モジュールのテンソル積

数学において、加群のテンソル積は、双線型写像（例えば、乗算）に関する議論を線型写像を用いて実行できるようにする構成である。加群の構成はベクトル空間のテンソル積の構成に類似しているが、可換環上の加群のペアに対して実行して第3の加群を得ることも、任意の環上の右加群と左加群のペアに対して実行してアーベル群を得ることもできる。テンソル積は、抽象代数、ホモロジー代数、代数位相幾何学、代数幾何学、作用素代数、非可換幾何学の分野で重要である。ベクトル空間のテンソル積の普遍的性質は、抽象代数のより一般的な状況にまで及ぶ。代数と加群のテンソル積は、スカラーの拡張に使用できる。可換環の場合、モジュールのテンソル積を反復してモジュールのテンソル代数を形成することができ、モジュール内の乗算を普遍的な方法で定義できます。

環R、右R加群M、左R加群N、およびアーベル群Gに対して、写像φ : M × N → GがRバランス、R中線型、またはRバランス積であるとは、すべてのm、Mのm ′ 、Nのn、n ′ 、およびRのrに対して次が成り立つとき言う: ^{[1] : 126} $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (m,n+n')&=\varphi (m,n)+\varphi (m,n')&&{\text{Dl}}_{\varphi } \\\varphi (m+m',n)&=\varphi (m,n)+\varphi (m',n)&&{\text{Dr}}_{\varphi }\\\varphi (m\cdot r,n)&=\varphi (m,r\cdot n)&&{\text{A}}_{\varphi }\\\end{aligned}}}$$

M × NからGまでのR上のすべてのバランスの取れた積の集合はL _R ( M , N ; G )と表されます。

φ、ψ が平衡積である場合、点ごとに定義された演算φ + ψおよび − φはそれぞれ平衡積です。これにより、集合L _R ( M、N ; G )はアーベル群になります。

MとN を固定すると、写像G ↦ L _R ( M , N ; G )は、アーベル群のカテゴリからそれ自身への関数です。射の部分は、群準同型g  : G → G ′を関数φ ↦ g ∘ φに写すことで与えられ、L _R ( M , N ; G )からL _R ( M , N ; G ′)になります。

備考

1. 性質(Dl)と(Dr)はφの双加法性を表し、これはφの加法に対する分配性として考えることができる。
2. 性質(A)はφの結合特性に似ている。
3. すべての環RはR双加群です。そのため、 Rにおける環乗法( r , r ′) ↦ r ⋅ r ′はRバランス積R × R → Rです。

環R、右R加群M、左R加群Nに対して、R上のテンソル積は、（上で定義した）平衡積を伴う アーベル群 であり、 これは次の意味で普遍的である: ^[2] $${\displaystyle M\otimes _{R}N}$$$${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}$$

任意のアーベル群Gと任意の平衡積に対して、一意の群準同型が存在し、$${\displaystyle f:M\times N\to G}$$$${\displaystyle {\tilde {f}}:M\otimes _{R}N\to G}$$$${\displaystyle {\tilde {f}}\circ \otimes =f.}$$

すべての普遍的性質と同様に、上記の性質は、唯一の同型性を除いてテンソル積を一意に定義します。つまり、同じ性質を持つ他の任意のアーベル群とバランス積は、 M ⊗ _R Nおよび ⊗に同型になります。実際、写像 ⊗ は標準、またはより明確には、テンソル積の標準写像（またはバランス積）と呼ばれます。 ^[3]

この定義はM ⊗ _R Nの存在を証明するものではありません。構築については以下を参照してください。

テンソル積は、関手G → L _R ( M , N ; G )の表現オブジェクトとして定義することもできます。明示的には、これは自然な同型性があることを意味します。 $${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {L} _{R}(M,N;G)\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}}$$

これは、上記の普遍マッピング プロパティを簡潔に述べたものです。(この自然な同型性が事前に与えられている場合は、恒等写像を 取得してマッピングすることで復元できます。)${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle G=M\otimes _{R}N}$

同様に、自然な同一視⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {L} _{R}(M,N;G)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G))}$が与えられれば、^[4] M ⊗ _R N を次の式で 定義することもできる。$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G)).}$$

これはテンソル-ホム付加として知られています。§ プロパティも参照してください。

MのxとNのyのそれぞれについて、

は、正準写像 ⁠ ⁠ による ( x , y )の像です。これはしばしば純粋テンソルと呼ばれます。厳密に言えば、正しい表記はx ⊗ _R yですが、ここではR を省略するのが慣例です。すると、定義からすぐに次の関係が成り立ちます。 ${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}$

