カン拡張

カン拡張は、数学の一分野である圏論における普遍的な構成です。随伴と密接に関連していますが、極限や端とも関連しています。1960 年に極限を使用して特定の (カン) 拡張を構築したDaniel M. Kanにちなんで名付けられました。

1956 年からの (現在では Kan 拡張として知られている) 初期の使用は、ホモロジー代数における導来関手の計算でした。

サンダース・マクレーンは「働く数学者のためのカテゴリー」 の中で「すべての概念はカン拡張である」という章を設け、次のように書いている。

カン拡張の概念は、カテゴリー理論の他のすべての基本概念を包含します。

Kan 拡張は、部分集合上で定義された関数を集合全体で定義された関数に拡張するという概念を一般化します。当然のことながら、定義は高度に抽象化されています。poset に特化すると、制約付き最適化に関する比較的よく知られたタイプの問題になります。

カン拡張は3つのカテゴリーのデータから始まる

${\displaystyle \mathbf {A} 、\mathbf {B} 、\mathbf {C} }$

2つの関数

${\displaystyle X:\mathbf {A} \to \mathbf {C} ,F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} }$、

には、 に沿った「左」Kan 拡張と「右」Kan 拡張の 2 種類があります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$

抽象的には、関数はプルバック マップを与えます。それらが存在する場合、に適用される左および右の随伴は、左および右の kan 拡張を与えます。随伴の定義を詳しく説明すると、次の定義が得られます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F^{*}:[B,C]\to [A,C]}$${\displaystyle F^{*}}$${\displaystyle X}$

右 Kan 拡張は、次の図の 破線矢印と自然変換を見つけることに相当します。 ${\displaystyle \epsilon }$

正式には、に沿ったの右カン拡大は${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$、 の仕様に関して共普遍な関数と自然変換から構成されます。つまり、任意の関数と自然変換に対して、一意の自然変換が定義され、可換図に適合します。 ${\displaystyle R:\mathbf {B} \to \mathbf {C} }$${\displaystyle \epsilon :RF\to X}$${\displaystyle M:\mathbf {B} \to \mathbf {C} }$${\displaystyle \mu :MF\to X}$${\displaystyle \delta :M\to R}$

任意のオブジェクトに対する自然変換はどこにあるか${\displaystyle \delta_{F}}$${\displaystyle \delta _{F}(a)=\delta (Fa):MF(a)\to RF(a)}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbf {A} .}$

関数R は、 と表記されることが多いです。 ${\displaystyle \operatorname {ラン} _{F}X}$

カテゴリー理論における他の普遍的構成と同様に、カン拡張の「左」バージョンは「右」バージョンと双対であり、すべてのカテゴリーをその反対のカテゴリーに置き換えることによって得られます。

上記の説明に対するこの効果は、単に自然な変換の方向を逆にするだけです。

(関数間の自然な変換は 、のすべてのオブジェクトに対して矢印を持ち、「自然性」プロパティを満たすことから構成されることを思い出してください。反対のカテゴリに移行すると、 のソースとターゲットが交換され、が反対方向に動作するようになります。)${\displaystyle \tau}$${\displaystyle F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \tau (a):F(a)\to G(a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \tau (a)}$${\displaystyle \tau}$

これにより、別の記述が生まれます。 に沿ったの左 Kan 拡大は、${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$この仕様に関して普遍的な関数と自然変換で構成されます。つまり、他の任意の関数と自然変換に対して、一意の自然変換が存在し、可換図に適合するということです。 ${\displaystyle L:\mathbf {B} \to \mathbf {C} }$${\displaystyle \eta :X\to LF}$${\displaystyle M:\mathbf {B} \to \mathbf {C} }$${\displaystyle \alpha :X\to MF}$${\displaystyle \sigma :L\to M}$

ここで、の任意のオブジェクトに対する自然変換です。 ${\displaystyle \sigma _{F}}$${\displaystyle \sigma _{F}(a)=\sigma (Fa):LF(a)\to MF(a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

