自然の変化

次のような声明

「すべての群は、その反対の群と自然に同型である」

現代数学には、この概念が数多く存在します。ここでは、この命題の正確な意味と証明を示します。カテゴリーを考えてみましょう。 ${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$群準同型を射とするすべての群の。${\displaystyle (G,*)}$は群であり、その反対群を定義する。${\displaystyle (G^{\text{op}},{*}^{\text{op}})}$次のように：${\displaystyle G^{\text{op}}}$は、${\displaystyle G}$、そしてその作戦${\displaystyle *^{\text{op}}}$定義される${\displaystyle a*^{\text{op}}b=b*a}$すべての乗算は${\displaystyle G^{\text{op}}}$したがって「反転」する。反対の群を形成すると、（共変）ファンクターになる。${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$に${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$定義すると${\displaystyle f^{\text{op}}=f}$任意の群準同型に対して${\displaystyle f:G\to H}$。 ご了承ください ${\displaystyle f^{\text{op}}}$これは確かに群準同型です${\displaystyle G^{\text{op}}}$に${\displaystyle H^{\text{op}}}$:

${\displaystyle f^{\text{op}}(a*^{\text{op}}b)=f(b*a)=f(b)*f(a)=f^{\text{op}}(a)*^{\text{op}}f^{\text{op}}(b).}$

上記の声明の内容は以下のとおりです。

「同一性関数」${\displaystyle {\text{Id}}_{\textbf {Grp}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}}$反対の関手と自然に同型である${\displaystyle {\text{op}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}}$「

これを証明するには、同型写像を提示する必要がある。${\displaystyle \eta _{G}:G\to G^{\text{op}}}$各グループについて${\displaystyle G}$、上記の図が可換になるように。${\displaystyle \eta _{G}(a)=a^{-1}}$数式${\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}=a^{-1}*^{\text{op}}b^{-1}}$そして${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$ 示す${\displaystyle \eta _{G}}$逆写像を持つ群準同型である${\displaystyle \eta _{G^{\text{op}}}}$自然性を証明するために、まず群準同型から始めます。 ${\displaystyle f:G\to H}$そして見せる${\displaystyle \eta _{H}\circ f=f^{\text{op}}\circ \eta _{G}}$つまり ${\displaystyle (f(a))^{-1}=f^{\text{op}}(a^{-1})}$すべての人々のために${\displaystyle a}$で${\displaystyle G}$これは事実です。 ${\displaystyle f^{\text{op}}=f}$そしてすべての群準同型は次の性質を持つ${\displaystyle (f(a))^{-1}=f(a^{-1})}$。

グループが与えられた場合${\displaystyle G}$アーベル化を定義することができる${\displaystyle G^{\text{ab}}=G/[G,G]}$、 どこ${\displaystyle [G,G]}$は、の交換子部分群を表す。${\displaystyle G}$。 させて${\displaystyle \pi _{G}:G\to G^{\text{ab}}}$の剰余類への射影写像を表す${\displaystyle [G,G]}$この準同型は「 ${\displaystyle G}$つまり、それは自然変換を定義するものであり、それをこれから確認する。${\displaystyle H}$群である。任意の準同型に対して${\displaystyle f:G\to H}$我々はそれを持っている ${\displaystyle [G,G]}$核に含まれる${\displaystyle \pi _{H}\circ f}$なぜなら、アーベル群への任意の準同型写像は交換子部分群を消滅させるからである。 ${\displaystyle \pi _{H}\circ f}$要因${\displaystyle G^{\text{ab}}}$として${\displaystyle f^{\text{ab}}\circ \pi _{G}=\pi _{H}\circ f}$一意の準同型写像 ${\displaystyle f^{\text{ab}}:G^{\text{ab}}\to H^{\text{ab}}}$これにより${\displaystyle {\text{ab}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}}$ファンクターと ${\displaystyle \pi }$恒等関手から自然変換だが自然同型ではない${\displaystyle {\text{ab}}}$。

代数トポロジーにはファンクターと自然変換が豊富に存在し、ヒューレヴィッツ準同型写像はその例である。任意の点付き位相空間に対して${\displaystyle (X,x)}$正の整数${\displaystyle n}$群準同型が存在する

${\displaystyle h_{n}\colon \pi _{n}(X,x)\to H_{n}(X)}$

から${\displaystyle n}$の 番目のホモトピー群${\displaystyle (X,x)}$へ${\displaystyle n}$の番目の相同群${\displaystyle X}$。 両方${\displaystyle \pi _{n}}$そして${\displaystyle H_{n}}$は、点付き位相空間の圏Top ^*から群の圏Grpへの関手であり、${\displaystyle h_{n}}$自然な変化 ${\displaystyle \pi _{n}}$に${\displaystyle H_{n}}$。

