直接制限

数学において、直接極限とは、特定の方法でまとめられた多くの（通常はより小さな）オブジェクトから 1 つの（通常はより大きな）オブジェクトを構築する方法です。これらのオブジェクトは、群、環、ベクトル空間、または一般に任意のカテゴリ のオブジェクトです。これらがまとめられる方法は、それらのより小さなオブジェクト間の準同型系（群準同型、環準同型、または一般にカテゴリ の射）によって指定されます。オブジェクト の直接極限（ は、何らかの有向集合上の範囲）は、 と表されます。この表記法では準同型系は考慮されませんが、極限は準同型系に依存します。 ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$

直接極限は、圏論における余極限の概念の特殊なケースです。直接極限は、圏論における 極限の特殊なケースである逆極限の双対です。

まず、群や加群などの代数構造の定義を示し、次に任意のカテゴリで使用できる一般的な定義を示します。

このセクションでは、オブジェクトは、群、環、加群（固定された環上）、代数（固定された体上）などの、与えられた代数構造を備えた基礎集合から構成されると理解されます。これを念頭に置いて、準同型は対応する設定（群準同型など）で理解されます。

を有向集合とします。を でインデックス付けされたオブジェクトの族 とし、 を すべての に対する準同型とし、次の特性を持つものとします。 ${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$${\displaystyle I\,}$${\displaystyle f_{ij}\colon A_{i}\rightarrow A_{j}}$${\displaystyle i\leq j}$

1. ${\displaystyle f_{ii}\,}$は 上の恒等式であり、${\displaystyle A_{i}\,}$
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}$すべてに対して。${\displaystyle i\leq j\leq k}$

このペアは上の直接システムと呼ばれます。 ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle I}$

直接システムの直接極限は で表され、次のように定義されます。その基礎となる集合は、特定の同値関係 を法とするの互いに素な和集合です。 ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \sim \,}$

${\displaystyle \varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .}$

ここで、および の場合、 かつであってとなるものが存在する場合のみ、 となります。直感的には、分離した和集合の 2 つの要素が同値となるのは、直接システムで「最終的に等しくなる」場合のみです。逆極限までの双対性を強調する同値な定式化は、 の場合、つまり の場合、要素は直接システムのマップの下でそのすべての像と同値であるということです。 ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$${\displaystyle x_{j}\in A_{j}}$${\displaystyle x_{i}\sim \,x_{j}}$${\displaystyle k\in I}$${\displaystyle i\leq k}$${\displaystyle j\leq k}$${\displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})\,}$${\displaystyle x_{i}\sim \,f_{ij}(x_{i})}$${\displaystyle i\leq j}$

この定義から、各要素をその同値類に送る標準関数 が得られます。 上の代数演算は、これらの写像が準同型になるように定義されます。 正式には、直接システムの直接極限は、オブジェクトと標準準同型から構成されます。 ${\displaystyle \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$${\displaystyle \varinjlim A_{i}\,}$${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$${\displaystyle \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$

直接極限は、普遍的性質によって任意のカテゴリ で定義できます。をオブジェクトと の射の直接システムとします(上で定義したとおり)。ターゲットは、 が のオブジェクトであり、が のときはいつでも となる各 の射であるペアです。直接システムの直接極限は、 がターゲットであり、各ターゲット に対して、各iに対してとなる一意の射が存在するという意味で普遍的に反発するターゲットです。次の図 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle X\,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \phi _{i}\colon X_{i}\rightarrow X}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle \langle Y,\psi _{i}\rangle }$${\displaystyle u\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle u\circ \phi _{i}=\psi _{i}}$

すると、すべてのi、jに対して可換になります。

直接の限界は、しばしば

${\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}$

直接システムと標準射（より正確には、標準射）が理解されている。 ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$${\displaystyle \phi _{i}}$${\displaystyle \iota _{i}}$

代数的対象とは異なり、任意のカテゴリのすべての直接系が直接極限を持つわけではありません。ただし、直接極限を持つ場合、その直接極限は強い意味で一意です。つまり、別の直接極限X ′ が与えられた場合、標準射と可換な 唯一の 同型 X ′ → Xが存在します。