テンソル積の普遍的性質には、次のような重要な結果があります。

証明: 最初のステートメントでは、L を問題の形式の元によって生成される のサブグループとし、q をQへの商写像とします。次が成り立ちます: ⁠ ⁠。したがって、普遍性プロパティの一意性部分により、q = 0 です。2 番目のステートメントは、モジュール準同型を定義するには、モジュールの生成セット上で定義するだけで十分であるためです。${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle Q=(M\otimes _{R}N)/L}$${\displaystyle 0=q\circ \otimes }$${\displaystyle 0=0\circ \otimes }$${\displaystyle \square}$

実際には、 Rモジュールのテンソル積が 0 でないことを示すことは、それが 0 であることを示すことよりも難しい場合があります。普遍性により、これを簡単に確認できます。 ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

テンソル積がゼロでないことを確認するには、⁠ ⁠となるようなアーベル群へのR双線型写像を構築することができます。これは、⁠ ⁠ならば⁠ ⁠ となるため機能します。 ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle f:M\times N\rightarrow G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f(m,n)\neq 0}$${\displaystyle m\otimes n=0}$${\displaystyle f(m,n)={\bar {f}}(m\otimes n)={\bar {(f)}}(0)=0}$

たとえば、⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes _{Z}\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$がゼロでないことを確認するには、を ⁠ ⁠ として、⁠ ⁠とします。これは、 ⁠ ⁠ が⁠ ⁠でゼロでない限り、純粋テンソルが⁠ ⁠ ⁠であることを示しています。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle (m,n)\mapsto mn}$${\displaystyle m\otimes n\neq 0}$${\displaystyle mn}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

この命題は、毎回普遍的性質を直接呼び出す代わりに、テンソル積の明示的な要素を操作できることを示しています。これは実際に非常に便利です。たとえば、Rが可換であり、 Rによるモジュールへの左および右の作用が同等であると考えられる場合、前の命題によって 全体に拡張することで、 Rスカラー乗算 が自然に提供されます(厳密に言えば、必要なのは可換性ではなく、双モジュール構造です。以下の段落を参照してください)。このRモジュール構造を備えているため、上記と同様の普遍的性質が満たされます。任意のRモジュールGに対して、自然な同型性があります。 ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$$${\displaystyle r\cdot (x\otimes y):=(r\cdot x)\otimes y=x\otimes (r\cdot y)}$$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$$${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,G)\simeq \{R{\text{-双線形写像}}M\times N\to G\},\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}}$$

R が必ずしも可換ではないが、Mが環S（例えばR）による左作用を持つ場合、上式のように 左S加群構造を次の式で与えることができる。${\displaystyle M\otimes _{R}N}$$${\displaystyle s\cdot (x\otimes y):=(s\cdot x)\otimes y.}$$

同様に、N が環Sによる右作用を持つ場合、 は右S加群になります。 ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

環R上の右加群と左加群の線型写像が与えられたとき、一意の群準同型が存在する。 ${\displaystyle f:M\to M'}$${\displaystyle g:N\to N'}$$${\displaystyle {\begin{cases}f\otimes g:M\otimes _{R}N\to M'\otimes _{R}N'\\x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y)\end{cases}}}$$

この構成の結果、テンソル化は関数になります。つまり、各右R加群M は、左加群のカテゴリ からアーベル群のカテゴリへの関数を決定します 。この関数は、 NをM ⊗ Nに、加群準同型f を群準同型1 ⊗ fに送信します。 $${\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow {\text{Ab}}}$$

が環準同型であり、 Mが右S加群でNが左S加群ならば、標準射影準同型が 存在する。これは^[5] によって誘導される。${\displaystyle f:R\to S}$$${\displaystyle M\otimes _{R}N\to M\otimes _{S}N}$$ $${\displaystyle M\times N{\overset {\otimes _{S}}{\longrightarrow }}M\otimes _{S}N.}$$

純粋なテンソルx ⊗ y がモジュール全体を生成するため、結果として得られるマップは射影的です。特に、R をこれとすると、モジュールのすべてのテンソル積はアーベル群のテンソル積の商であることがわかります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

(このセクションは更新する必要があります。今のところ、より一般的な説明については § プロパティ を参照してください。)

この定義を、同じ可換環上の任意の数の加群のテンソル積に拡張することが可能である。例えば、

各三線マップは

一意の線形マップに対応する

2 元テンソル積は結合的です: ( M ₁ ⊗ M ₂ ) ⊗ M _{3は自然に}M ₁ ⊗ ( M ₂ ⊗ M ₃ )と同型です。三線型写像の普遍的性質によって定義される 3 つのモジュールのテンソル積は、これらの反復テンソル積の両方と同型です。

