Yの各ペアに対して、オブジェクト${\displaystyle \operatorname {Map} _{D}(X,Y)}$C言語では、XからYへのマッピングオブジェクトと呼ばれ、
3. D内のオブジェクトの各トリプルX、Y、Zに対して、 C内の射、

   ${\displaystyle \circ$ :\operatorname {Map} _{D}(Y,Z)\otimes \operatorname {Map} _{D}(X,Y)\to \operatorname {Map} _{D}(X,Z)} ,

   組成物と呼ばれる、

4. Dの各オブジェクトXに対して、射${\displaystyle 1_{X}:1\to \operatorname {Map} _{D}(X,X)}$Cにおいて、 Xの単位射と呼ばれる

ただし、（おおよそ）合成が結合法則を満たし、単位射が乗法的な単位元として作用するという条件を満たすものとする。

例えば、集合によって拡張された圏は、通常の圏である。

エピモルフィズム

射fが全射であるのは、${\displaystyle g=h}$いつでも${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$言い換えれば、fは単射の双対である。

イコライザ

一対の射の等化器${\displaystyle f,g:A\to B}$これはペアの極限です。これはコイコライザーの双対です。

等価

1.ファンクターは、忠実で、完全で、本質的に全射である場合に同値である。  

2. ∞-圏Cにおける射は、 C のホモトピー圏における同型を与える場合に同値である。  

同等

あるカテゴリーが別のカテゴリーと同等であるとは、両者の間に同等性が存在する場合をいう。

本質的に全射

関手Fは、任意の対象Bに対して、 F ( A ) がBと同型となるような対象Aが存在する場合、本質的に全射（または同型稠密）であると呼ばれる。

評価

カテゴリーC、DおよびC内のオブジェクトAが与えられたとき、Aにおける評価はファンクターである。

${\displaystyle \mathbf {Fct} (C,D)\to D,\,\,F\mapsto F(A).}$

例えば、アイレンベルク＝スティーンロッドの公理は、関手が同値となる例を示している。

ちょうど

1.完全数列とは、通常、（任意の負の整数から任意の正の整数までの）写像の列である。   

${\displaystyle \cdots \to E_{1}{\overset {f_{1}}{\to }}E_{2}{\overset {f_{2}}{\to }}E_{3}\to \cdots }$

そのため、${\displaystyle f_{i}}$は核心です${\displaystyle f_{i+1}}$この概念は様々な形で一般化することができる。

2.短い完全数列は、次の形式の数列です。  ${\displaystyle 0\to E\to F\to G\to 0}$。

3.ファンクター（例えば、アーベル圏間のファンクター）は、短完全列を短完全列に写像する場合、完全であると言われる。  

4.完全圏とは、おおよそ短い完全列の概念が存在する圏のことである。  

5. Barr の意味での正確なカテゴリー。  

出口

出口パスカテゴリ

忠実な

ファンクターは、各hom-集合に制限したときに単射である場合に忠実である。

基本カテゴリー

基本圏関数${\displaystyle \tau _{1}:s\mathbf {Set} \to \mathbf {Cat} }$は神経関数Nの左随伴です。すべてのカテゴリCに対して、${\displaystyle \tau _{1}NC=C}$。

基本群

1.位相空間Xの基本群圏は、対象がX上の点であり、射が経路のホモトピー類であるような圏である。  

2. Kan複体Xの基本群圏は、対象が0単体（頂点）であるような圏である。  ${\displaystyle \Delta ^{0}\to X}$射とは、1-単体（パス）のホモトピー類である。${\displaystyle \Delta ^{1}\to X}$そして組成はカン特性によって決定される。

ファイバーカテゴリ

関手 π: C → Dは、 D上のファイバー圏としてC を示すとは、 D内の各射g : x → π( y )に対して、π( f ) = gとなるようなC内のπ-デカルト射f : x' → yが存在する場合をいう。Dがアフィン スキームの圏 (例えば、ある体上の有限型) である場合、π はより一般的にプレスタックと呼ばれる。注: π はしばしば忘却関手であり、実際、グロタンディーク構成は、すべてのファイバー圏を (適切な意味での同値を除いて) その形式とみなすことができることを意味する。

繊維製品

カテゴリーCと集合Iが与えられたとき、Iでインデックス付けされたC内のオブジェクトの族X _iのオブジェクトS上のファイバー積は、スライスカテゴリー内のその族の積である。${\displaystyle C_{/S}}$CのS上(ただし、${\displaystyle X_{i}\to S}$) 2つのオブジェクトXとYのオブジェクトS上のファイバー積は、次のように表されます。${\displaystyle X\times _{S}Y}$また、デカルト正方形とも呼ばれます。

フィブラント

ある対象がファイブラントであるとは、その対象から最終対象への唯一の射がファイブレーションである場合をいう（ただし、ファイブレーションの概念が存在する場合に限る）。

フィルタリング済み

1.フィルター付き圏（フィルター圏とも呼ばれる）は、次の性質を持つ空でない圏である。(1) 対象iとjが与えられたとき、対象kと射i → kおよびj → kが存在する。(2) 射u、v : i → jが与えられたとき、対象kと射w : j → kが存在し、 w ∘ u = w ∘ vとなる。圏Iがフィルター付きであるのは、各有限圏Jおよび関手f : J → Iに対して、集合が次の条件を満たす場合のみである。  ${\displaystyle \varprojlim \operatorname {Hom} (f(j),i)}$I内の何らかのオブジェクトiに対して、 は空ではありません。

2.基数 π が与えられたとき、射の集合の基数が π より厳密に小さい各圏Jに対して、集合が π フィルターであると言われる。  ${\displaystyle \varprojlim \operatorname {Hom} (f(j),i)}$I内の何らかのオブジェクトiに対して、 は空ではありません。

ファイナル

終末と同義

有限モナド

有限モナドまたは代数的モナドとは、基底となる自己関手がフィルター付き余極限と可換である集合上のモナドのことである。

有限

有限圏とは、有限個の射しか持たない圏のことである。

忘れっぽい関数

忘却ファンクターは、大まかに言えば、オブジェクトのデータの一部を失うファンクターです。例えば、ファンクター${\displaystyle \mathbf {Grp} \to \mathbf {Set} }$群をその基礎となる集合に送り、群準同型をそれ自身に送る関数は、忘却関手である。

