プレスタック

代数幾何学において、何らかのグロタンディーク位相を備えたカテゴリC上のプレスタック Fは、関数p : F → Cを伴うカテゴリであり、特定の持ち上げ条件を満たし、(ファイバーが群の場合) 局所的に同型なオブジェクトは同型です。スタックは有効な降下を持つプレスタックであり、つまり、局所オブジェクトをパッチしてグローバル オブジェクトにすることができます。

自然界に現れるプレスタックは通常スタックですが、単純に構築されたプレスタック（例えば、群状スキームや射影ベクトル束のプレスタック）はスタックではない場合があります。プレスタックは単独で研究されることもあれば、スタックに渡されることもあります。

スタックはプレスタックなので、プレスタックに関するすべての結果はスタックにも有効です。この記事では、固定された基本カテゴリCを扱います。たとえば、C は、何らかのグロタンディーク位相を備えた何らかの固定スキーム上のすべてのスキームのカテゴリになります。

F をカテゴリとし、それが関数を介して C 上にファイバー化されていると仮定します。これは、標準同型まで、 C内の射に沿ってプルバックを構築できることを意味します。${\displaystyle p:F\to C}$

C内のオブジェクトUと内のオブジェクトx、yが与えられ、 C内の各射に対して、プルバックを固定した後、^{[1] [2]}${\displaystyle F(U)=p^{-1}(U)}$${\displaystyle f:V\to U}$${\displaystyle f^{*}x,f^{*}y}$

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)=[\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]}$

をから までのすべての射の集合とする。ここで、括弧は、異なるプルバックの選択から生じる異なる Hom 集合を標準的に識別することを意味する。U上の各に対して、 fからgへの制限写像を定義する。 を合成とする。 ${\displaystyle f^{*}x}$${\displaystyle f^{*}y}$${\displaystyle g:W\to V}$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)\to {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(W{\overset {f\circ g}{\to }}U)}$

${\displaystyle [\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]{\overset {g^{*}}{\to }}[\operatorname {Hom} (g^{*}(f^{*}x),g^{*}(f^{*}y))]=[\operatorname {Hom} ((f\circ g)^{*}x,(f\circ g)^{*}y)]}$

ここで、標準同型は右側の = を取得するために使用されます。すると、はスライス カテゴリの前層になります。スライス カテゴリは、ターゲットUを持つC内のすべての射のカテゴリです。 ${\displaystyle g^{*}\circ f^{*}\simeq (f\circ g)^{*}}$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$ ${\displaystyle C_{/U}}$

定義により、F がプレスタックであるとは、各ペアx、yに対して、 が上の誘導グロタンディーク位相に関する集合の層である場合を指します。 ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$${\displaystyle C_{/U}}$

この定義は次のように表現することもできる。^[3]まず、各被覆族に対して、カテゴリを次のように「定義」する。 ${\displaystyle \{V_{i}\to U\}}$${\displaystyle F(\{V_{i}\to U\})}$${\displaystyle p_{1}:V_{i}\times _{U}V_{j}\to V_{i},\,p_{12}:V_{i}\times _{U}V_{j}\times _{U}V_{k}\to V_{i}\times _{U}V_{j}}$

1. オブジェクトは、コサイクル条件を満たす、内のオブジェクトと同型からなるペアの集合です。${\displaystyle \{(x_{i},\varphi _{ij})\}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle F(V_{i})}$${\displaystyle \varphi _{ij}:p_{2}^{*}x_{j}{\overset {\sim }{\to }}p_{1}^{*}x_{i}}$${\displaystyle p_{13}^{*}\varphi _{ik}=p_{12}^{*}\varphi _{ij}\circ p_{23}^{*}\varphi _{jk}}$
2. 射は次のようなものから構成される。${\displaystyle \{(x_{i},\varphi _{ij})\}\to \{(y_{i},\psi _{ij})\}}$${\displaystyle \alpha _{i}:x_{i}\to y_{i}}$${\displaystyle F(V_{i})}$${\displaystyle \psi _{ij}\circ p_{2}^{*}\alpha _{j}=p_{1}^{*}\alpha _{i}\circ \varphi _{ij}.}$