R ₁、R ₂、R ₃、Rを環としますが、必ずしも可換ではありません。

• R ₁ - R ₂ -双加群 M ₁₂と左R _{2 -}加群M ₂₀の場合、は左R _{1 -}加群です。${\displaystyle M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}}$
• 右R ₂加群M ₀₂とR ₂ - R ₃双加群M ₂₃の場合、右R ₃加群です。${\displaystyle M_{02}\otimes _{R_{2}}M_{23}}$
• （結合性）右R ₁加群M ₀₁、R ₁ - R ₂双加群M ₁₂、左R ₂加群M ₂₀に対して次式が成り立つ：^[6] $${\displaystyle \left(M_{01}\otimes _{R_{1}}M_{12}\right)\otimes _{R_{2}}M_{20}=M_{01}\otimes _{R_{1}}\left(M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}\right).}$$
• RはR - R双加群なので、環乗算をその標準的な平衡積として持つことができます。${\displaystyle R\otimes _{R}R=R}$${\displaystyle mn=:m\otimes _{R}n}$

R を可換環とし、M、N、P をR加群とする。すると

身元

$${\displaystyle R\otimes _{R}M=M.}$$

結合性

$${\displaystyle (M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).}$$ 最初の 3 つの性質 (および射の恒等式) は、Rが可換であるR加群のカテゴリが対称モノイド カテゴリを形成することを示しています。したがって、は明確に定義されています。${\displaystyle M\otimes _{R}N\otimes _{R}P}$

対称

$${\displaystyle M\otimes _{R}N=N\otimes _{R}M.}$$実際、集合 {1, ..., n } の任意の順列σに対して、一意の同型が存在します。$${\displaystyle {\begin{cases}M_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{n}\longrightarrow M_{\sigma (1)}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{\sigma (n)}\\x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\longmapsto x_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes x_{\sigma (n)}\end{cases}}}$$

直和の分配

$${\displaystyle M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).}$$実際、任意の濃度のインデックス セットIの場合、有限積は有限直和と一致するため、次の式が成り立ちます。$${\displaystyle M\otimes _{R}\left(\bigoplus \nolimits _{i\in I}N_{i}\right)=\bigoplus \nolimits _{i\in I}\left(M\otimes _{R}N_{i}\right),}$$

• 有限積上の分布

  任意の有限個の に対して、${\displaystyle N_{i}}$$${\displaystyle M\otimes _{R}\prod _{i=1}^{n}N_{i}=\prod _{i=1}^{n}M\otimes _{R}N_{i}.}$$

ベース拡張

SがR代数である場合、 と書くと、^[7] § スカラーの拡張を参照。系は次のようになる。${\displaystyle -_{S}=S\otimes _{R}-}$$${\displaystyle (M\otimes _{R}N)_{S}=M_{S}\otimes _{S}N_{S};}$$

• ローカリゼーションよりも配布

  Rの任意の乗法的に閉じた部分集合Sに対して、は -加群として定義されます。はR -代数であり であるため、これは次の特別なケースです。$${\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)=S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}-=S^{-1}R\otimes _{R}-}$

直接限界による交換

R加群M _iの任意の直接システムに対して、$${\displaystyle (\varinjlim M_{i})\otimes _{R}N=\varinjlim (M_{i}\otimes _{R}N).}$$

補助

$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{R}(N,P)){\text{.}}}$$ 結論は次のようになります。

• 権利剥奪

  がR -加群の正確な列である場合 、はR -加群の正確な列であり、ここで$${\displaystyle 0\to N'{\overset {f}{\to }}N{\overset {g}{\to }}N''\to 0}$$$${\displaystyle M\otimes _{R}N'{\overset {1\otimes f}{\to }}M\otimes _{R}N{\overset {1\otimes g}{\to }}M\otimes _{R}N''\to 0}$$${\displaystyle (1\otimes f)(x\otimes y)=x\otimes f(y).}$

テンソル-ホム関係

標準的なR線型写像が存在する: これは、 MまたはP のいずれかが有限生成射影加群である場合に同型である(非可換ケースの線型性保存写像としてを参照)。^{[8]より一般には、標準的な}R線型写像が存在する:これは、またはのいずれかが有限生成射影加群のペアである場合に同型である。$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes P\to \operatorname {Hom} _{R}(M,N\otimes P),}$$$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes \operatorname {Hom} _{R}(M',N')\to \operatorname {Hom} _{R}(M\otimes M',N\otimes N')}$$${\displaystyle (M,N)}$${\displaystyle (M,M')}$

実際の例を挙げると、M、N が基底とを持つ自由加群であるとします。このとき、 M は直和であり、 N についても同様です。分配法則により、次が成り立ちます 。 すなわち、は のR基底です。 M が自由でなくても、 Mの自由表現を使用してテンソル積を計算できます。 ${\displaystyle e_{i},i\in I}$${\displaystyle f_{j},j\in J}$ ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}Re_{i}}$$${\displaystyle M\otimes _{R}N=\bigoplus _{i,j}R(e_{i}\otimes f_{j});}$$${\displaystyle e_{i}\otimes f_{j},\,i\in I,j\in J}$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

