シューア関手

数学、特に表現論の分野において、シュアー関手（イサイ・シュアーにちなんで名付けられた）は、固定された可換環上の加群のカテゴリからそれ自身への特定の関手である。これらは、ベクトル空間の外冪と対称冪の構成を一般化する。シュアー関手は、ヤング図によってインデックス付けされ、 n個のセルを持つ水平図はn番目の対称冪関手に対応し、 n個のセルを持つ垂直図はn番目の外冪関手に対応する。ベクトル空間V が群Gの表現である場合、任意のシュアー関手に対してGの自然な作用も持つ。 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }V}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }(-)}$

シュア関数は分割によってインデックス付けされ、次のように記述されます。Rを可換環、E をR加群、λを正の整数nの分割とします。T をλの形状のヤング図とし、 n重直積E × E × ... × Eの因数をTのボックスでインデックス付けします。次の条件を満たす R加群のマップを考えます。${\displaystyle \varphi :E^{\times n}\to M}$

1. ${\displaystyle \varphi }$多線型であり、
2. ${\displaystyle \varphi }$Tの各列でインデックスされたエントリが交互になっている。
3. ${\displaystyle \varphi }$は、Tのi列​​の数字である場合、${\displaystyle I\subset \{1,2,\dots ,n\}}$

${\displaystyle \varphi (x)=\sum _{x'}\varphi (x')}$

ここで、合計は、Iでインデックス付けされた要素を列の番号でインデックス付けされた任意の要素と（順番に） 交換することによってxから取得されたn組x ′ の合計です。${\displaystyle |I|}$${\displaystyle i-1}$

R加群のマッピングに拡張される普遍的なR加群は、 λでインデックス付けされた Schur 関数によるEの像です。 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }E}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\tilde {\varphi }}:\mathbb {S} ^{\lambda }E\to M}$

条件(3)の例として、λがパーティションであり、タブロー Tが上から下(左から右)に読むと1、2、3、4、5となるように番号が付けられていると 仮定する。(つまり、 Tの2番目の列の数字) を取ると、${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (2,2,1)}$${\displaystyle I=\{4,5\}}$

${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=\varphi (x_{4},x_{5},x_{3},x_{1},x_{2})+\varphi (x_{4},x_{2},x_{5},x_{1},x_{3})+\varphi (x_{1},x_{4},x_{5},x_{2},x_{3}),}$

一方、 もし${\displaystyle I=\{5\}}$

${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=\varphi (x_{5},x_{2},x_{3},x_{4},x_{1})+\varphi (x_{1},x_{5},x_{3},x_{4},x_{2})+\varphi (x_{1},x_{2},x_{5},x_{4},x_{3}).}$

特性零の体上のベクトル空間V を固定する。分割とそれに対応するヤング図を同定する。以下の記述が成り立つ: ^[1]

• 分割λ = ( n ) の場合、シュール関数子S ^λ ( V ) = Sym ⁿ ( V ) になります。
• 分割λ = (1, ..., 1) ( n回繰り返す) に対して、Schur関手S ^λ ( V ) = Λ ⁿ ( V ) です。
• 分割λ = (2, 1)に対して、シュア関手S ^λ ( V )は外冪の共乗写像Λ ³ ( V ) → Λ ² ( V ) ⊗ Vのコカーネルである。
• 分割λ = (2, 2) に対して、シュア関手S ^λ ( V ) は、 Λ ² ( V ) ⊗ Λ ² ( V ) を 2 つの写像で割った商です。1 つは合成 Λ ³ ( V ) ⊗ V → Λ ² ( V ) ⊗ V ⊗ V → Λ ² ( V ) ⊗ Λ ² ( V ) であり、最初の写像は最初の座標に沿った共乗法です。もう 1 つの写像は共乗法 Λ ⁴ ( V ) → Λ ² ( V ) ⊗ Λ ² ( V ) です。
• 分割λ = ( n , 1, ..., 1) において 1 がm回繰り返される場合、シュアー関数S ^λ ( V ) は、外乗の共乗と対称乗の乗算の合成の像による Λ ⁿ ( V ) ⊗ Sym ^m ( V )の商です。

  ${\displaystyle \Lambda ^{n+1}(V)\otimes \mathrm {Sym} ^{m-1}(V)~\xrightarrow {\Delta \otimes \mathrm {id} } ~\Lambda ^{n}(V)\otimes V\otimes \mathrm {Sym} ^{m-1}(V)~\xrightarrow {\mathrm {id} \otimes \cdot } ~\Lambda ^{n}(V)\otimes \mathrm {Sym} ^{m}(V)}$

V をk次元の複素ベクトル空間とします。これはその自己同型群GL( V )のトートロジー表現です。 λ が各行にk個以下のセルが含まれる図式である場合、 S ^λ ( V ) は最高重みλの既約GL( V ) 表現です。実際、 GL( V )の任意の有理表現は、 S ^λ ( V ) ⊗ det( V ) ^{⊗ m の}形式の表現の直和に同型です。ここでλ は各行がkより厳密に短い Young 図式であり、m は任意の（負の可能性のある）整数です。

この文脈では、シュール・ワイル双対性は、GL( V )加群 として

${\displaystyle V^{\otimes n}=\bigoplus _{\lambda \vdash n:\ell (\lambda )\leq k}(\mathbb {S} ^{\lambda }V)^{\oplus f^{\lambda }}}$

ここで、λの形状の標準ヤング表の数である。より一般的には、テンソル積の分解は-bimodule となる。${\displaystyle f^{\lambda }}$${\displaystyle \mathrm {GL} (V)\times {\mathfrak {S}}_{n}}$

${\displaystyle V^{\otimes n}=\bigoplus _{\lambda \vdash n:\ell (\lambda )\leq k}(\mathbb {S} ^{\lambda }V)\otimes \operatorname {Specht} (\lambda )}$

ここで、λでインデックス付けされたSpecht モジュールです。Schur 関数は、特定の旗多様体の座標環を記述するためにも使用できます。 ${\displaystyle \operatorname {Specht} (\lambda )}$

2つのヤング図λとμについて、対応するシュアー関数Sλ(Sμ(−))の合成を考える^。この^合成はλとμのプレシズムと呼ばれる。一般理論から、少なくとも特性零体上のベクトル空間については、プレシズムはシュアー関数の直和に同型であることが分かっている^{[1] 。どのヤング図がその記述に現れるか、またその重複度をどのように計算するかという問題は、Sym m} (Sym ² ( V )) のような特殊なケースを除いて未解決である。

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