無料カテゴリ

グラフによって生成されたフリーカテゴリ${\displaystyle G}$これは地図と同義のカテゴリです${\displaystyle G\to UC}$= 基となるグラフ${\displaystyle C}$（１）オブジェクトがまさに頂点である${\displaystyle G}$（２）${\displaystyle G\to UD}$カテゴリについて${\displaystyle D}$独自の要因を通じて${\displaystyle G\to UC}$。 例えば、${\displaystyle [n]=\{0,\cdots ,n\}}$無料カテゴリです。

無料完了

自由補完、自由共同補完。

自由関数

自由関手とは、忘却関手の左随伴関手のことである。例えば、環Rに対して、集合XをXによって生成される自由R加群に送る関手は自由関手である（これが名前の由来である）。

フロベニウス分類

フロベニウス圏とは、十分な数の単射と十分な数の射影を持ち、単射対象のクラスが射影対象のクラスと一致するような完全圏のことである。

深谷カテゴリー

深谷カテゴリを参照してください。

満杯

1.ファンクターは、各hom-集合に制限したときに全射である場合に完全である。  

2.カテゴリーAがカテゴリーBの完全部分カテゴリーであるとは、 AからBへの包含関手が完全である場合をいう。  

ファンクタ

カテゴリーC、Dが与えられたとき、CからDへのファンクターFは、 CからDへの構造保存写像です。つまり、 Cの各オブジェクトxに対してDのオブジェクトF ( x )と、条件を満たすCの各射fに対してDの射F ( f )から構成されます。(1)${\displaystyle F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)}$いつでも${\displaystyle f\circ g}$定義され、（２）${\displaystyle F(\operatorname {id} _{x})=\operatorname {id} _{F(x)}}$。 例えば、

${\displaystyle {\mathfrak {P}}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} ,\,S\mapsto {\mathfrak {P}}(S)}$、

どこ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)}$Sの冪集合は、各関数に対して次のように定義すればファンクターです。${\displaystyle f:S\to T}$、${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f):{\mathfrak {P}}(S)\to {\mathfrak {P}}(T)}$による${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f)(A)=f(A)}$。

ファンクター圏

ファンクターカテゴリFct ( C , D ) または${\displaystyle D^{C}}$カテゴリーCからカテゴリーDへの変換とは、対象がCからDへのすべての関手であり、射が関手間のすべての自然変換であるようなカテゴリーのことである。

ガブリエル・ポペスクの定理

ガブリエル＝ポペスクの定理によれば、アーベル圏は加群の圏の商圏である。

ガロア圏

1. SGA 1 、Exposé V（定義 5.1.）では、あるプロ有限群Gの有限G集合の圏と同値である場合、その圏はガロア圏と呼ばれます。  

2.技術的な理由から、一部の著者（例えば、Stacksプロジェクト^{[ 8 ]}または^{[ 9 ]}）は、わずかに異なる定義を使用しています。  

ジェネレータ

カテゴリCでは、オブジェクトのファミリー${\displaystyle G_{i},i\in I}$ファンクターがCの生成元システムである場合${\displaystyle X\mapsto \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} (G_{i},X)}$は保守的である。その双対はコジェネレータシステムと呼ばれる。

一般化された

一般化された距離空間。

グレー

1.グレイテンソル積は、デカルト積の緩やかな類似物である。^{[ 10 ]}  

2.グレーカテゴリは、ある種の半厳密な3カテゴリです。詳細はhttps://ncatlab.org/nlab/show/Gray-categoryをご覧ください。  

グロス・トポス

グロス・トポス（位相空間）の概念はジャン・ジローによるものである。

グロタンディークのガロア理論

ガロア理論の圏論的一般化。グロタンディークのガロア理論を参照。

グロタンディーク・カテゴリー

グロタンディーク圏とは、ある種の性質の良いアーベル圏のことである。

グロタンディーク建設

ファンクターが与えられた場合${\displaystyle U:C\to \mathbf {Cat} }$ここで、D _Uを、対象がCの対象xと U ( x ) の対象uからなるペア ( x , u ) であり、 ( x , u )から( y , v ) への射が、Cの射f : x → yとU ( y )の射U ( f )( u ) → vからなるペアであるような圏とする。このとき、 UからD _Uへの移行はグロタンディーク構成と呼ばれる。

グロタンディークファイブレーション

光ファイバー関連のカテゴリー。

群状

1.ある圏が群圏であるとは、その圏内のすべての射が同型であることを意味する。  

2. ∞圏は、その中の全ての射が同値である場合（または同等に、それがKan複体である場合）に、∞群圏と呼ばれる。  

圏のホール代数

リンゲル・ホール代数を参照のこと。

心臓

t構造の核心（${\displaystyle D^{\geq 0}}$、${\displaystyle D^{\leq 0}}$三角形化されたカテゴリにおける交差は${\displaystyle D^{\geq 0}\cap D^{\leq 0}}$これはアーベル圏である。

高次のカテゴリー理論

高次圏論は圏論の下位分野であり、 n-圏と∞-圏の研究に関わる。

より高いスタック

上位スタックとは、スタックをより上位のカテゴリに一般化したものです。

ホモロジー次元

十分な数の単射を持つアーベル圏のホモロジー次元は、その圏のすべての対象が長さが高々nの単射分解を持つような最小の非負整数nである。そのような整数が存在しない場合は、次元は ∞ となる。例えば、主イデアル領域がRであるMod _Rのホモロジー次元は高々 1 である。

ホモトピー圏

ホモトピー圏を参照してください。これは圏の局所化と密接に関連しています。

ホモトピー余極限

トマソンのホモトピー余極限定理。

ホモトピー仮説

ホモトピー仮説によれば、∞-群圏は空間である（より明確に言えば、n-群圏はホモトピーn型として使用できる）。

水平構成

与えられたファンクター${\displaystyle f,g:C\to D,\,u,v:D\to E}$水平構成は

${\displaystyle *:\operatorname {Nat} (u,v)\times \operatorname {Nat} (f,g)\to \operatorname {Nat} (u\circ f,v\circ g)}$