テンソル積は、一般に、逆極限と可換ではありません。一方では、 (「例」を参照)。他方では、 p 進整数の環と p 進数の体です。同様 の精神の例については、 「profinite integer 」も参照してください。$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /p^{n}=0}$$$${\displaystyle \left(\varprojlim \mathbb {Z} /p^{n}\right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\left[p^{-1}\right]=\mathbb {Q} _{p}}$$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}}$

Rが可換でない場合、テンソル積の順序は次のように重要になる可能性があります。Mの右作用とNの左作用を「使い切って」 、テンソル積⁠ ⁠${\displaystyle M\otimes _{R}N}$を形成します。特に、は定義されません。M、Nが双加群の場合、 の左作用はMの左作用から、右作用はNの右作用から生じます。これらの作用は⁠ ⁠の左作用と右作用と同じである必要はありません。 ${\displaystyle N\otimes _{R}M}$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle N\otimes _{R}M}$

結合法則は非可換環に対してより一般的に成り立ちます。つまり、Mが右R加群、Nが ( R , S ) 加群、P が左S加群の場合、 アーベル群として成り立ちます。 $${\displaystyle (M\otimes _{R}N)\otimes _{S}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{S}P)}$$

テンソル積の随伴関係の一般的な形式は、R が必ずしも可換でない場合、Mが右R加群、Nが ( R , S ) 加群、P が右S加群である場合、アーベル群^[9] として 、は⁠ ⁠で与えられる、ということを意味しています。 $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{S}(N,P)),\,f\mapsto f'}$$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f'(x)(y)=f(x\otimes y)}$

R を分数体 Kを持つ整域とする。

• 任意のR加群Mに対して、R加群として、 はMの捩れ部分加群です。${\displaystyle K\otimes _{R}M\cong K\otimes _{R}(M/M_{\operatorname {tor} })}$${\displaystyle M_{\operatorname {tor} }}$
• M が捩れR加群である場合、であり、Mが捩れ加群でない場合は⁠ ⁠ です。${\displaystyle K\otimes _{R}M=0}$${\displaystyle K\otimes _{R}M\neq 0}$
• N がMのサブモジュールで、が捩れ加群である場合、 ⁠ ⁠によりR加群として成り立ちます。${\displaystyle M/N}$${\displaystyle K\otimes _{R}N\cong K\otimes _{R}M}$${\displaystyle x\otimes n\mapsto x\otimes n}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle K\otimes _{R}M}$において、または⁠ ⁠の場合に限ります。特に、⁠ ⁠の場合。${\displaystyle x\otimes m=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle m\in M_{\operatorname {tor} }}$${\displaystyle M_{\operatorname {tor} }=\operatorname {ker} (M\to K\otimes _{R}M)}$${\displaystyle m\mapsto 1\otimes m}$
• ${\displaystyle K\otimes _{R}M\cong M_{(0)}}$ここで、モジュールの素イデアルにおける局所化（つまり、非ゼロ要素に関する局所化）です。${\displaystyle M_{(0)}}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle (0)}$

一般形の随伴関係には重要な特殊なケースがあります。任意のR代数S、右R加群M、右S加群Pに対して、⁠ ⁠ を使用すると、自然な同型が成り立ちます。 ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(S,-)=-}$$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}S,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Res} _{R}(P)).}$$

これは、関手が忘却関手 ⁠ ⁠ の左随伴であり、S作用をR作用に制限することを示しています。このため、はしばしばRからSへのスカラーの拡張と呼ばれます。表現論では、R、S が群代数である場合、上記の関係はフロベニウスの相互性になります。 ${\displaystyle -\otimes _{R}S}$${\displaystyle \operatorname {Res} _{R}}$${\displaystyle -\otimes _{R}S}$

• ⁠ ⁠ 、任意の${\displaystyle R^{n}\otimes _{R}S=S^{n}}$R代数Sに対して(つまり、自由モジュールはスカラーを拡張した後も自由のままです。)
• 可換環と可換R代数Sについては、次が成り立ちます。実際、より一般的には、 はイデアルです。${\displaystyle R}$$${\displaystyle S\otimes _{R}R[x_{1},\dots ,x_{n}]=S[x_{1},\dots ,x_{n}];}$$$${\displaystyle S\otimes _{R}(R[x_{1},\dots ,x_{n}]/I)=S[x_{1},\dots ,x_{n}]/IS[x_{1},\dots ,x_{n}],}$$${\displaystyle I}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$、前の例、および中国剰余定理を使用すると、環として次の式が得られます。これは、テンソル積が直積である場合の例を示しています。$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\mathbb {C} [x]/(x^{2}+1)=\mathbb {C} [x]/(x+i)\times \mathbb {C} [x]/(x-i)=\mathbb {C} ^{2}.}$$
• ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [i]=\mathbb {R} [i]=\mathbb {C} }$ .

