多項式ファンクター

代数学において、多項式関手は圏上の自己関手である。${\displaystyle {\mathcal {V}}}$有限次元ベクトル空間の多項式に依存するベクトル空間。例えば、対称べき乗${\displaystyle V\mapsto \operatorname {Sym} ^{n}(V)}$そして外部勢力${\displaystyle V\mapsto \wedge ^{n}(V)}$は多項式関数です${\displaystyle {\mathcal {V}}}$に${\displaystyle {\mathcal {V}}}$これら2つもシューア関数です。

この概念は表現論だけでなく圏論（関手の計算）にも現れる。特に、次数nの同次多項式関手の圏は、対称群の有限次元表現の圏と同値である。${\displaystyle S_{n}}$特性ゼロの体上。^{[ 1 ]}

kを標数ゼロの体とし、${\displaystyle {\mathcal {V}}}$有限次元kベクトル空間とk線形写像の圏。すると自己関手${\displaystyle F\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {V}}}$以下の同値条件が満たされる場合、は多項式関数である。

• 任意のベクトル空間X、Y のペアについて${\displaystyle {\mathcal {V}}}$地図${\displaystyle F\colon \operatorname {Hom} (X,Y)\to \operatorname {Hom} (F(X),F(Y))}$これは多項式写像（すなわち、線形形式のベクトル値多項式）です。
• 線形マップが与えられた場合${\displaystyle f_{i}:X\to Y,\,1\leq i\leq r}$で${\displaystyle {\mathcal {V}}}$関数${\displaystyle (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r})\mapsto F(\lambda _{1}f_{1}+\cdots +\lambda _{r}f_{r})}$定義済み$\displaystyle k^{r}}$は係数がの多項式関数です${\displaystyle \operatorname {Hom} (F(X),F(Y))}$。

多項式ファンクターは、任意の線形写像に対して、次数が n の同次であるとされる。${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}}$で${\displaystyle {\mathcal {V}}}$共通の定義域と値域を持つベクトル値多項式${\displaystyle F(\lambda _{1}f_{1}+\cdots +\lambda _{r}f_{r})}$n次の同次関数である。

「有限ベクトル空間」を「有限集合」に置き換えると、組み合わせ種（正確には、多項式の性質を持つもの）という概念が得られる。