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数学において、射とは、代数構造間の準同型、ある集合から別の集合への関数、位相空間間の連続関数などの構造保存写像を一般化する圏論の概念である。射の例の多くは構造保存写像であるが、射は写像である必要はなく、関数合成に似た方法で合成することができる。
射とオブジェクトは、カテゴリの構成要素です。射は、マップまたは矢印とも呼ばれ、射のソースとターゲットと呼ばれる 2 つのオブジェクトを関連付けます。カテゴリの射には、合成と呼ばれる部分操作があり、これは最初のオブジェクトのターゲットが 2 番目のオブジェクトのソースに等しい場合に定義されます。射の合成は、関数合成のように動作します (定義されている場合の合成の結合性、およびすべてのオブジェクトに対する恒等射の存在)。
射と圏は現代数学の多くで繰り返し登場する。もともとはホモロジー代数と代数位相幾何学のために導入された。これらは、代数幾何学の一般化であり代数的数論にも適用されるグロタンディークのスキーム理論の基礎ツールに属する。
意味
カテゴリCは、 オブジェクトと射の2 つのクラスで構成されます。すべての射には、ソース とターゲットという 2 つのオブジェクトが関連付けられています。XからYへの射fは、ソースXとターゲットYを持つ射です。これは通常、f : X → YまたはXと記述されます。 Y後者の形式は可換図式により適している。
多くの一般的なカテゴリでは、オブジェクトは集合（多くの場合、追加の構造を持つ）であり、射はオブジェクトから別のオブジェクトへの関数です。したがって、射のソースとターゲットは、しばしばドメインとそれぞれコドメイン。
射には、合成と呼ばれる部分的な二項演算が備わっています。2 つの射fとgの合成は、 fのターゲットがgのソースであるときに正確に定義され、 g ∘ f (または単にgf )と表記されます。 g ∘ fのソースはfのソースであり、 g ∘ fのターゲットはgのターゲットです。合成は 2 つの公理を満たします。
- 身元
- すべてのオブジェクトXに対して、 X上の恒等射と呼ばれる射id X : X → Xが存在し、すべての射f : A → Bに対してid B ∘ f = f = f ∘ id Aが成り立ちます。
- 結合性
- すべての合成が定義されている場合、つまりfのターゲットがgのソースであり、 gのターゲットがhのソースである場合は、 h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ fです。
具体的なカテゴリ（オブジェクトが集合であり、追加の構造を持つ可能性があり、射が構造保存関数であるカテゴリ）の場合、恒等射は単に恒等関数であり、合成は単に関数の通常の合成です。
射の合成は可換図式で表されることが多い。例えば、
XからYへの すべての射の集合はHom C ( X , Y )または単にHom( X , Y )と表記され、 XとYの間のhom 集合と呼ばれます。著者によってはMor C ( X , Y )、Mor( X , Y ) 、またはC( X , Y )と書きます。hom 集合という用語は、射の集合が集合である必要はないため、多少誤った呼び名です。Hom ( X , Y ) がすべてのオブジェクトXとYの集合であるカテゴリは、局所的に小さいと呼ばれます。hom 集合は集合ではない可能性があるため、「hom クラス」という用語を使用することを好む人もいます。
定義域と余域は、実際には射を決定する情報の一部です。たとえば、集合のカテゴリでは、射は関数であり、2 つの関数は順序付きペアの集合として同一である可能性があります (範囲が同じである可能性があります) が、余域は異なります。2 つの関数は、カテゴリ理論の観点からは異なります。したがって、多くの著者は、ホムクラスHom( X , Y )が互いに素であることを要求します。実際には、この不一致が成立しない場合は、定義域と余域を射に追加することによって (たとえば、順序付き 3 つの要素の 2 番目と 3 番目の要素として) 保証できるため、これは問題になりません。
いくつかの特殊な射影
単射とエピモーフィズム
射f : X → Yは、f ∘ g 1 = f ∘ g 2 がすべての射g 1 , g 2 : Z → Xに対してg 1 = g 2を意味するとき、単射と呼ばれる。単射は略してmonoと呼ばれることがあり、形容詞としてmonic を使うことができる。 [1]射fが左逆を持つ、または分割単射であるとは、 g : Y → Xが存在してg ∘ f = id Xとなるときである。したがって、 f ∘ g : Y → Y は冪等である。つまり、( f ∘ g ) 2 = f ∘ ( g ∘ f ) ∘ g = f ∘ gである。左逆g はfの撤回とも呼ばれる。[1]