可換環が与えられた場合${\displaystyle R}$そして${\displaystyle S}$環準同型を持つ${\displaystyle f:R\to S}$それぞれの可逆群${\displaystyle n\times n}$行列${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(R)}$そして${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(S)}$準同型写像を継承し、それを次のように表す。${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(f)}$適用によって得られる${\displaystyle f}$ 各行列要素に対して。同様に、${\displaystyle f}$群準同型に制限する${\displaystyle f^{*}:R^{*}\to S^{*}}$、 どこ${\displaystyle R^{*}}$単位のグループを表す${\displaystyle R}$。 実際には、${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$そして${\displaystyle *}$可換環の圏に属する関手である${\displaystyle {\textbf {CRing}}}$に${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$グループに対する決定要因${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(R)}$、で示される${\displaystyle {\text{det}}_{R}}$は群準同型である

${\displaystyle {\mbox{det}}_{R}\colon {\mbox{GL}}_{n}(R)\to R^{*}}$

これは自然なことです${\displaystyle R}$: なぜなら、行列式はすべての環に対して同じ式で定義されるからである。${\displaystyle f^{*}\circ {\text{det}}_{R}={\text{det}}_{S}\circ {\text{GL}}_{n}(f)}$が成り立つ。これにより、行列式は自然な変換となる。${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$に${\displaystyle *}$。

もし${\displaystyle K}$は場である。すると、すべてのベクトル空間に対して${\displaystyle V}$以上${\displaystyle K}$自然な単射線形写像があります${\displaystyle V\to V^{**}}$ベクトル空間からその二重双対空間への写像。これらの写像は、次の意味で「自然」である。すなわち、二重双対演算は関手であり、写像は恒等関手から二重双対関手への自然変換の構成要素である。

任意のアーベル群${\displaystyle G}$セット${\displaystyle {\text{Hom}}_{\textbf {Set}}(\mathbb {Z} ,U(G))}$整数から基底集合への関数${\displaystyle G}$ アーベル群を形成する${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }(G)}$点ごとの加算について。（ここで）${\displaystyle U}$標準的な忘却関数です${\displaystyle U:{\textbf {Ab}}\to {\textbf {Set}}}$.) 与えられた${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$射影${\displaystyle \varphi :G\to G'}$地図${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }(\varphi ):V_{\mathbb {Z} }(G)\to V_{\mathbb {Z} }(G')}$左から作曲することで与えられる${\displaystyle \varphi }$前者の要素との写像はそれ自体がアーベル群の準同型写像である。このようにしてファンクターが得られる。${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }:{\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}}$有限差分演算子${\displaystyle \Delta _{G}}$各関数を取り ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to U(G)}$に${\displaystyle \Delta (f):n\mapsto f(n+1)-f(n)}$これは地図です${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }(G)}$それ自体とコレクション${\displaystyle \Delta }$このような地図は自然な変換を与える${\displaystyle \Delta :V_{\mathbb {Z} }\to V_{\mathbb {Z} }}$。

させて${\displaystyle \varphi :M\longrightarrow M^{\prime }}$になる${\displaystyle R}$-右モジュールのモジュール準同型。すべての左モジュールについて${\displaystyle N}$自然地図がある${\displaystyle \varphi \otimes N:M\otimes _{R}N\longrightarrow M^{\prime }\otimes _{R}N}$自然な変化を形成する${\displaystyle \eta :M\otimes _{R}-\implies M'\otimes _{R}-}$. 全ての右モジュールについて${\displaystyle N}$自然地図がある${\displaystyle \eta _{N}:{\text{Hom}}_{R}(M',N)\longrightarrow {\text{Hom}}_{R}(M,N)}$定義される${\displaystyle \eta _{N}(f)=f\varphi }$自然な変化を形成する${\displaystyle \eta$ :{\text{Hom}}_{R}(M',-)\implies {\text{Hom}}_{R}(M,-)} 。

以下のカテゴリーを検討してください${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$アーベル群と群準同型について。すべてのアーベル群について${\displaystyle X}$、${\displaystyle Y}$そして${\displaystyle Z}$群同型が存在する

${\displaystyle {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)\to {\text{Hom}}(X,{\text{Hom}}(Y,Z))}$。

これらの同型写像は、関係する2つの関手間の自然な変換を定義するという意味で「自然」である。${\displaystyle {\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}}$（ここで「op」は反対のカテゴリです）${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$自明な反対群関手と混同しないように${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ !)