このカテゴリのオブジェクトは降下データと呼ばれます。このカテゴリは明確に定義されていません。問題は、プルバックが標準同型までしか決定されないことです。同様に、ファイバー積は、表記法の慣例に反して、標準同型までしか定義されません。実際には、プルバック、その構成、ファイバー積などのいくつかの標準識別を行うだけです。そのような識別までは、上記のカテゴリは明確に定義されています (言い換えると、カテゴリの標準同値まで定義されています)。

オブジェクトをそれが定義する降下データに送る明らかな関手が存在します。この場合、「各被覆族に対して、関手が完全に忠実である場合に限り、Fはプレスタックです。」と言えます。このような記述は、前述の標準的な識別の選択とは無関係です。 ${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$${\displaystyle \{V_{i}\to U\}}$${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$

の本質的なイメージは、まさに有効な降下データ（「有効な」の定義だけ）から構成されます。したがって、各被覆ファミリ に対して、がカテゴリの同値である場合に限り、 F はスタックになります。 ${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$${\displaystyle \{V_{i}\to U\}}$${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$

プレスタックとスタックの定義をこのように再定式化することで、これらの概念の直感的な意味が非常に明確になります。(1)「ファイバーカテゴリ」とは、プルバックを構築できることを意味します。(2)「群体のプレスタック」は、さらに「局所的に同型」は「同型」を意味することを意味します。(3)「群体のスタック」は、前述の特性に加えて、コサイクル条件に従って、ローカルデータからグローバルオブジェクトを構築できることを意味します。これらはすべて、標準的な同型性まで機能します。

固定された基底カテゴリC上のプレスタックが与えられた場合、射は(1)および (2) のように直交射を直交射に写す関数です。(2) は、 G が群体にファイバー化されている場合は自動的に成り立つことに注意してください。たとえば、代数スタック (その場合、すべての射は直交射であるため) です。 ${\displaystyle p:F\to C,q:G\to C}$${\displaystyle f:F\to G}$${\displaystyle q\circ f=p}$

が基本カテゴリC内のスキームSに関連付けられたスタックである場合、ファイバーは、構成により、C内のUからSへのすべての射の集合です。同様に、 C内のスキームUをスタック (つまり、) として見て、カテゴリF をC上の群にファイバー化した場合、2-米田の補題は、カテゴリの自然な同値性が存在することを示しています^[4]${\displaystyle p:F_{S}\to C}$ ${\displaystyle p^{-1}(U)=F_{S}(U)}$${\displaystyle F_{U}}$

${\displaystyle \operatorname {Funct} _{C}(U,F){\overset {\chi \mapsto \chi (1_{U})}{\to }}F(U)}$

ここで、は相対関手カテゴリを指します。オブジェクトはC上のUからFへの関手であり、射は基底を保存する自然変換です。^[5]${\displaystyle \operatorname {Funct} _{C}}$

をプレスタックの射とする。すると、定義により^[6]ファイバー積は 、${\displaystyle f:F\to B,g:G\to B}$${\displaystyle F\times _{B,f,g}G=F\times _{B}G}$

1. オブジェクトは、 Fのオブジェクトx 、 Gのオブジェクトy （どちらもCの同じオブジェクト上）と、 Cの恒等射上のGの同型からなる三つ組であり、${\displaystyle (x,y,\psi )}$${\displaystyle \psi :f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)}$
2. 射はFにおいて、Gにおいてで構成され、両方ともCにおける同じ射上に存在するので、 となる。${\displaystyle (x,y,\psi )\to (x',y',\psi ')}$${\displaystyle \alpha :x\to x'}$${\displaystyle \beta :y\to y'}$${\displaystyle g(\beta )\circ \psi =\psi '\circ f(\alpha )}$