左逆を持つ射は常に単射であるが、その逆は一般には真ではない。つまり、単射は左逆を持たないことがある。具体的なカテゴリでは、左逆を持つ関数は単射である。したがって、具体的なカテゴリでは、単射は多くの場合単射であるが、常にそうであるとは限らない。単射である条件は単射である条件よりも強いが、分割単射である条件よりも弱い。
単射と双対的に、射f : X → Yは、 g 1 ∘ f = g 2 ∘ fならばすべての射g 1 , g 2 : Y → Zに対してg 1 = g 2となるとき、エピモーフィズムと呼ばれます。エピモーフィズムは短縮してepiと呼ばれることがあり、形容詞としてepic を使うことができます。 [1]射f は右逆を持つ、または分割エピモーフィズムであるとは、射g : Y → Xがあってf ∘ g = id Yとなるときです。右逆g はfのセクションとも呼ばれます。[1] 右逆を持つ射は常にエピモーフィズムですが、エピモーフィズムが右逆を持たない場合もあるため、その逆は一般には当てはまりません。
単射f が左逆gと分割する場合、gは右逆fを持つ分割エピモーフィズムです。具体的なカテゴリでは、右逆を持つ関数は全射です。したがって、具体的なカテゴリでは、エピモーフィズムは多くの場合全射ですが、常にそうであるとは限りません。全射である条件はエピモーフィズムである条件よりも強く、分割エピモーフィズムである条件よりも弱いです。集合のカテゴリでは、すべての全射にセクションがあるというステートメントは選択公理と同等です。
エピモーフィズムとモノモーフィズムの両方である射は、バイモーフィズムと呼ばれます。
同型性
射f : X → Y は、射g : Y → Xが存在してf ∘ g = id Yかつg ∘ f = id Xであるとき、同型と呼ばれます。射が左逆と右逆の両方を持つ場合、 2 つの逆は等しいため、f は同型であり、g は単にfの逆と呼ばれます。逆射が存在する場合、それは一意です。逆gも同型であり、逆fです。同型を持つ 2 つのオブジェクトは、同型または同等であると言われます。
すべての同型は双射ですが、双射は必ずしも同型ではありません。たとえば、可換環のカテゴリでは、包含Z → Qは同型ではない双射です。ただし、エピモーフィズムと分割単射の両方である射、または単射と分割エピモーフィズムの両方である射は、同型でなければなりません。すべての双射が同型であるSetなどのカテゴリは、バランスの取れたカテゴリとして知られています。
準同型と自己同型
射f : X → X (つまり、ソースとターゲットが同一の射) は、Xの自己準同型です。分割自己準同型は、f がg ∘ h = idとなる分解f = h ∘ g を許容する場合、冪等な自己準同型fです。特に、カテゴリのカルービエンベロープは、すべての冪等な射を分割します。
自己同型とは、自己準同型と同型の両方である射です。すべてのカテゴリにおいて、オブジェクトの自己同型は常に、オブジェクトの 自己同型群と呼ばれるグループを形成します。
例
- 代数学で一般的に考慮される代数構造、例えば群、環、加群などの場合、射は通常準同型であり、同型、自己同型、自己準同型、エピモーフィズム、単同型の概念は上で定義されたものと同じである。ただし、環の場合、「エピモーフィズム」は「全射」の同義語として考えられることが多いが、全射ではない環エピモーフィズム（例えば、有理数に整数を埋め込む場合）も存在する。
- 位相空間のカテゴリでは、射は連続関数であり、同型は同相写像と呼ばれます。同相写像ではない全単射（つまり、集合の同型）も存在します。
- 滑らかな多様体のカテゴリでは、射は滑らかな関数であり、同型は微分同相写像と呼ばれます。
- 小さなカテゴリのカテゴリでは、射は関数です。
- 関数カテゴリでは、射は自然変換です。
その他の例については、カテゴリー理論を参照してください。
参照
注記
- ^ abcd Jacobson (2009)、15ページ。
参考文献
- ジェイコブソン、ネイサン（2009）、基礎代数、第2巻（第2版）、ドーバー、ISBN 978-0-486-47187-7。
- アダメク、イジー。ヘルリッヒ、ホルスト。ストレッカー、ジョージ E. (1990)。抽象的なカテゴリと具体的なカテゴリ(PDF)。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-60922-6。現在、無料のオンライン版（4.2MB PDF）としてご利用いただけます。