これは正式にはテンソルホム随伴であり、随伴関手のペアの典型的な例です。自然変換は随伴関手と密接に関連して頻繁に現れ、実際、随伴関手はある自然同型によって定義されます。さらに、随伴関手のペアには、単位と共単位と呼ばれる2つの自然変換（一般に同型ではない）が備わっています。

すべての有限次元ベクトル空間は、その双対空間と同型ですが、2 つの空間の間には多くの異なる同型が存在する可能性があります。一般に、有限次元ベクトル空間とその双対空間の間には自然な同型はありません。^{[ 1 ]}ただし、関連するカテゴリ (追加の構造とマップに対する制約付き) には、以下で説明するように自然な同型があります。

有限次元ベクトル空間の双対空間は、同じ次元の有限次元ベクトル空間であり、次元は与えられた体上の有限次元ベクトル空間の唯一の不変量であるため、これらは同型である。しかし、追加の制約（写像が選択された基底を保存するという要件など）がない場合、空間からその双対への写像は一意ではなく、したがって、そのような同型性は選択を必要とし、「自然ではない」。有限次元ベクトル空間と線形写像の圏では、各空間に対して同型を選択することによって（たとえば、すべてのベクトル空間に対して基底を選択し、対応する同型を取ることによって）、ベクトル空間からその双対への非自然同型性を定義することができるが、これは自然な変換を定義するものではない。直感的には、これは選択を必要とするためであり、厳密には、そのような同型性の選択は、たとえばゼロ写像と可換ではないためである。詳細な議論については、（Mac Lane & Birkhoff 1999 、§VI.4）を参照のこと。

有限次元ベクトル空間（オブジェクトとして）と恒等関数および双対関数から出発して、自然な同型を定義することができますが、これにはまず追加の構造を追加し、次にマップを「すべての線形マップ」から「この構造を尊重する線形マップ」に制限する必要があります。具体的には、各ベクトル空間について、その双対への同型データが付属していることを要求します。${\displaystyle \eta _{V}\colon V\to V^{*}}$言い換えれば、非退化双線形形式を持つベクトル空間を対象とする。${\displaystyle b_{V}\colon V\times V\to K}$これは、自然界の同型性（各オブジェクトに対する同型性）を定義する。次に、マップをこれらのマップのみに制限する。${\displaystyle T\colon V\to U}$以下の同型写像と可換である：${\displaystyle T^{*}(\eta _{U}(T(v)))=\eta _{V}(v)}$言い換えれば、双線形形式を保持する。${\displaystyle b_{U}(T(v),T(w))=b_{V}(v,w)}$（これらの写像は同型写像の自然化を定義します。）結果として得られる圏は、非退化双線形形式を持つ有限次元ベクトル空間を対象とし、双線形形式を尊重する線形変換を写像としており、構成上、恒等写像から双対写像への自然な同型写像を持ちます（各空間は双対写像への同型写像を持ち、圏内の写像は可換である必要があります）。このように考えると、この構成（各対象に対して変換を追加し、写像がこれらと可換になるように制限する）は完全に一般的であり、ベクトル空間の特定の性質に依存しません。

このカテゴリ（非退化双線形形式を持つ有限次元ベクトル空間、双線形形式を尊重する写像、線形変換）では、ベクトル空間間の写像の双対は転置として識別できます。幾何学的な興味から、非退化双線形形式が対称である（直交行列）、対称かつ正定値である（内積空間）、対称かつ半双線形である（エルミート空間）、歪対称かつ完全等方的である（シンプレクティックベクトル空間）など、追加の特性を持つことを要求することで、これはしばしばサブカテゴリに特化されます。これらのカテゴリすべてにおいて、ベクトル空間は非退化双線形形式によって、その双対と自然に識別されます。

もし${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$そして${\displaystyle \epsilon :G\Rightarrow H}$ファンクター間の自然な変換である${\displaystyle F,G,H:C\to D}$そうすれば、それらを組み合わせて自然な変換を得ることができます${\displaystyle \epsilon \circ \eta :F\Rightarrow H}$これはコンポーネントごとに行われます。

${\displaystyle (\epsilon \circ \eta )_{X}=\epsilon _{X}\circ \eta _{X}}$。

この自然変換の垂直構成は結合法則を満たし、恒等式を持ち、すべてのファンクターの集合を考察することを可能にする。${\displaystyle C\to D}$それ自体を圏として捉える（下記の「関手圏」を参照）。恒等自然変換${\displaystyle \mathrm {id} _{F}}$ファンクターについて${\displaystyle F}$コンポーネントがあります${\displaystyle (\mathrm {id} _{F})_{X}=\mathrm {id} _{F(X)}}$[ ^{2 ]​}

のために${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$、${\displaystyle \mathrm {id} _{G}\circ \eta =\eta =\eta \circ \mathrm {id} _{F}}$。

もし${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$ファンクター間の自然な変換である${\displaystyle F,G:C\to D}$そして${\displaystyle \epsilon :J\Rightarrow K}$ファンクター間の自然な変換である${\displaystyle J,K:D\to E}$すると、ファンクターの合成によって自然変換の合成が可能になる。${\displaystyle \epsilon *\eta :J\circ F\Rightarrow K\circ G}$コンポーネント付き