忘却関手p、q がFおよびGに付属しています。 ${\displaystyle F\times _{B}G}$

このファイバー積は、自然同型性を除き、通常のファイバー積のように動作します。この意味は次のとおりです。まず、明らかな正方形は可換ではありません。代わりに、の各オブジェクトに対して: ${\displaystyle (x,y,\psi )}$${\displaystyle F\times _{B}G}$

${\displaystyle \psi :(f\circ p)(x,y,\psi )=f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)=(g\circ q)(x,y,\psi )}$。

つまり、可逆な自然変換（＝自然同型性） が存在する。

${\displaystyle \Psi :f\circ p{\overset {\sim }{\to }}g\circ q}$。

第二に、これは厳密な普遍性を満たします。つまり、プレスタックH、射、自然同型が与えられたとき、自然同型およびとともに となるが存在するということです。一般に、 B上のFとGのファイバー積は、上記に標準同型のプレスタックです。 ${\displaystyle u:H\to F}$${\displaystyle v:H\to G}$${\displaystyle f\circ u{\overset {\sim }{\to }}g\circ v}$${\displaystyle w:H\to F\times _{B}G}$${\displaystyle u{\overset {\sim }{\to }}p\circ w}$${\displaystyle q\circ w{\overset {\sim }{\to }}v}$${\displaystyle f\circ u{\overset {\sim }{\to }}g\circ v}$${\displaystyle f\circ p\circ w{\overset {\sim }{\to }}g\circ q\circ w}$${\displaystyle F\times _{B}G}$

B が基本カテゴリC (それ自身のプレスタック)である場合、 B は削除され、単に と記述されます。この場合、 のオブジェクトはすべて恒等関数であることに注意してください。 ${\displaystyle F\times G}$${\displaystyle \psi }$

例: 各プレスタックに対して、によって与えられる対角射が存在します。 ${\displaystyle p:X\to C}$${\displaystyle \Delta :X\to X\times X}$${\displaystyle x\mapsto (x,x,1_{p(x)})}$

例: とすると、. ^[7]${\displaystyle F_{i}\to B_{i},G_{i}\to B_{i},\,i=1,2}$${\displaystyle (F_{1}\times F_{2})\times _{B_{1}\times B_{2}}(G_{1}\times G_{2})\simeq (F_{1}\times _{B_{1}}G_{1})\times (F_{2}\times _{B_{2}}G_{2})}$

例:と対角射が与えられ、 ${\displaystyle f:F\to B,g:G\to B}$${\displaystyle \Delta :B\to B\times B}$

${\displaystyle F\times _{B}G\simeq (F\times G)\times _{B\times B,f\times g,\Delta }B}$;

この同型性は単純に手作業で構築されます。

プレスタックの射は、プレスタックとして見たCのスキームSからのすべての射に対して、プレスタックのファイバー積がCのスキームである場合に、強く表現可能であると言われます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle S\to Y}$${\displaystyle X\times _{Y}S}$

特に、定義は構造マップに適用されます（基本カテゴリC は、恒等式を介してそれ自体のプレスタックです）。p は、 C内のスキームである場合に限り、強く表現可能です。 ${\displaystyle p:X\to C}$${\displaystyle X\simeq X\times _{C}C}$

定義は対角射にも適用されます。 が強く表現可能な場合、 は任意のT → Xに対して強く表現可能であるため、スキームUからのすべての射は強く表現可能です。 ${\displaystyle \Delta :X\to X\times X}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle U\to X}$${\displaystyle U\times _{X}T\simeq (U\times T)\times _{X\times X}X}$

が強く表現可能な射である場合、任意の、S をプレスタックとして見たスキームに対して、射影はスキーム の射です。これにより、スキームの射に関する多くのプロパティの概念をスタック コンテキストに移行できます。つまり、P を、基底変更に対して安定であり、 Cのトポロジー(たとえば、エタール トポロジーまたは滑らかなトポロジー) に対して局所的な、基底カテゴリCの射に関するプロパティとします。このとき、強く表現可能なプレスタックの射がプロパティP を持つとは、すべての射、T をプレスタックとして見たスキームに対して、誘導された射影がプロパティPを持つことを意味します。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle S\to Y}$${\displaystyle X\times _{Y}S\to S}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle T\to Y}$${\displaystyle X\times _{Y}T\to T}$