ごく普通のモジュールのテンソル積の構造は予測できない場合があります。

Gを、すべての要素が有限の順序を持​​つアーベル群とする（つまり、Gは捩れアーベル群である。例えば、Gは有限アーベル群または⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$である）。すると、次のようになる。 ^[10] $${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G=0.}$$

実際、どれも ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G}$$${\displaystyle x=\sum _{i}r_{i}\otimes g_{i},\qquad r_{i}\in \mathbb {Q} ,g_{i}\in G.}$$

が⁠ ⁠の位数である場合、次のように計算します。 ${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle g_{i}}$$${\displaystyle x=\sum (r_{i}/n_{i})n_{i}\otimes g_{i}=\sum r_{i}/n_{i}\otimes n_{i}g_{i}=0.}$$

同様に、 $${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} /\mathbb {Z} =0.}$$

計算に役立つ恒等式をいくつか挙げる。Rを可換環、I、Jイデアル、M、N を R加群とする。すると

1. ⁠ ⁠${\displaystyle R/I\otimes _{R}M=M/IM}$ . Mが平坦であれば、⁠ ⁠${\displaystyle IM=I\otimes _{R}M}$ . ^{[証明 1]}
2. ${\displaystyle M/IM\otimes _{R/I}N/IN=M\otimes _{R}N\otimes _{R}R/I}$（テンソル化は基底拡張と交換可能だから）
3. ⁠ ⁠${\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)}$ . ^[証明2]

例: G がアーベル${\displaystyle G\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n=G/nG}$群である場合、これは 1 から従います。

例: ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}}$ ; これは3から導かれます。特に、異なる素数p、qに対して、 $${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} =0.}$$

テンソル積は群の要素の順序を制御するために適用できます。G をアーベル群とします。すると、 の 2 の倍数は 0 になります。 $${\displaystyle G\otimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$$

例:をn乗根の群とします。これは巡回群であり、巡回群は順序によって分類されます。したがって、非標準的に、つまり、g がnとmの最大公約数である場合、 ${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle \mu _{n}\approx \mathbb {Z} /n}$$${\displaystyle \mu _{n}\otimes _{\mathbb {Z} }\mu _{m}\approx \mu _{g}.}$$

例: ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$を考えます。は中間に -線型性を 課すことによってから得られるので、 の 形式の要素によって核が生成される全射が得られます。 ここで、r、s、x、uは整数で、s は非ゼロです。 核は実際には消えるので、⁠ ⁠です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} }$$${\displaystyle {r \over s}x\otimes y-x\otimes {r \over s}y}$$${\displaystyle {r \over s}x\otimes y={r \over s}x\otimes {s \over s}y=x\otimes {r \over s}y,}$$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} }$

しかし、とを考えてみましょう。 -ベクトル空間なので、は次元が 4 ですが、は次元が 2 です。 ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$

したがって、と は同型ではありません。 ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$

例:と⁠ ⁠を比較することを提案します。前の例と同様に、次が成り立ちます。 はアーベル群として、したがって⁠ ⁠ -ベクトル空間として( -ベクトル空間間の任意の -線型写像は-線型です)。-ベクトル空間として、は連続体の次元 (基底の濃度) を持ちます。したがって、は連続体の積でインデックス付けされた -基底を持ちます。したがって、その -次元は連続体です。したがって、次元の理由から、 -ベクトル空間 の非標準的な同型が存在します。${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} =\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} \approx \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} .}$$

⁠ ⁠となるような既約多項式の加群を考えます。すると、 ${\displaystyle M=\mathbb {C} [x,y,z]/(f),N=\mathbb {C} [x,y,z]/(g)}$${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]}$${\displaystyle \gcd(f,g)=1}$$${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,z]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(g)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f,g)}}}$$

もう一つの有用な例は、スカラー値を変えることです。 $${\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\otimes _{\mathbb {Z} }R\cong {\frac {R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}}$$

この現象のよい例としては、 ⁠ ⁠${\displaystyle R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}}$のときが挙げられます。

M ⊗ Nの構成は、記号m ∗ n を基底とする自由アーベル群の商をとり、ここでm はMに、nはNにそれぞれ属し、 順序対( m , n )を表す。

1. − m ∗ ( n + n ′) + m ∗ n + m ∗ n ′
2. −( m + m ′)∗ n + m ∗ n + m ′∗ n
3. ( m · r ) ∗ n − m ∗ ( r · n )