${\displaystyle (\epsilon *\eta )_{X}=\epsilon _{G(X)}\circ J(\eta _{X})=K(\eta _{X})\circ \epsilon _{F(X)}}$。

ウィスカリング（下記参照）を使用すると、次のように書くことができます。

${\displaystyle (\epsilon *\eta )_{X}=(\epsilon G)_{X}\circ (J\eta )_{X}=(K\eta )_{X}\circ (\epsilon F)_{X}}$、

したがって

${\displaystyle \epsilon *\eta =\epsilon G\circ J\eta =K\eta \circ \epsilon F}$。

この自然変換の水平合成は、同一性とも関連しています。この同一性とは、同一性関数上の同一性自然変換、すなわち、各オブジェクトにその同一性射を関連付ける自然変換です。オブジェクトの場合、${\displaystyle X}$カテゴリー${\displaystyle C}$、${\displaystyle (\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}})_{X}=\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}(X)}=\mathrm {id} _{X}}$。

のために${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$と${\displaystyle F,G:C\to D}$、${\displaystyle \mathrm {id} _{\mathrm {id} _{D}}*\eta =\eta =\eta *\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}}}$。

同一性関数として${\displaystyle \mathrm {id} _{C}}$そして${\displaystyle \mathrm {id} _{D}}$はファンクターであり、水平合成の恒等式は垂直合成の恒等式でもあるが、その逆は成り立たない。^{[ 3 ]}

ウィスカリングは、ファンクターと自然変換の間の外部二項演算です。 ^{[ 4 ] [ 5 ]}

もし${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$ファンクター間の自然な変換である${\displaystyle F,G:C\to D}$、 そして${\displaystyle H:D\to E}$が別のファンクターである場合、自然変換を形成できます${\displaystyle H\eta :H\circ F\Rightarrow H\circ G}$定義することによって

${\displaystyle (H\eta )_{X}=H(\eta _{X})}$。

一方、${\displaystyle K:B\to C}$はファンクターであり、自然変換です${\displaystyle \eta K:F\circ K\Rightarrow G\circ K}$定義される

${\displaystyle (\eta K)_{X}=\eta _{K(X)}}$。

また、これは水平方向の構成であり、その自然な変換の一つは恒等自然変換である。

${\displaystyle H\eta =\mathrm {id} _{H}*\eta }$そして${\displaystyle \eta K=\eta *\mathrm {id} _{K}}$。

ご了承ください${\displaystyle \mathrm {id} _{H}}$(それぞれ)${\displaystyle \mathrm {id} _{K}}$は一般的に水平構成の左側（または右側）の同一性ではない${\displaystyle *}$（${\displaystyle H\eta \neq \eta }$そして${\displaystyle \eta K\neq \eta }$一般的には）ただし、${\displaystyle H}$(それぞれ)${\displaystyle K}$) は圏の恒等関手である。${\displaystyle D}$(それぞれ)${\displaystyle C}$)

この 2 つの操作は、垂直合成と水平合成を交換する恒等式によって関連付けられています。4 つの自然変換がある場合${\displaystyle \alpha ,\alpha ',\beta ,\beta '}$右図に示すように、次の恒等式が成り立つ。

${\displaystyle (\beta '\circ \alpha ')*(\beta \circ \alpha )=(\beta '*\beta )\circ (\alpha '*\alpha )}$。

垂直方向の構成と水平方向の構成は、同一性の自然な変容によっても結びついている。

のために${\displaystyle F:C\to D}$そして${\displaystyle G:D\to E}$、${\displaystyle \mathrm {id} _{G}*\mathrm {id} _{F}=\mathrm {id} _{G\circ F}}$[ ^{6 ]​}

ひげは同一性を持つ水平合成であるため、交換法則は水平合​​成の簡潔な式を直ちに与える。${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$そして${\displaystyle \epsilon :J\Rightarrow K}$構成要素や可換図を分析することなく：

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon *\eta &=(\epsilon \circ \mathrm {id} _{J})*(\mathrm {id} _{G}\circ \eta )=(\epsilon *\mathrm {id} _{G})\circ (\mathrm {id} _{J}*\eta )=\epsilon G\circ J\eta \\&=(\mathrm {id} _{K}\circ \epsilon )*(\eta \circ \mathrm {id} _{F})=(\mathrm {id} _{K}*\eta )\circ (\epsilon *\mathrm {id} _{F})=K\eta \circ \epsilon F\end{aligned}}}$。

すべての極限と余極限は、単純な自然変換の例となる。例えば、円錐は対角関手を定義域とする自然変換に相当する。実際、極限と余極限がその普遍性によって直接定義される場合、それらは関手圏における普遍射となる。