分類

数学において、カテゴリ化とは集合論的 定理をカテゴリ論的類似物に置き換えるプロセスである。カテゴリ化がうまく行われると、集合はカテゴリに、関数は関数に、方程式は追加の特性を満たす関数の自然同型に置き換えられる。この用語はルイス・クレインによって造られた。^{[1] [2]}

カテゴリ化の逆は、デカテゴリ化のプロセスです。デカテゴリ化は、カテゴリ内の同型オブジェクトが等しいと識別される体系的なプロセスです。デカテゴリ化は簡単なプロセスですが、カテゴリ化は通常それほど簡単ではありません。リー代数の表現論では、特定の代数上のモジュールが主な研究対象であり、そのようなモジュールのカテゴリ化がどうあるべきかについてのフレームワークがいくつかあります。たとえば、いわゆる（弱い）アーベルカテゴリ化などです。^[3]

分類と非分類は厳密な数学的手順ではなく、むしろ類似の可能性のあるクラスのことです。これらは「一般化」のような言葉と同じように使用され、「層化」のような言葉のようには使用されません。^[4]

分類の 1 つの形式は、集合で記述された構造を取り、その集合をカテゴリ内のオブジェクトの同型クラスとして解釈します。たとえば、自然数の集合は有限集合の濃度の集合と見なすことができます(濃度が同じ 2 つの集合は同型です)。この場合、加算や乗算などの自然数の集合に対する操作は、有限集合のカテゴリの余積と積に関する情報を持っていると見なすことができます。抽象度を下げて言うと、ここでの考え方は、実際のオブジェクトの集合を操作し、余積 (2 つの集合を結合して結合する) または積 (多数のものを追跡するために配列を構築する) を取ることが最初に行われたということです。その後、集合の具体的な構造は抽象化され (「同型まで」のみ)、抽象的な算術理論が生まれました。これは「脱分類」であり、分類はこのステップを逆に行います。

他の例としては、位相幾何学におけるホモロジー理論が挙げられる。エミー・ネーターは、ベッティ数の概念を分類することにより、特定の自由アーベル群の階数としてホモロジーの現代的な定式化を与えた。^[5]結び目理論における結び目不変量としてのコバノフホモロジーも参照のこと。

有限群論の例として、対称関数の環は対称群の表現の圏によって分類される。非分類写像は、分割によってインデックス付けされたスペヒト加群を、同じ分割によってインデックス付けされた シュアー関数に送る。${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle S^{\lambda }{\stackrel {\varphi }{\to }}s_{\lambda },}$

本質的には、付随するグロタンディーク群の好適基底から対称関数の環の表現論的好適基底への指標写像に従う。この写像は構造がいかに類似しているかを反映している。例えば、

${\displaystyle \left[\operatorname {Ind} _{S_{m}\otimes S_{n}}^{S_{n+m}}(S^{\mu }\otimes S^{\nu })\right]\qquad {\text{ および }}\qquad s_{\mu }s_{\nu }}$

それぞれの基底上で同じ分解数を持ち、両方ともリトルウッド–リチャードソン係数によって与えられます。

カテゴリ に対して、のグロタンディーク群を とします。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle K({\mathcal {B}})}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

をアーベル群として自由な環とし、をの基底として、における乗法が正となるものとし、 すなわち${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {a} =\{a_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle a_{i}a_{j}=\sum _{k}c_{ij}^{k}a_{k},}$と${\displaystyle c_{ij}^{k}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}.}$

を-加群とする。すると、 の（弱い）アーベル圏化は、アーベル圏、同型、および正確な自己関数から成り、 ${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (A,\mathbf {a} ,B)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \phi :K({\mathcal {B}})\to B}$${\displaystyle F_{i}:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {B}}}$

1. 関数はモジュール の作用を持ち上げます。つまり、であり、${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \phi [F_{i}]=a_{i}\phi }$
2. 同型性があり、つまり、積が基底元の線形結合として分解されるのと同じように、合成は関数の直和として分解されます。${\displaystyle F_{i}F_{j}\cong \bigoplus _{k}F_{k}^{c_{ij}^{k}},}$${\displaystyle F_{i}F_{j}}$${\displaystyle F_{k}}$${\displaystyle a_{i}a_{j}}$${\displaystyle a_{k}}$

• 組合せ論的証明、つまり数論的定理を集合論的類似物に置き換えるプロセス。
• 高等圏理論
• 高次元代数
• カテゴリカルリング

• 上記の著者の 1 人 (Baez) によるブログ投稿: https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/10/what_is_categorification.html。