ここで、m、m ′ はM、n、n ′ はN、rはRです。 m ∗ n = ( m、n )をm ∗ n を含む剰余類に写す商写像、つまり、 はバランスが取れており、この写像がバランスするように部分群が最小限に選択されています。 ⊗ の普遍的性質は、自由アーベル群と商の普遍的性質から従います。 $${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N,\,(m,n)\mapsto [m*n]}$$

S が環Rの部分環である場合、 はによって生成される部分群によるの商群であり、 は⁠ ⁠によるの像です。特に、R加群のテンソル積は、必要に応じて、 Rバランス積特性 を課すことによって、アーベル群のテンソル積の商として構成できます。${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle M\otimes _{S}N}$${\displaystyle xr\otimes _{S}y-x\otimes _{S}ry,\,r\in R,x\in M,y\in N}$${\displaystyle x\otimes _{S}y}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{S}N}$

よりカテゴリ理論的に言えば、 σ をRのMへの右作用、すなわち σ( m , r ) = m · rとし、 τ をRのNへの左作用とします。すると、アーベル群のテンソル積がすでに定義されている場合、MとNのR上のテンソル積は共等化子として定義できます。 ここで、下付き文字のない はアーベル群のテンソル積を表します。 $${\displaystyle M\otimes R\otimes N{{{} \atop {\overset {\sigma \times 1}{\to }}} \atop {{\underset {1\times \tau }{\to }} \atop {}}}M\otimes N\to M\otimes _{R}N}$$${\displaystyle \otimes }$

可換環R上のテンソル積の構成では、自由R加群を、一般構成で上記に与えられた要素によって生成されるサブ加群で商をとり、それに要素r ⋅ ( m ∗ n ) − m ∗ ( r ⋅ n )を加えることで、 R 加群構造を最初から組み込むことができます。あるいは、スカラー作用を r ⋅ ( m ⊗ n ) = m ⊗ ( r ⋅ n ) で定義することで、一般構成に Z( R ) 加群構造を与えることもできます (ただし、これが明確に定義されている場合です。これは、r ∈ Z( R )、つまりRの中心のときです)。

MとNの直積は、 MとNのテンソル積と同型になることはほとんどありません。Rが可換でない場合、テンソル積ではMとN が反対側の加群である必要がありますが、直積では同じ側の加群である必要があります。すべての場合において、M × NからGへの線形かつ双線形である唯一の関数はゼロ写像です。

一般的な場合、ベクトル空間のテンソル積のすべての特性が加群に拡張されるわけではありません。しかし、加群準同型として考えられるテンソル積のいくつかの有用な特性は残っています。

右R加群Eの双対加群は、標準的な左R加群構造を持つHom _R ( E , R )として定義され、E ^∗と表記されます。^[11]標準的な構造は、加算とスカラー乗算の点ごとの演算です。したがって、 E ^{∗は、すべての}R線型写像E → R (線型形式とも呼ばれる)の集合であり、演算は 次のようになります。左R加 群の双対も同様に定義され、同じ表記法が使用されます。 $${\displaystyle (\phi +\psi )(u)=\phi (u)+\psi (u),\quad \phi ,\psi \in E^{*},u\in E}$$ $${\displaystyle (r\cdot \phi )(u)=r\cdot \phi (u),\quad \phi \in E^{*},u\in E,r\in R,}$$

Eからその第 2 双対への標準準同型E → E ^{∗∗ が}常に存在します。Eが有限ランクの自由モジュールである場合、これは同型です。一般に、標準準同型が同型である場合、 Eは反射モジュールと呼ばれます。

その双対E ^∗と右R加群E、または左R加群Fとその双対F ^∗との自然なペアリングを次のように 表します。 このペアリングは、左引数では左R線形であり、右引数では 右R線形です。$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E^{*}\times E\to R:(e',e)\mapsto \langle e',e\rangle =e'(e)}$$ $${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :F\times F^{*}\to R:(f,f')\mapsto \langle f,f'\rangle =f'(f).}$$$${\displaystyle \langle r\cdot g,h\cdot s\rangle =r\cdot \langle g,h\rangle \cdot s,\quad r,s\in R.}$$

一般的なケースでは、加群のテンソル積の各要素は、左R線形写像、右R線形写像、およびR双線形形式を生成します。可換ケースとは異なり、一般的なケースではテンソル積はR加群ではないため、スカラー乗算をサポートしません。

• 右R加群Eと右R加群Fが与えられたとき、標準準同型θ  : F ⊗ _R E ^∗ → Hom _R ( E , F )が存在し、θ ( f ⊗ e ′)は写像e ↦ f ⋅ ⟨ e ′, e ⟩となる。^[12]
• 左R加群Eと右R加群Fが与えられたとき、正規準同型θ  : F⊗RE _→ HomR ( E ^∗ , F )が存在し、θ ( f⊗e ₎は写像e′↦f⋅⟨e , e′⟩となる。[ ¹³ ]