によって与えられた${\displaystyle (\psi *\varphi )_{x}=\psi _{g(x)}\circ u(\varphi _{x})=v(\varphi _{x})\circ \psi _{f(x)}}$（2番目の等式は${\displaystyle \psi }$自然なことです。

冪等

1.自己準同型fが冪等であるのは、  ${\displaystyle f\circ f=f}$。

2.カテゴリーの冪等性による完全化とは、カテゴリーを普遍的に拡張し、冪等性を分割することである。例えば、有効（純粋）動機のカテゴリーは、対応のカテゴリーの冪等性による完全化として定義される。  

身元

1.オブジェクトAの恒等射fは、 AからAへの射であり、定義域がAである任意の射gと終域がAである射hに対して、  ${\displaystyle g\circ f=g}$そして${\displaystyle f\circ h=h}$。

2.カテゴリーC上の恒等関手とは、対象と射を自身に送るCからCへの関手のことである。  

3.ファンクターF : C → Dが与えられたとき、FからFへの恒等自然変換は、 Cの対象Xに対するDにおけるF ( X )の恒等射からなる自然変換である。  

画像

射f : X → Yの像は、${\displaystyle Y\rightrightarrows Y\sqcup _{X}Y}$。

インドリミット

余極限（または帰納的極限）${\displaystyle \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$。

誘導限界

余限の別名。

∞-カテゴリ

∞圏の理論は、圏論の形式言語の意味論的解釈である。これは、∞圏の設定において、圏論の言語で定式化されたあらゆる命題を体系的に理解できることを意味する。

—デニス＝シャルル・シシンスキー、^{[ 11 ]}

∞-圏は、対象と射のクラス/集合を対象と射の空間に置き換えることによって、ある圏から得られます。正確には、∞-圏Cは、次の条件を満たす単体集合です。各 0 < i < nに対して、

• 単体集合のすべてのマップ${\displaystyle f:\Lambda _{i}^{n}\to C}$n単体に拡張する${\displaystyle f:\Delta ^{n}\to C}$

ここで、Δ ⁿは標準n単体であり、${\displaystyle \Lambda _{i}^{n}}$は、 Δ ⁿからi番目の面と内部を取り除くことによって得られます (カンファイブレーション#定義を参照)。たとえば、あるカテゴリの神経は条件を満たすため、∞-カテゴリとみなすことができます。

(∞, n )-カテゴリ

(∞, n )-圏は、∞-圏の射の空間を(∞, n - 1)-圏の射に置き換えることによって得られる。

∞層

ホモトピー層の別の用語。

イニシャル

1.オブジェクトAは、 Aから各オブジェクトへの射がちょうど 1 つ存在する場合に初期である。例: Setの空集合。  

2. ∞-カテゴリC内のオブジェクトAは、以下の条件を満たす場合に初期である。  ${\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(A,B)}$C内の各オブジェクトBに対して、収縮可能である。

注射剤

1.アーベル圏の対象Aは、関手が次の条件を満たす場合に単射である。  ${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,A)}$正確である。それは射影対象の双対である。

2. 「単射極限」という用語は、直接極限の別名です。  

交換

インターチェンジ法によれば

${\displaystyle (\psi '\circ \varphi ')*(\psi \circ \varphi )=(\psi '*\psi )\circ (\varphi '*\varphi )}$

どこ${\displaystyle \circ ,*}$垂直構成と水平構成を表す。同一性の保持と合わせて、この法律は次のように言うことができる。

${\displaystyle *:\operatorname {Fct} (B,C)\times \operatorname {Fct} (A,B)\to \operatorname {Fct} (A,C)}$

はファンクターです。

内部ホーム

モノイド圏( C , ⊗ )が与えられたとき、内部 Homは関手である。${\displaystyle [-,-]:C^{\text{op}}\times C\to C}$そのため${\displaystyle [Y,-]}$は右随伴です${\displaystyle -\otimes Y}$Cの各オブジェクトYに対して。例えば、可換環R上の加群の圏の内部 Hom は次のように与えられる。${\displaystyle [M,N]=\operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$R線形写像の集合。

逆

1.射fが射gの逆射であるとは、次の条件を満たす場合である。  ${\displaystyle g\circ f}$は定義され、 gの終域上の恒等射に等しく、${\displaystyle f\circ g}$は定義され、 gの定義域上の恒等射に等しい。gの逆写像は一意であり、 g ⁻¹で表される。fがgの左逆写像であるのは、次の場合である。${\displaystyle f\circ g}$は定義されており、 gの定義域上の恒等射に等しく、右逆についても同様です。

2.逆極限とは、逆システムの極限のことです。  

イズベル

1.イズベル双対性／イズベル共役性  

2.イズベル完成法。  

3.イズベル封筒。  

同型

1.あるオブジェクトが別のオブジェクトと同型であるとは、それらの間に同型写像が存在する場合をいう。  

2.ある圏が別の圏と同型であるとは、それらの間に同型写像が存在する場合をいう。  

同型性

射fは、 fの逆射が存在する場合に同型である。

カン

1.カン複体は単体集合の圏におけるファイブラント対象です。つまり、そこから最終対象への唯一の射はファイブレーション（カンファイブレーション）です。これはしばしば∞群圏のモデルとして用いられます。  

2.単体集合間のカンファイブレーションは、ホーン包含物に関して右持ち上げ特性を持つ写像である。  ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}\to \Delta ^{n}}$のために${\displaystyle n\geq 1}$そして${\displaystyle 0\leq k\leq n}$。

3.各ホム集合が単体集合であるカン複体の圏を考えます。そのホモトピーコヒーレントな神経は、カンで表される∞圏です。ホモトピー仮説を考慮すると、後者はしばしば空間の∞圏とみなされます。  