G を体k上の有限型のスキームXに右から作用する代数群とする。すると、GのXへの群作用は、次のようにkスキームのカテゴリC上のプレスタック（スタックではない）を決定する。 F を次のカテゴリと する。

1. オブジェクトは、C内のスキームUとセット内のxからなるペアであり、${\displaystyle (U,x)}$${\displaystyle X(U)=\operatorname {Hom} _{C}(U,X)}$
2. 射はC内のとxg = y 'となる要素から構成されます。ここでは と書きました。${\displaystyle (U,x)\to (V,y)}$${\displaystyle U\to V}$${\displaystyle g\in G(U)}$${\displaystyle y':U\to V{\overset {y}{\to }}X}$

このカテゴリF は、 Cへの忘却関手を通じて群体にファイバー化されており、作用群体または変換群体として知られています。これは、XのGによる商プレスタックとも呼ばれ、 と表記されます。これは、結局のところ、そのスタック化が商スタックであるためです。この構成は、#同値類のプレスタックを形成する特別なケースです。特に、Fはプレスタックです。 ${\displaystyle [X/G]^{pre}}$ ${\displaystyle [X/G]}$

Xが点で、Gがアフィンの場合、商はGの分類前スタックであり、そのスタック化はGの分類スタックです。 ${\displaystyle *=\operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle [*/G]^{pre}=BG^{pre}}$

Xをプレスタック（実際はスタック）として 見ると、明らかな標準マップが存在する。

${\displaystyle \pi :X\to F}$

C上; 明示的には、プレスタックX内の各オブジェクトはそれ自身に向かい、定義によりxが等しいことを満たす各射はG ( U )の単位群元に向かいます。 ${\displaystyle (U,x:U\to X)}$${\displaystyle (U,x)\to (V,y)}$${\displaystyle U\to V{\overset {y}{\to }}X}$

上記の標準マップは 2共等化子(2 商) に適合します。

${\displaystyle X\times G{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}X{\overset {\pi }{\to }}F}$、

ここで、t :( x , g )→ xgは与えられた群作用であり、sは射影である。これは1-共等化子ではない。なぜなら、等式の代わりに、次のように与えられ ているからである。${\displaystyle \pi \circ s=\pi \circ t}$${\displaystyle \pi \circ s{\overset {\sim }{\to }}\pi \circ t}$

${\displaystyle g:(\pi \circ s)(x,g)=\pi (x){\overset {\sim }{\to }}(\pi \circ t)(x,g)=\pi (xg).}$

X を基本カテゴリCのスキームとします。定義により、同値事前関係はCの射であり、C内の各スキームTに対して、関数は同値関係であるイメージを持ちます。接頭辞「事前」は、が入射関数である必要がないためです。 ${\displaystyle R\to X\times X}$${\displaystyle f(T):R(T)=\operatorname {Hom} (T,R)\to X(T)\times X(T)}$${\displaystyle f(T)}$

例: 代数群G が体k上の有限型のスキームXに作用するとします。 をとり、 k上の任意 のスキームTに対して${\displaystyle R=X\times _{k}G}$

${\displaystyle f(T):R(T)\to X(T)\times X(T),\,(x,g)\mapsto (x,xg).}$

米田の補題により、これは明らかに同値前関係で ある射fを決定します。

与えられた同値事前関係（およびいくつかの追加データ）ごとに、次のように定義される事前スタックFが関連付けられる。 ^[8]まず、Fは、 次の表記で表すカテゴリである。${\displaystyle f:R\to X\times X}$${\displaystyle s=p_{1}\circ f,\,t=p_{2}\circ f}$