• 集合の部分集合の集合は、包含によって部分的に順序付けることができます。集合が有向である場合、その直接の極限は和集合です。同じことは、特定のグループの部分群の有向集合や、特定の環の部分環の有向集合などにも当てはまります。${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \bigcup M_{i}}$
• CW 複体の弱いトポロジーは直接的な極限として定義されます。
• を最大元を持つ任意の有向集合とします。対応する任意の直接系の直接極限はと同型であり、標準射は同型です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle X_{m}}$${\displaystyle \phi _{m}:X_{m}\rightarrow X}$
• Kを体とする。正の整数nに対して、Kからの要素を持つ可逆なn x n行列からなる一般線型群GL( n;K ) を考える。群準同型 GL( n;K ) → GL( n +1; K ) があり、これは行列を右下隅に 1 を置き、最後の行と列の他の場所に 0 を置くことで拡大する。この系の直接の極限は、 GL( K )と表記されるKの一般線型群である。 GL( K )の元は、有限個の要素のみにおいて無限単位行列と異なる無限可逆行列と考えることができる。群 GL( K ) は代数 K 理論において極めて重要である。
• p を素数とします。を乗算することによって誘導される準同型と因数群 で構成される直接系を考えます。 この系の直接極限はのいくつかのべき乗の順序の単位根すべてで構成され、プリューファー群と呼ばれます。${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /p^{n+1}\mathbb {Z} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$
• 変数の対称多項式の環から変数の対称多項式の環への（自明ではない）単射な環準同型が存在します。この直接系の直接極限を形成すると、対称関数の環が生成されます。${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$
• F を位相空間X上のC値層とする。X内の点xを固定する。xの開近傍は包含によって順序付けられた有向集合を形成する ( U ≤ VかつU がVを含む場合のみ)。対応する直接システムは ( F ( U ), r _{U , V} )であり、 r は制限写像である。このシステムの直接極限はxにおけるFの茎と呼ばれ、F _xと表記される。xの各近傍Uについて、標準射F ( U ) → F _{x は}、 U上のFの切断sに、 xにおけるsの芽と呼ばれる茎F _xの元s _xを関連付ける。
• 位相空間のカテゴリにおける直接極限は、基礎となる集合論的直接極限に最終位相を配置することによって与えられます。
• ind -scheme は、スキームの帰納的極限です。

直接の限界は逆の限界と次のよう に結びついている。

${\displaystyle \mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).}$

重要な特性は、加群のカテゴリで直接極限を取ることは正確な​​関数であるということです。つまり、短完全列の有向システムから始めて直接極限を形成すると、短完全列が得られます。 ${\displaystyle 0\to A_{i}\to B_{i}\to C_{i}\to 0}$${\displaystyle 0\to \varinjlim A_{i}\to \varinjlim B_{i}\to \varinjlim C_{i}\to 0}$

カテゴリ内の直接システムは、関数による別の記述が可能であることに注意してください。任意の有向集合は、そのオブジェクトが要素である小さなカテゴリと見なすことができ、の場合にのみ射 が存在します 。 上の直接システムは、共変関数と同じです。この関数の余極限は、元の直接システムの直接極限と同じです。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle i\rightarrow j}$ ${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$

直接極限と密接に関連する概念は、フィルターされた余極限です。ここでは、フィルターされたカテゴリから何らかのカテゴリへの共変関数から始めて、この関数の余極限を形成します。カテゴリがすべての有向極限を持つのは、それがすべてのフィルターされた余極限を持つ場合のみであり、そのようなカテゴリで定義された関数がすべての直接極限と可換なのは、それがすべてのフィルターされた余極限と可換な場合のみであることを示すことができます。^[1]${\displaystyle {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

任意のカテゴリ が与えられた場合、 には直接の極限を持たない には直接的なシステムが存在する可能性があります(たとえば、有限集合のカテゴリや有限生成アーベル群のカテゴリを考えてみましょう)。この場合、 のすべての直接的な極限が存在するカテゴリに を常に埋め込むことができます。のオブジェクトは の ind オブジェクトと呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

直接極限のカテゴリカル双対は逆極限と呼ばれます。上記のように、逆極限は特定の関数の極限として見ることができ、コフィルターされたカテゴリ上の極限と密接に関連しています。

文献では、上で定義した直接極限の概念に対して、「有向極限」、「直接帰納的極限」、「有向余極限」、「直接余極限」、「帰納的極限」という用語が使われています。ただし、「帰納的極限」という用語はあいまいであり、一部の著者は余極限の一般的な概念にこの用語を使用しています。

• グループの直接的な制限

• ブルバキ、ニコラ（1968）、数学の原論、集合論、フランス語から翻訳、パリ：ヘルマン、MR  0237342
• Mac Lane, Saunders (1998)、「Categories for the Working Mathematician」、Graduate Texts in Mathematics、第 5 巻 (第 2 版)、Springer-Verlag