Kan拡張機能

1.圏Cが与えられたとき、左Kan 拡張ファンクターはファンクターに沿って定義される。  ${\displaystyle f:I\to J}$は、(存在する場合) の左随伴です。${\displaystyle f^{*}=-\circ f:\operatorname {Fct} (J,C)\to \operatorname {Fct} (I,C)}$そして、で表されます。${\displaystyle f_{!}}$どのような場合でも${\displaystyle \alpha :I\to C}$ファンクター${\displaystyle f_{!}\alpha :J\to C}$これは、 fに沿った α の左 Kan 拡張と呼ばれる。^{[ 12 ]}次のように示すことができる。

${\displaystyle (f_{!}\alpha )(j)=\varinjlim _{f(i)\to j}\alpha (i)}$

余極限がすべてのオブジェクトにわたって実行される${\displaystyle f(i)\to j}$コンマのカテゴリーで。

2.右 Kan 拡張ファンクタは、右随伴関数 (存在する場合) である。  ${\displaystyle f^{*}}$そして、で表されます。${\displaystyle f_{*}}$。

ケン・ブラウンの補題

ケン・ブラウンの補題は、ファンクターが弱同値性を保持するための十分条件を与える。

クライスリカテゴリー

モナドTが与えられたとき、Tのクライスリ圏は、自由T代数からなるT代数の圏 (アイレンベルク・ムーア圏と呼ばれる) の完全部分圏である。

大きい

大きな圏とは、すべての射が集合ではなくクラスを形成する圏のことである。言い換えれば、小さな圏ではない圏のことである。

ローヴェア

ローヴェアの不動点定理。詳しくは、https://ncatlab.org/nlab/show/Lawvere%27s+fixed+point+theoremを参照してください。

弛緩剤、弛緩剤、弛緩剤

1. 2-カテゴリおよびより一般化された上位カテゴリでは、特定のカテゴリ構造に接頭辞 lax- が追加され、必ずしも可逆ではない比較概念を表し、比較の方向が逆の場合は、代わりに接頭辞 oplax- または接頭辞 colax- が追加されます。^{[ 13 ]}  

2.特に、緩いファンクターは擬似ファンクターの一般化であり、合成と恒等式に関連する構造変換は可逆である必要がない。  

長さ

アーベル圏の対象は、構成系列を持つ場合は有限長である。そのような構成系列における真のサブオブジェクトの最大数をAの長さと呼ぶ。^{[ 14 ]}

制限

1.ファンクターの極限（または射影極限）  ${\displaystyle f:I^{\text{op}}\to \mathbf {Set} }$は

${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}f(i)=\{(x_{i}|i)\in \prod _{i}f(i)\mid f(s)(x_{j})=x_{i}{\text{ for any }}s:i\to j\}.}$

2.限界  ${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}f(i)}$ファンクターの${\displaystyle f:I^{\text{op}}\to C}$は、 C内の任意のオブジェクトXに対して、 を満たすオブジェクト (存在する場合) である。${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,\varprojlim _{i\in I}f(i))=\varprojlim _{i\in I}\operatorname {Hom} (X,f(i))}$つまり、それはファンクターを表すオブジェクトである。${\displaystyle X\mapsto \varprojlim _{i}\operatorname {Hom} (X,f(i)).}$

3.余極限（または帰納的極限）  ${\displaystyle \varinjlim _{i\in I}f(i)}$極限の双対である。つまり、ある関手が与えられたとき${\displaystyle f:I\to C}$、次の条件を満たす：任意のXに対して、${\displaystyle \operatorname {Hom} (\varinjlim f(i),X)=\varprojlim \operatorname {Hom} (f(i),X)}$具体的には、${\displaystyle \varinjlim f(i)\to X}$射の族を与えること${\displaystyle f(i)\to X}$任意の${\displaystyle i\to j}$、${\displaystyle f(i)\to X}$は${\displaystyle f(i)\to f(j)\to X}$おそらく、余極限の最も単純な例は、余等化子でしょう。別の例として、fをC上の恒等関手とし、${\displaystyle L=\varinjlim _{X\in C}f(X)}$が存在する場合、 L上の恒等射は、互換性のある射の族に対応する。${\displaystyle \alpha _{X}:X\to L}$そのため${\displaystyle \alpha _{L}}$はアイデンティティです。${\displaystyle f:X\to L}$任意の射である場合、${\displaystyle f=\alpha _{L}\circ f=\alpha _{X}}$つまり、LはCの最終オブジェクトである。

カテゴリのローカライズ

カテゴリーの局所化と∞カテゴリーの局所化を参照してください。

マッカイ

マッカイ双対性。今のところは、https://ncatlab.org/nlab/show/Makkai+dualityを参照してください。

ミッタッグ＝レフラー病

逆システム${\displaystyle \cdots \to X_{2}\to X_{1}\to X_{0}}$各整数に対して、がミッタッグ＝レフラー条件を満たすと言われている。${\displaystyle n\geq 0}$整数が存在する${\displaystyle m\geq n}$各${\displaystyle l\geq m}$、${\displaystyle X_{m}\to X_{n}}$そして${\displaystyle X_{l}\to X_{n}}$同じです。

修正

修正とは、自然変換間の射のことである。

モジュラー

モジュールカテゴリ

モナド

圏Xにおけるモナドとは、合成によって与えられるモノイド構造を持つXの自己関手のモノイド圏におけるモノイド対象である。例えば、群Gが与えられたとき、 Set上の自己関手T を次のように定義する。${\displaystyle T(X)=G\times X}$。次に、 T上の乗法μを自然変換として定義する。${\displaystyle \mu :T\circ T\to T}$によって与えられた

${\displaystyle \mu _{X}:G\times (G\times X)\to G\times X,\,\,(g,(h,x))\mapsto (gh,x)}$

また、同様の方法で恒等写像ηを定義します。すると、( T、μ、η ) はSet内のモナドを構成します。より具体的には、ファンクター間の随伴${\displaystyle F:X\rightleftarrows A:G}$X内のモナドを決定する。すなわち、${\displaystyle T=G\circ F}$、 T上の恒等写像η を随伴の単位とし、また随伴を用いてμを定義する。