忘却関手を介して、カテゴリF は群体に​​ファイバー化される。最後に、Fがプレスタックであることを確認する。^{[9]そのために、次の点に注意する}。F ( U )内のオブジェクトx、yと内のオブジェクトに対して、 ${\displaystyle f:V\to U}$${\displaystyle C_{/U}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)&=[\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]\\&=[\{\delta :V\to R|s\circ \delta =f^{*}x,t\circ \delta =f^{*}y\}]\\&=[\{\delta :V\to R|(s,t)\circ \delta =(x,y)\circ f\}].\end{aligned}}}$

さて、これはが とのファイバー積であることを意味します。 層のファイバー積は層なので、 は層になります。 ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$${\displaystyle (s,t):R\to X\times X}$${\displaystyle (x,y):U\to X\times X}$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$

上記のプレスタックFは と表記され、そのスタック化は と表記されます。 ${\displaystyle [X/\sim _{R}]^{pre}}$${\displaystyle [X/\sim _{R}]}$

X をスタックとして見ると、Xと はどちらも同じオブジェクトのセットを持つことに注意します。 射レベルでは、X は射として恒等射のみを持ちますが、プレスタックは同値事前関係fによって指定される追加の射を持ちます。 ${\displaystyle [X/\sim _{R}]^{pre}}$${\displaystyle [X/\sim _{R}]^{pre}}$${\displaystyle \delta }$

この構成の重要性の 1 つは、代数空間のアトラスを提供することです。つまり、すべての代数空間は、何らかのスキームU、R 、および各Tに対して が単射関数となるようなエタール同値事前関係の形式です(「エタール」は、2 つの可能なマップがエタールであることを意味します)。 ${\displaystyle [U/\sim _{R}]}$${\displaystyle f:R\to U\times U}$${\displaystyle f(T):R(T)\to U(T)\times U(T)}$${\displaystyle s,t:R\to U\times U\to U}$

デリーニュ・マンフォードスタック から出発して、いくつかのスキームR , Uに対する同値事前関係を見つけることができ、それはそれに関連付けられた事前スタックのスタック化である: 。^[10]これは次のように行われる。定義により、いくつかのスキームUからのエタール射影写像が存在する。対角線は強表現可能であるため、ファイバー積はスキーム（つまり、スキームによって表現される）であり、次に ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle f:R\to U\times U}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}\simeq [U/\sim _{R}]}$${\displaystyle \pi :U\to {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle U\times _{\mathfrak {X}}U=R}$

${\displaystyle s,t:R\rightrightarrows U}$

を最初の射影と 2 番目の射影とします。 をとると、は同値関係であることが わかります。 大まかに言うと、次のようになります。${\displaystyle f=(s,t):R\to U\times U}$${\displaystyle f}$

1. に拡張します(オブジェクト レベルでは何も変わりません。 を送信する方法のみを説明する必要があります)。${\displaystyle \pi :U\to {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle \pi :[U/\sim _{R}]^{pre}\to {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle \delta }$
2. 積み重ねの普遍的性質により、は を因数分解します。${\displaystyle \pi }$${\displaystyle [U/\sim _{R}]\to {\mathfrak {X}}}$
3. 最後のマップが同型であることを確認します。

スタックを特定のプレスタックに関連付ける方法があります。これはプレ層の層化に似ており、スタック化と呼ばれます。構築の考え方は非常に単純です。プレスタックが与えられた場合、HF を、オブジェクトが降下データであり、射が降下データの射であるカテゴリとします。(詳細は今のところ省略します) ${\displaystyle p:F\to C}$

結局のところ、これはスタックであり、θが同型である 場合にのみFがスタックになるという自然な射影が伴います。${\displaystyle \theta :F\to HF}$

いくつかの特殊なケースでは、スタック化はアフィン群スキームまたは一般化のトルソルの観点から記述できます。実際、この観点によれば、群体のスタックはトルソルのカテゴリに他ならず、プレスタックはトルソルのローカルモデルである自明なトルソルのカテゴリです。

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• 玉木大 (2019年8月7日). 「プレスタックとファイバーカテゴリ」