どちらの場合も一般の加群に当てはまり、加群EとFが有限生成射影加群（特に有限階数の自由加群）に制限されている場合は同型になります。したがって、環R上の加群のテンソル積の要素は、R線型写像に正準に写像されますが、ベクトル空間と同様に、このような線型写像の完全な空間と同等になるために、加群に制約が適用されます。

• 右R加群Eと左R加群Fが与えられたとき、θ  : F ^∗ ⊗ _R E ^∗ → L _R ( F × E , R )という標準準同型が存在し、 θ ( f ′ ⊗ e ′)は写像( f , e ) ↦ ⟨ f , f ′⟩ ⋅ ⟨ e ′, e ⟩となる。^{[要出典]したがって、テンソル積}ξ ∈ F ^∗ ⊗ _R E ^∗の元は、R双線型写像F × E → Rを生じるか、またはそのように動作すると考えられる。

R を可換環、E をR加群とします。すると、標準R線型写像が存在します。 これは⁠ ⁠ による線型性を通じて誘導されます。これは、自然なペアリングに対応する唯一のR線型写像 です。$${\displaystyle E^{*}\otimes _{R}E\to R}$$${\displaystyle \phi \otimes x\mapsto \phi (x)}$

E が有限生成射影R加群である場合、上述の標準準同型を通して同一視することができ、上記はトレースマップである。 ${\displaystyle E^{*}\otimes _{R}E=\operatorname {End} _{R}(E)}$$${\displaystyle \operatorname {tr} :\operatorname {End} _{R}(E)\to R.}$$

Rが体の場合、これは線形変換の 通常のトレースになります。

微分幾何学における加群のテンソル積の最も顕著な例は、ベクトル場と微分形式の空間のテンソル積です。より正確には、R が滑らかな多様体M上の滑らかな関数の（可換）環である場合、 と置きます。ここ で、 Γ はセクションの空間を意味し、上付き文字はR上でp回テンソル化することを意味します。定義により、 の元は( p , q ) 型のテンソル体です。 $${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}=\Gamma (M,TM)^{\otimes p}\otimes _{R}\Gamma (M,T^{*}M)^{\otimes q}}$$${\displaystyle \otimes p}$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}}$

R加群として、は⁠ ⁠の双対加群である。^[14]${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{p}^{q}}$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}}$

表記を軽くするために、と書きます。^[15] p、q ≥ 1 のとき、 1 ≤ k ≤ p、 1 ≤ l ≤ qとなる各 ( k、l ) に対して、 R -多重線型写像 が存在します。 ここで、は を意味し、ハットは項が省略されていることを意味します。普遍性により、これは一意のR -線型写像に対応します。 ${\displaystyle E=\Gamma (M,TM)}$${\displaystyle E^{*}=\Gamma (M,T^{*}M)}$$${\displaystyle E^{p}\times {E^{*}}^{q}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1},\,(X_{1},\dots ,X_{p},\omega _{1},\dots ,\omega _{q})\mapsto \langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots \otimes {\widehat {X_{l}}}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\otimes \cdots \otimes \omega _{q}}$$${\displaystyle E^{p}}$${\displaystyle \prod _{1}^{p}E}$$${\displaystyle C_{l}^{k}:{\mathfrak {T}}_{q}^{p}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1}.}$$

これは、指数 ( k , l ) におけるテンソルの収縮と呼ばれます。普遍的性質を解きほぐすと、次のことがわかります。 $${\displaystyle C_{l}^{k}(X_{1}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots \otimes \omega _{q})=\langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots {\widehat {X_{l}}}\cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\cdots \otimes \omega _{q}.}$$

注意: 前述の議論は微分幾何学の教科書(例えば、ヘルガソン)では標準的なものです。ある意味では、層理論的構成(つまり、加群の層の言語)の方が自然で、ますます一般的になっています。これについては、「加群の層のテンソル積」のセクションを参照してください。

一般に、 は、右および左のRモジュールのペアを入力として受け入れ、それらをアーベル群のカテゴリのテンソル積に割り当てる双関手 です。 $${\displaystyle -\otimes _{R}-:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} }$$

右RモジュールMを固定すると関数 が生じ、対称的に左RモジュールNを固定すると関数が生じる。 $${\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} }$$$${\displaystyle -\otimes _{R}N:{\text{Mod-}}R\longrightarrow \mathrm {Ab} .}$$

Hom 双関数子 とは異なり、テンソル関数子は両方の入力に対して 共変です。${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,-),}$