単項

1.随伴は、アイレンベルク・ムーア圏（モナドの代数の圏）によって決定されるモナドから来る場合、モナド的であると言われる。  

2.ファンクターがモナド的随伴の構成要素である場合、そのファンクターはモナド的であると言われる。  

モノイド圏

モノイド圏（テンソル圏とも呼ばれる）は、(1)双関手を備えた圏Cである。${\displaystyle \otimes :C\times C\to C}$（２）同一性対象、および（３）特定の整合性条件の下で⊗を結合的かつ同一性対象が⊗の同一性となるような自然な同型性。

モノイドオブジェクト

モノイド圏におけるモノイド対象とは、結合法則などの期待される条件を満たす乗法写像と恒等写像を伴う対象のことである。例えば、集合圏におけるモノイド対象は通常のモノイド（単位元を持つ半群）であり、 R -modにおけるモノイド対象は可換環R上の結合代数である。

単相性

射fは、以下の条件を満たす場合に単射（またはモニックとも呼ばれる）である。${\displaystyle g=h}$いつでも${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$例えば、集合における単射である。言い換えれば、fは全射準同型の双対である。

複数カテゴリー

多重圏とは、射が複数の領域を持つことを許容する圏の一般化である。これは彩色オペラドと同じものである。^{[ 15 ]}

nカテゴリ

弱いn圏の定義を比較するという問題は、 2 つの定義が同等であるとはどういう意味なのかさえ言うのが難しいため、厄介な問題です。[...] 弱いn圏とそれらの間の関手、変換などによって形成される構造は、弱い ( n + 1) 圏であるべきだと広く考えられています。そして、もしそうであれば、あなたの弱いn圏の弱い ( n + 1) 圏が私のものと同等かどうかという問題になりますが、ここで使用している弱い ( n + 1) 圏の定義は誰のものなのでしょうか... ? 

—トム・レインスター著、「n-カテゴリの定義に関する調査」

1.厳密なn圏は帰納的に定義される。厳密な 0 圏は集合であり、厳密なn圏は Hom 集合が厳密な ( n -1) 圏であるような圏である。正確には、厳密なn圏は厳密な ( n -1) 圏の上に拡張された圏である。例えば、厳密な 1 圏は通常の圏である。  

2.弱いn圏の概念は、厳密な n 圏から、合成の結合性などの条件を弱めて、弱い意味でのコヒーレント同型写像のみに適用されるようにすることによって得られます。  

3. ∞-圏は、n-圏のコリムの一種として定義できる。逆に、最初に（弱い）∞-圏（例えば準圏）の概念があれば、弱いn-圏は、切り詰められた∞-圏の一種として定義できる。  

自然

1.自然変換とは、おおまかに言えば、関手間の写像である。正確には、圏Cから圏Dへの関手FとGのペアが与えられたとき、FからGへの自然変換φは、 Dにおける射の集合である。  

${\displaystyle \{\phi _{x}:F(x)\to G(x)\mid x\in \operatorname {Ob} (C)\}}$

条件を満たす: Cの各射f : x → yに対して、${\displaystyle \phi _{y}\circ F(f)=G(f)\circ \phi _{x}}$例えば、${\displaystyle GL_{n}(R)}$可換環Rの係数を持つ可逆なn × n行列のグループについては、次のように考えることができます。${\displaystyle GL_{n}}$可換環の圏CRingから群の圏Grpへの関手として。同様に、${\displaystyle R\mapsto R^{*}}$はCRingからGrpへのファンクターです。すると、行列式det は からの自然な変換です。${\displaystyle GL_{n}}$に - ^*。

2.自然同型写像とは、同型写像である（つまり、逆写像を持つ）自然変換のことである。  

自然数

自然数オブジェクト

神経

1.神経関数Nは、 Catからs Setへの関数であり、次のように定義される。  ${\displaystyle N(C)_{n}=\operatorname {Hom} _{\mathbf {Cat} }([n],C)}$例えば、${\displaystyle \varphi }$はファンクターです${\displaystyle N(C)_{2}}$（2-単体と呼ばれる）${\displaystyle x_{i}=\varphi (i),\,0\leq i\leq 2}$。 それから${\displaystyle \varphi (0\to 1)}$射である${\displaystyle f:x_{0}\to x_{1}}$C言語で、また${\displaystyle \varphi (1\to 2)=g:x_{1}\to x_{2}}$Cのあるgに対して。${\displaystyle 0\to 2}$は${\displaystyle 0\to 1}$に続く${\displaystyle 1\to 2}$そしてそれ以来${\displaystyle \varphi }$ファンクターです。${\displaystyle \varphi (0\to 2)=g\circ f}$。 言い換えると、${\displaystyle \varphi }$f、g、およびそれらの合成をエンコードします。

2.単体豊饒圏のホモトピーコヒーレント神経は、その一般化である。2-圏の場合、それはその圏のダスキン神経と呼ばれる。  

普通

単射が何らかの射の核である場合、その単射は正規である。全射が何らかの射の余核である場合、その全射は余正規である。圏が正規であるとは、すべての単射が正規である場合をいう。

物体

1.オブジェクトは、カテゴリを定義するデータの一部です。  

2.カテゴリーCにおける [形容詞] 対象は、その「形容詞」に対応する固定されたカテゴリーからCへの反変関手 (または前層) である。例えば、Cにおける単体対象は単体カテゴリーからCへの反変関手であり、Γ 対象はC が点付きである場合、Γ (おおよそ点付き有限集合の点付きカテゴリー)からCへの点付き反変関手である。  

オプフィブレーション

関数 π: C → Dは、 Cの各対象xと D の各射g : π( x ) → yに対して、 π( f ) = gとなるような π-コデカルト射f : x → y'がCに少なくとも 1 つ存在する場合、op-ファイブレーションである。言い換えれば、π はグロタンディーク ファイブレーションの双対である。 

反対

あるカテゴリーの反対のカテゴリーは、矢印の向きを反転させることによって得られます。例えば、半順序集合をカテゴリーとみなした場合、その反対のカテゴリーを取ることは、順序を反転させることに相当します。