関数L は、 と表記されることが多いです。 ${\displaystyle \operatorname {Lan} _{F}X}$

「the」という単語の使用（「左 Kan 拡張」など）は、すべての普遍的な構成と同様に、定義されたオブジェクトが存在する場合、一意の同型性を除いて一意であるという事実によって正当化されます。 この場合、それは、（左 Kan 拡張について） がに沿ったの 2 つの左 Kan 拡張であり、 が対応する変換である場合、上記の 2 番目の図が可換となる関数の一意の同型性が存在することを意味します。 右 Kan 拡張についても同様です。 ${\displaystyle L,M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \eta ,\alpha }$${\displaystyle \sigma :L\to M}$

とが2つの関手であるとする。Aが小さくCが共完備ならば、 Bの各対象bにおいて次のように定義される、 に沿った の左Kan拡大が存在する。${\displaystyle X:\mathbf {A} \to \mathbf {C} }$${\displaystyle F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} }$${\displaystyle \operatorname {Lan} _{F}X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle (\operatorname {Lan} _{F}X)(b)=\varinjlim _{f:Fa\to b}X(a)}$

ここで、余極限はコンマ圏 上に取られ、 は定数関数である。双対的に、Aが小さく、Cが完備であれば、 に沿った右カン拡大が存在し、極限として計算できる。 ${\displaystyle (F\downarrow \operatorname {const} _{b})}$${\displaystyle \operatorname {const} _{b}\colon \ast \to \mathbf {B} ,\ast \mapsto b}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle (\operatorname {Ran} _{F}X)(b)=\varprojlim _{Fa\leftarrow b}X(a)}$

コンマカテゴリを超えています。 ${\displaystyle (\operatorname {const} _{b}\downarrow F)}$

とが2つの関手で、 Aのすべてのオブジェクトaとa ′とBのすべてのオブジェクトbに対して、 Cに余べきが存在するとします。すると、関手X はFに沿った左カン拡大を持ち、 Bのすべてのオブジェクトbに対して、 ${\displaystyle X:\mathbf {A} \to \mathbf {C} }$${\displaystyle F:\mathbf {A} \to \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {B} (Fa',b)\cdot Xa}$${\displaystyle \operatorname {Lan} _{F}X}$

${\displaystyle (\operatorname {Lan} _{F}X)b=\int ^{a}\mathbf {B} (Fa,b)\cdot Xa}$

上記の共終点がBのあらゆるオブジェクトbに対して存在する場合。

双対的に、右カン拡張は、終了式 によって計算できる。

${\displaystyle (\operatorname {Ran} _{F}X)b=\int _{a}Xa^{\mathbf {B} (b,Fa)}.}$

関数の極限はカン拡大として次のように表現できる。 ${\displaystyle F:\mathbf {C} \to \mathbf {D} }$

${\displaystyle \lim F=\operatorname {Ran} _{E}F}$

ここで はからへの唯一の関手（内の終端オブジェクトである、1つのオブジェクトと1つの矢印を持つカテゴリ）である。 の余極限は同様に次のように表される 。${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {1} }$${\displaystyle \mathbf {猫} }$${\displaystyle F}$

${\displaystyle \operatorname {colim} F=\operatorname {Lan} _{E}F.}$

関数が左随伴を持つのは、に沿ったの右 Kan 拡大が存在し、 によって保存される場合に限ります。この場合、左随伴は によって与えられ、この Kan 拡大はどの関数によっても保存されます。つまり、 は絶対Kan 拡大です。 ${\displaystyle F:\mathbf {C} \to \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :\mathbf {C} \to \mathbf {C} }$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \operatorname {Ran} _{F}\operatorname {Id} }$${\displaystyle \mathbf {C} \to \mathbf {E} }$

双対的に、右随伴が存在するのは、 に沿った恒等式の左 Kan 拡張が存在し、 によって保存される場合のみです。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

関数のコード密度モナドは、 Gのそれ自体に沿った右 Kan 拡大です。 ${\displaystyle G:\mathbf {D} \to \mathbf {C} }$

• カルタン、アンリ;アイレンバーグ、サミュエル(1956)。ホモロジー代数。プリンストン数学シリーズ。第 19 巻。プリンストン、ニュージャージー:プリンストン大学出版局。Zbl 0075.24305  。
• Mac Lane, Saunders (1998)。Category for the Working Mathematician . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 5 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8.ZBL0906.18001  。​

• 左カン拡大の余極限公式のモデルに依存しない証明
• nラボでのKan拡張
• 極限としての Kan 拡張: 例