と は常に右完全関数であることが示されますが、必ずしも左完全であるとは限りません ( ⁠ ⁠、ここで最初の写像は⁠ ⁠による乗算です、は完全ですが、 を含むテンソルを取った後は完全ではありません)。定義により、 が完全関数である 場合、モジュールTはフラット モジュールです。${\displaystyle M\otimes _{R}-}$${\displaystyle -\otimes _{R}N}$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{n}\to 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$${\displaystyle T\otimes _{R}-}$

およびがそれぞれMとNの生成集合である場合、 は の生成集合になります。テンソル関手は左正確でないことがあるため、元の生成集合が最小であっても、これは最小生成集合ではない可能性があります。M が平坦な加群である場合、関手は平坦加群の定義により正確です。テンソル積が体F上で取られる場合、上記のようにベクトル空間の場合になります。すべてのF加群は平坦で、双関手は両方の位置で正確であり、2 つの与えられた生成集合は基底であるため、 は確かに⁠ ⁠の基底を形成します。 ${\displaystyle \{m_{i}\mid i\in I\}}$${\displaystyle \{n_{j}\mid j\in J\}}$${\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}}$${\displaystyle M\otimes _{R}N.}$${\displaystyle M\otimes _{R}-}$${\displaystyle M\otimes _{R}-}$ ${\displaystyle -\otimes _{R}-}$${\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}}$${\displaystyle M\otimes _{F}N}$

SとT が可換R代数である場合、#同値なモジュールの場合と同様に、S ⊗ _R Tも可換R代数になり、乗法マップは( m ₁ ⊗ m ₂ ) ( n ₁ ⊗ n ₂ ) = ( m ₁ n ₁ ⊗ m ₂ n ₂ )で定義され、線形性によって拡張されます。この設定では、テンソル積は可換R代数のカテゴリでファイバー化された余積になります。(ただし、 R代数のカテゴリでは余積ではありません。)

MとNが両方とも可換環上のR加群であれば、それらのテンソル積は再びR加群となる。Rが環であれば、_R Mは左R加群であり、交換子

R の任意の2つの元rとsのいずれかがMの消滅子に含まれる場合、次のように設定することで M を右R加群にすることができます。

RのMへの作用は、商可換環の作用によって因数分解されます。この場合、Mとそれ自身とのR上のテンソル積は、再びR加群になります。これは、可換代数では非常に一般的な手法です。

X、Y がR加群の複体（R は可換環） である場合、それらのテンソル積は複素数で表され、 微分は次のように表される。xがX _iに、yがY _jに該当する場合、 ^[16]$${\displaystyle (X\otimes _{R}Y)_{n}=\sum _{i+j=n}X_{i}\otimes _{R}Y_{j},}$$$${\displaystyle d_{X\otimes Y}(x\otimes y)=d_{X}(x)\otimes y+(-1)^{i}x\otimes d_{Y}(y).}$$

たとえば、C が平坦アーベル群の連鎖複体であり、Gがアーベル群である場合、 のホモロジー群はGの係数を持つCのホモロジー群です(普遍係数定理も参照)。 ${\displaystyle C\otimes _{\mathbb {Z} }G}$

加群の層のテンソル積は、開部分集合上の切断加群のテンソル積の前層に関連付けられた層です。

この設定では、例えば、滑らかな多様体M上のテンソル場を、テンソル積（テンソルバンドルと呼ばれる） の（大域的または局所的な）セクションとして定義することができます。 ここで、OはM上の滑らかな関数の環の層であり、バンドルはM上の局所的に自由な層として見なされます。^[17]$${\displaystyle (TM)^{\otimes p}\otimes _{O}(T^{*}M)^{\otimes q}}$$${\displaystyle TM,T^{*}M}$

M上の外バンドルは、すべての反対称共変テンソルからなるテンソルバンドルの部分バンドルです。外バンドルの切断はM上の微分形式です。

非可換環の層上でテンソル積を形成する重要なケースの 1 つは、D加群の理論、つまり微分作用素の層上のテンソル積に現れます。

• Tor 関数
• 代数のテンソル積
• テンソル積
• 導出テンソル積

• ブルバキ、代数学
• ヘルガソン、シグルドゥル（1978）、微分幾何学、リー群と対称空間、アカデミックプレス、ISBN 0-12-338460-5
• ノースコート、DG（1984）、多重線型代数、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 613-0-04808-4。
• Hazewinkel, マイケル;グバレニ、ナデジダ・ミハイロヴナ。グバレニ、ナディヤ。キリチェンコ、ウラジミール V. (2004)、代数、環とモジュール、Springer、ISBN 978-1-4020-2690-4。
• メイ、ピーター (1999)。代数的位相幾何学の簡潔なコース(PDF)。シカゴ大学出版局。