並列射

圏における2つの射f、g${\displaystyle {\mathcal {C}}}$定義域と値域が同じであれば、それらは平行であると言えます。これは次のように視覚化できます。${\displaystyle f,g:A{\overset {f}{\underset {g}{\rightrightarrows }}}B}$。

完璧

「コンパクト」と同義語として使われることもある。完全複体を参照。

指摘した

圏（または∞圏）は、零対象を持つ場合、点付きであると呼ばれる。

ポリグラフ

ポリグラフは、有向グラフの一般化である。

多項式

有限次元ベクトル空間の圏からそれ自身への関手は、任意のベクトル空間の組V、W、Fに対して、 Hom( V、W ) → Hom( F ( V ) 、F ( W ))がベクトル空間間の多項式写像である場合、多項式関手と呼ばれる。シューア関手はその基本的な例である。

前アーベル的

前アーベル圏とは、すべての核と余核を持つ加法圏のことである。

添加剤前

ある圏が前加法的であるとは、それがアーベル群のモノイド圏上で豊饒化されていることを意味する。より一般的には、可換環RのR加群のモノイド圏上で豊饒化されていることをR線形と呼ぶ。

予約注文

予約注文は、各オブジェクトに対して${\displaystyle a,b}$射が存在する場合${\displaystyle a\to b}$、それは唯一無二である。（この定義は、一般的な非圏論的定義と一致する。）

見栄えの良い

1.正則基数κが与えられたとき、ある圏がκ-表現可能であるとは、その圏がすべての小さな余極限を持ち、かつκ-アクセス可能であることを意味する。ある正則基数 κ に対して κ-表現可能である場合、その圏は表現可能である（したがって、任意のより大きな基数に対しても表現可能である）。注：表現可能な圏を局所的に表現可能な圏と呼ぶ著者もいる。  

2.提示可能な∞-カテゴリ。  

プレシーフ

反変関手の別の用語: 圏C ^opからSetへの関手はC上の集合の前層であり、 C ^opからs Setへの関手は単体集合の前層または単体前層などです。C上の位相が存在する場合、どの前層が (その位相に関して) 層であるかを示します。

製品

1.集合Iによって添え字付けられたカテゴリC内のオブジェクトの族X _iの積は射影極限である  ${\displaystyle \varprojlim }$ファンクターの${\displaystyle I\to C,\,i\mapsto X_{i}}$ここで、Iは離散的なカテゴリとみなされる。それは次のように表される。${\displaystyle \prod _{i}X_{i}}$そして、それはその族の副産物の双対である。

2.集合Iによって添え字付けられたカテゴリ族C _iの積は、次のカテゴリで表される。  ${\displaystyle \prod _{i}C_{i}}$オブジェクトのクラスはC _iのオブジェクトのクラスの積であり、その hom-セットは${\displaystyle \prod _{i}\operatorname {Hom} _{\operatorname {C_{i}} }(X_{i},Y_{i})}$射は成分ごとに合成される。これは非交和の双対である。

2.与えられたファンクター  ${\displaystyle f,g}$それらの製品はポイントごとに定義されます。${\displaystyle (f\times g)(a,b)=(f(a),f(b))}$オブジェクトと射のペアについて${\displaystyle a,b}$。

教授

カテゴリーCとDが与えられたとき、CからDへのプロファンクター(または分配器)は、次の形式のファンクターである。${\displaystyle D^{\text{op}}\times C\to \mathbf {Set} }$。

投影法

1.アーベル圏の対象Aは、関手が次の条件を満たす場合に射影的である。  ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}$これは正確です。これは単射対象の双対です。

2. 「射影極限」という用語は、逆極限の別名です。  

小道具

PROPとは、対象が自然数であり、自然数のテンソル積加算が定義される対称厳密モノイド圏のことである。

擬似-

2-カテゴリーおよびより一般化された高次のカテゴリーでは、同型性までの概念を表すために、特定のカテゴリー構造に接頭辞 pseudo- が追加されます。^{[ 13 ]}

擬似代数

擬似代数とは、モナドに対する代数の2圏版（モナドを2モナドに置き換えたもの）である。

擬似アーベル包絡線

加法圏の擬アーベル圏包絡線とは、与えられた圏を含む最小の擬アーベル圏のことである。

擬似テンソル圏

擬似テンソル圏。

Q

Qカテゴリー。

クイレン

Quillenの定理Aは、関手が弱同値であるための基準を提供する。

準アーベル

準アーベル圏。

準シトポス

準​​

リーディ

1.リーディ圏。典型的な例は単体圏である。  ${\displaystyle \Delta }$。

反映する

1.ファンクターが恒等性を反映するとは、F ( k )が恒等性ならばkも恒等性であるという性質を持つ場合をいう。  

2.ファンクターが同型性を反映するとは、 F ( k )が同型性ならばkも同型性であるという性質を持つ場合をいう。  

通常

1.正則単射は等化器である  ${\displaystyle A\to B}$いくつかの射のペアについて${\displaystyle B\to C}$。

2.正則全射は正則単射の双対である。すなわち、等化子である。  

2.通常のカテゴリー。  

表現可能な

圏C上の集合値反変関手Fは、米田埋め込みの本質的イメージに属する場合に表現可能であると言われる。${\displaystyle C\to \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$; つまり、${\displaystyle F\simeq \operatorname {Hom} _{C}(-,Z)}$ある対象Zに対して、対象ZはFの表現対象であると言われる。

撤回

射が右逆射を持つ場合、その射は撤回である。

リグ

リグ圏とは、2つのモノイド構造を持ち、一方が他方に対して分配的である圏のことである。

硬い

厳格なカテゴリー。

シュール

シューア関数。

セクション

射が切断であるのは、左逆射を持つ場合である。例えば、選択公理によれば、任意の全射関数は切断を持つ。

セガル

1.シーガル条件。現時点では、https://ncatlab.org/nlab/show/Segal+conditionを参照してください。  

2.セガル空間は、 (∞, 1)-圏のモデルとして導入されたある種の単体空間である。   

3.セガル圏、 ∞圏のモデル。  

半アーベル

半アーベル圏。

半単純

アーベル圏は、すべての短完全列が分割する場合に半単純である。例えば、環が半単純であるのは、その環上の加群の圏が半単純である場合に限る。

Serre functor

体k上のk線形圏Cが与えられたとき、Serre 関手${\displaystyle f:C\to C}$は自己同値であり、${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)\simeq \operatorname {Hom} (B,f(A))^{*}}$任意のオブジェクトA、Bに対して。

