アクセス可能なカテゴリ

アクセス可能なカテゴリーの理論は数学、特にカテゴリー理論の一部です。カテゴリーを、そのオブジェクトを生成するために必要な操作の 「サイズ」（基数）の観点から記述しようとします。

この理論は、1969年までに完成したグロタンディークの研究^[1]とガブリエルとウルマー（1971年）に端を発しています。^[2]数理論理学の一分野であるモデル理論に触発されて、マイケル・マッカイとロバート・パレによって1989年にさらに発展しました。^[3] アダメクとロシツキーによる標準的な教科書は1994年に出版されました。^{[4]アクセス可能なカテゴリは}ホモトピー理論 にも応用されています。^{[5] [6]グロタンディークは、ホモトピー理論的目的のために、1991年の原稿}「派生者」（一部未発表）で理論の発展を続けました。^{[7]アクセス可能なカテゴリのいくつかの特性は、特に}基数特性とヴォペンカの原理を中心に、使用する集合宇宙 に依存します。^[8]

を無限正規基数、つまりより小さい数のより小さい基数の和ではない基数とします。例として、最初の無限基数である(アレフ-0 ) や最初の非可算基数である などがあります。半順序集合が-有向であるとは、未満の基数のすべての部分集合が に上限を持つことを意味します。特に、通常の有向集合はまさに-有向集合です。 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle J}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \aleph_{0}}$

ここで、 をカテゴリとします。- 有向集合上の直接極限(有向余極限とも呼ばれる)は、 - 有向余極限と呼ばれます。のオブジェクトは、Hom 関数が内のすべての - 有向余極限を保存する場合、 - 提示可能と呼ばれます。 の場合、すべての - 提示可能なオブジェクトはいつでも - 提示可能 であることは明らかです。これは、その場合、すべての- 有向余極限が - 有向余極限でもあるためです。 - 提示可能なオブジェクトは、有限に提示可能と呼ばれます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle (I,\leq )}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \kappa}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa '}$${\displaystyle \kappa \leq \kappa '}$${\displaystyle \kappa '}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \aleph_{0}}$

• すべての集合の集合というカテゴリでは、有限に表現可能なオブジェクトは有限集合と一致します。-表現可能なオブジェクトは、濃度が より小さい集合です。${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$
• すべての群のカテゴリでは、オブジェクトが有限に提示可能であるのは、それが有限に提示された群である場合、つまり、有限個の発生元と有限個の関係を持つ提示がある場合のみです。非可算正則 の場合、-提示可能なオブジェクトは、 より小さい濃度を持つ群とまったく同じです。${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$
• ある（ユニタリ、結合的）環上の左- 加群${\displaystyle R}$のカテゴリでは、有限に提示可能なオブジェクトはまさに有限に提示された加群です。 ${\displaystyle R}$

次の条件を満たす場合、カテゴリは-accessibleと呼ばれます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle \kappa}$

• ${\displaystyle C}$はすべての-有向余極限を持つ${\displaystyle \kappa}$
• ${\displaystyle C}$には、 のあらゆるオブジェクトが のオブジェクトの -有向余極限となるような、 - 表現可能なオブジェクトの集合が含まれます。${\displaystyle P}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle P}$

-アクセス可能なカテゴリは有限にアクセス可能と呼ばれます。カテゴリは、ある無限の正則基数に対して -アクセス可能である場合、アクセス可能と呼ばれます。アクセス可能なカテゴリが共完全でもある場合、局所的に提示可能と呼ばれます。 ${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$

- アクセス可能なカテゴリ間の関数は、- 有向余極限を保存する限り、- アクセス可能と呼ばれます。 ${\displaystyle F:C\to D}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \kappa}$

• すべての集合と関数のカテゴリSet は、局所的に有限に表示可能です。これは、すべての集合がその有限部分集合の直接の極限であり、有限集合が有限に表示可能であるためです。
• (左) - 加群のカテゴリ-Mod は、任意の環に対して局所的に有限に提示可能です。${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$
• 単体集合のカテゴリは有限にアクセス可能です。
• 可算なシグネチャを持つある一階理論Tのモデルのカテゴリ Mod(T) は-アクセス可能です。-提示可能なオブジェクトは、可算な数の要素を持つモデルです。${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$
• 局所的に表現可能なカテゴリのさらなる例としては、有限代数カテゴリ（つまり、普遍代数における代数の多様体に対応するカテゴリ）とグロタンディークカテゴリがあります。

あらゆる局所的に表現可能なカテゴリは完全でもあることが示せます。^[9]さらに、カテゴリが局所的に表現可能であるのは、それが極限スケッチのモデルのカテゴリと同値である場合のみです。^[10]

局所的に表現可能なカテゴリ間の随伴関数は、特に単純な特徴付けを持ちます。局所的に表現可能なカテゴリ間の 関数:${\displaystyle F:C\to D}$

• が左随伴関数であるのは、それが小さな余極限を保存する場合のみである。
• は、小さな極限を保存し、アクセス可能である場合にのみ、右随伴となります。