セットイド

セットイドとは、集合の圏の自由完全完備化における対象のことである。選択公理が妥当であれば、セットイドは集合と同じである。

ふるい

圏において、対象xに対する篩とは、対象xとの射の集合Sであり、各対象に対して、${\displaystyle f}$で${\displaystyle S}$そして各射${\displaystyle g}$このカテゴリーでは、${\displaystyle f\circ g}$は${\displaystyle S}$組成が定義されている場合。^{[ 16 ]}

単純な物体

アーベル圏の単純対象は零対象と同型ではない対象Aであって、そのすべての部分対象が零対象またはAと同型であるもの。例えば、単純加群は、（例えば左）加群の圏における単純対象にまさに該当する。

単体カテゴリ

単体圏Δは、対象が標準的な方法で全順序付けられた集合 [ n ] = { 0, 1, …, n }、n ≥ 0 であり、射が順序保存関数であるような圏です。

単体圏

単体集合によって拡張された圏。

単体局所化

単体局所化は、圏を局所化する手法の一つである。

単体オブジェクト

圏Cにおける単体オブジェクトは、おおよそオブジェクトの列である。${\displaystyle X_{0},X_{1},X_{2},\dots }$Cにおいて単体集合を形成するもの。言い換えれば、それは共変または反変関手 Δ → Cである。例えば、単体前層は前層の圏における単体対象である。

シンプソン

シンプソンの半厳格化予想（これは今のところ赤いリンクなので、以下を参照）)

単体集合

単体集合は、 ΔからSetへの反変関手である。ここでΔは単体圏であり、その対象は集合 [ n ] = { 0, 1, …, n } であり、射は順序保存関数である。次のように書く。${\displaystyle X_{n}=X([n])}$そしてその集合の要素${\displaystyle X_{n}}$n単体と呼ばれる。例えば、${\displaystyle \Delta ^{n}=\operatorname {Hom} _{\Delta }(-,[n])}$は標準n単体と呼ばれる単体集合である。米田の補題により、${\displaystyle X_{n}\simeq \operatorname {Nat} (\Delta ^{n},X)}$。

サイト

グロタンディーク位相を備えた圏。

骨格

1.同型オブジェクトが必然的に同一である場合、そのカテゴリーは骨格的である。  

2.カテゴリの（一意ではない）骨格とは、骨格を持つ完全なサブカテゴリのことです。  

スライス

カテゴリーCとその中の対象Aが与えられたとき、 A上のCのスライス カテゴリーC _{/ A}は、対象がC内の終域がAである射すべてであり、その射は、 fが からの射である場合、C内の射であるカテゴリーです。${\displaystyle p_{X}:X\to A}$に${\displaystyle p_{Y}:Y\to A}$、 それから${\displaystyle p_{Y}\circ f=p_{X}}$Cであり、その組成はCである。

小さい

1.小さな圏とは、すべての射のクラスが集合である（つまり、真のクラスではない）圏のことである。そうでない場合は、大きな圏である。任意の対象AとBの間の射が集合を形成する場合、その圏は局所的に小さい。一部の著者は、すべてのクラスの集合が「集合体」を形成する基礎を仮定しており、その場合、準圏とは、対象と射が単に集合体を形成する圏のことである。^{[ 17 ]}（注：一部の著者は「準圏」という用語を異なる意味で使用している。^{[ 18 ]}）  

2.ある圏における対象は、ある正則基数κに対してκコンパクトである場合に小さいと言われる。この概念は、Quiilenの小対象論証（https://ncatlab.org/nlab/show/small+object+argumentを参照）に顕著に現れる。  

種

（組み合わせ論的）種とは、全単射を持つ有限集合の群圏上の自己関手のことである。これは、圏論的に対称列と同値である。

球状

球状カテゴリー。

安定した

∞-圏は、(1)ゼロ対象を持ち、(2)その中のすべての射がファイバーとコファイバーを持ち、(3)その中の三角形がファイバー列であるのは、それがコファイバー列である場合に限る、という条件を満たす場合に安定である。

厳しい

1.有限極限と有限余極限を許容する圏の射fは、自然な射が  ${\displaystyle \operatorname {Coim} (f)\to \operatorname {Im} (f)}$これは同型写像である。

2.厳密な全射fは、射のペアごとに次の条件を満たす同型写像である。  ${\displaystyle g,h}$そのため${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$、 我々は持っています${\displaystyle f}$は、${\displaystyle g,h}$。

3.厳密単射とは、反対の圏において厳密全射となる射のことである。  

厳密なnカテゴリ

厳密な 0-カテゴリは集合であり、任意の整数n > 0 に対して、厳密なn-カテゴリは厳密な ( n -1)-カテゴリで拡張されたカテゴリです。たとえば、厳密な 1-カテゴリは通常のカテゴリです。注: 「 n-カテゴリ」という用語は、通常「弱いn-カテゴリ」を指し、厳密な n-カテゴリを指すことはありません。

厳格化

厳密化とは、弱く成り立つ等式（すなわち、整合的な同型を除いて成り立つ等式）を、真の等式に置き換えるプロセスである。

弦

ストリング図

サブカノニクス

圏上の位相が準正準であるとは、 C上の表現可能な反変関手がすべてその位相に関して層である場合をいう。^{[ 19 ]}一般に、平坦な位相の中には準正準でないものがあるかもしれないが、実際に現れる平坦な位相は準正準である傾向がある。

サブカテゴリ

カテゴリーAがカテゴリーBの部分カテゴリーであるとは、 AからBへの包含関手が存在する場合をいう。

サブオブジェクト

ある圏における対象Aが与えられたとき、 Aの部分対象はAへの単射の同値類である。2 つの単射f、g は、 fがgを介して因数分解され、 gがfを介して因数分解される場合に同値であるとみなされる。

サブクォー

1.部分商とは、部分オブジェクトの商のことです。  

2.サブオブジェクト分類器。  

サブターミナルオブジェクト

部分終端オブジェクトとは、すべてのオブジェクトがXへの射を最大で 1 つしか持たないようなオブジェクトXのことである。

表面

サーフェス図は、ストリング図を高次元に一般化したものです。詳細については、https://ncatlab.org/toddtrimble/published/Surface+diagramsを参照してください。

対称モノイド圏

対称モノイド圏とは、最大対称なブレイドを持つモノイド圏（つまり、⊗を持つ圏）のことである。

対称シーケンス

対称列とは、対称群の作用を持つ対象の列のことである。これは、（組み合わせ論的な）種と圏論的に同値である。

統語カテゴリー

統語カテゴリー

t構造

t構造とは、三角圏（より一般的には安定∞圏）上の追加構造であり、コホモロジーが非負の次数または非正の次数に集中している複体の概念を公理化するものである。

タナキアンの二元性

タナキアン双対性は、適切な設定において、射を与えるために${\displaystyle f:X\to Y}$引き戻しファンクタを与える${\displaystyle f^{*}}$それに沿って。言い換えれば、Hom セットは${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$ファンクター圏と同一視できる${\displaystyle \operatorname {Fct} (D(Y),D(X))}$おそらく派生的な意味で、${\displaystyle D(X)}$Xに関連付けられたカテゴリ（例えば、派生カテゴリ）です。^{[ 20 ] [ 21 ]}

テンソルカテゴリ

通常はモノイド圏と同義語として用いられる（ただし、両者を区別する著者もいる）。

テンソル三角化カテゴリ

テンソル三角圏とは、対称モノイド圏の構造と三角圏の構造を両立的に持つ圏のことである。

テンソル積

モノイド圏Bが与えられたとき、ファンクターのテンソル積${\displaystyle F:C^{\text{op}}\to B}$そして${\displaystyle G:C\to B}$末尾です:

${\displaystyle F\otimes _{C}G=\int ^{c\in C}F(c)\otimes G(c).}$

ターミナル

1.オブジェクトAは、各オブジェクトからAへの射がちょうど 1 つだけ存在する場合に終端(または最終)である。たとえば、Setのシングルトンなど。これは初期オブジェクトの双対である。  

2. ∞-圏Cにおける対象Aは、以下の条件を満たす場合に終端的である。  ${\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(B,A)}$CのすべてのオブジェクトBに対して収縮可能です。準カテゴリ#最終オブジェクトと最終マップを参照してください。

シータカテゴリ

ジョヤルのシータ圏は単体圏の代替であり、∞圏を定義するためにも使用できる。

厚いサブカテゴリ

アーベル圏の完全部分圏は、拡大に関して閉じている場合に「厚い」という。

薄い

薄い圏とは、任意の2つの対象の間に射が最大で1つしか存在しない圏のことである。

小さい

小さな物体。今のところは、https://ncatlab.org/nlab/show/tiny+objectを参照してください。

位相的

1.位相的な具体的な圏。  

2.位相トポス。位相空間の圏の代替となる可能性のある概念。詳細はhttps://golem.ph.utexas.edu/category/2014/04/on_a_topological_topos.htmlを参照。  

超限

超限合成とは、無限個の射を含む合成のことである。直接極限と逆極限を参照のこと。

三角測量カテゴリ

三角圏とは、区別された三角形、すなわち完全列の一般化について議論できる圏のことである。アーベル圏は三角圏の典型的な例である。導来圏は、必ずしもアーベル圏ではない三角圏の一種である。

Uカテゴリー

宇宙Uに対して、U 圏とは、各ホム集合がUの要素であるような圏（つまり、局所的にU小さい圏）のことである。

普遍的

1.ファンクターが与えられた場合  ${\displaystyle f:C\to D}$Dの対象Xに対して、Xからfへの普遍射はコンマ圏の初期対象である。${\displaystyle (X\downarrow f)}$（その双対は普遍射とも呼ばれる。）例えば、fを忘却関手とする。${\displaystyle \mathbf {Vec} _{k}\to \mathbf {Set} }$そしてXは集合です。${\displaystyle (X\downarrow f)}$関数です${\displaystyle j:X\to f(V_{X})}$初期値であるということは、${\displaystyle k:X\to f(W)}$別の射が存在する場合、 jからkへの一意の射が存在し、それは線形写像から構成される。${\displaystyle V_{X}\to W}$k をjを介して拡張する、つまり、${\displaystyle V_{X}}$は、 Xによって生成される自由ベクトル空間です。

2.より明確に述べると、上記のようにfが与えられた場合、射は  ${\displaystyle X\to f(u_{X})}$Dにおける普遍性は、自然写像が普遍的である場合に限ります。

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(u_{X},c)\to \operatorname {Hom} _{D}(X,f(c)),\,\alpha \mapsto (X\to f(u_{x}){\overset {f(\alpha )}{\to }}f(c))}$

は全単射である。特に、${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(u_{X},-)\simeq \operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))}$そして、cをu _Xとすると、恒等射を渡すことで普遍射が得られます。言い換えれば、普遍射を持つことは、関手の表現可能性と同等です。${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))}$。

宇宙

（グロタンディーク）宇宙Uは、次のような集合である。

1. もし${\displaystyle x\in y\in U}$、 それから${\displaystyle x\in U}$、
2. のために${\displaystyle x,y}$で${\displaystyle U}$（おそらく同じ）${\displaystyle \{x,y\}\in U}$、
3. のために${\displaystyle x}$で${\displaystyle U}$のべき集合${\displaystyle x}$は${\displaystyle U}$、
4. 各関数について${\displaystyle f:x\to U}$と${\displaystyle x\in U}$組合${\displaystyle \cup _{i\in x}f(i)}$は${\displaystyle U}$、
5. ${\displaystyle \mathbb {N} \in U}$。

関手圏の定式化は、通常、与えられた宇宙U内では行うことができません。実際、${\displaystyle {\mathsf {Fct}}(U,\{0,1\})}$これはUの冪集合に相当し、 Uの要素ではない。